模的投射覆蓋、內(nèi)射包絡(luò)與局部環(huán)①

(隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)信學(xué)院,甘肅 隴南 742500)

0 引 言

局部環(huán)是環(huán)模理論中重要的環(huán)類之一.其應(yīng)用非常廣泛.設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán).若對任意r∈R,有r可逆或者1-r可逆,則稱環(huán)R為局部環(huán)[1].若模M的自同態(tài)環(huán)End(RM)是局部環(huán),則模M是不可分解模[2].設(shè)g:X→C為模同態(tài).若對任意滿足等式gα=g的同態(tài)α:X→X,都有α為同構(gòu),則稱g:X→C是右極小的[3].對偶地可定義左極小同態(tài).設(shè)x為左R-模范疇的一個(gè)子范疇且X∈x.若對任意X′∈x及同態(tài)f:X′→C,都存在同態(tài)β:X′→X使得gβ=f,則稱g:X→C為模C的x-預(yù)覆蓋[4].若g:X→C是C的右極小x-預(yù)覆蓋,則稱g:X→C為模C的x-覆蓋.對偶地,可定義x-預(yù)包絡(luò)和x-包絡(luò).若模Q既是投射模又是內(nèi)射模,則簡稱Q為投射-內(nèi)射模.本文主要研究左R-模的投射蓋、內(nèi)射包絡(luò)與局部環(huán)之間的關(guān)系,并進(jìn)一步完善環(huán)模理論與同調(diào)代數(shù)中與其相關(guān)的基礎(chǔ)理論.

1 本文引理

引理1[1]設(shè)M,M′,N,N′都是左R-模,f:M→N為左R-模同態(tài).

(1)如果g:M→M′是滿同態(tài)且Kerg?Kerf,那么存在唯一確定的同態(tài)h:M′→N,使得f=hg.

(2)如果g:N′→N是單同態(tài)且Imf?Img,那么存在唯一確定的同態(tài)h:M→N′,使得f=gh.

引理2[5]設(shè)下圖為左R-模行正合交換圖,

則存在唯一的同態(tài)f∈HomR(A,A′),使得gi=i′f.

引理3[5]設(shè)下圖為左R-模行正合交換圖,

(2)當(dāng)t2,t4為單同態(tài)且t5為滿同態(tài)時(shí),t3為單同態(tài).

(3)當(dāng)t1,t2,t4,t5為同構(gòu)時(shí),t3為同構(gòu).

引理4[2]設(shè)M是一個(gè)具有有限長度的不可分解模,那么End(M)是局部環(huán).

2 主要結(jié)果

由假設(shè)知,自同態(tài)環(huán)End(Kerf)是局部環(huán).從而β為同構(gòu)或者1Kerf-β為同構(gòu).

若β為同構(gòu),則由引理5易得α為同構(gòu).

若1Kerf-β為同構(gòu),則i(1Kerf-β)=i-iβ=i-αi=(1X-α)i.因?yàn)閒(1X-α)=f-fα=f-f=0,所以Im(1X-α)?Kerf=Imi.根據(jù)引理1知,存在同態(tài)γ：X→Kerf,使得iγ=1X-α.因?yàn)閕γi=(1X-α)i=i(1Kerf-β),i為單同態(tài)且單同態(tài)左可消,所以γi=1Kerf-β.

可見γi為同構(gòu).從而存在同態(tài)γ′∈End(Kerf),使得γ′(γi)=1Kerf.顯然γ′γ是X到Kerf的同態(tài).所以單同態(tài)i可裂.從而滿同態(tài)f也可裂.這與假設(shè)矛盾.因此1Kerf-β不是同構(gòu).

定理2 設(shè)g:A→X為非可裂的單同態(tài)且End(Cokerg)為局部環(huán),則g是左極小的.

由假設(shè)知,自同態(tài)環(huán)End(Cokerg)是局部環(huán).從而α為同構(gòu)或者1Cokerg-α為同構(gòu).

若α為同構(gòu),則由引理3易得β為同構(gòu).

若1Cokerg-α為同構(gòu),則有(1Cokerg-α)π=π-απ=π-πβ=π(1X-β).因?yàn)?1X-β)g=g-βg=g-g=0,所以Kerπ=Img?Ker(1X-β).由引理1知存在同態(tài)ρ：Cokerg→X,使得ρπ=1X-β.又因?yàn)?πρ)π=π(ρπ)=π(1X-β)=(1Cokerg-α)π,π為滿同態(tài)且滿同態(tài)右可消,所以πρ=1Cokerg-α為同構(gòu).可見存在同態(tài)ρ′,使得(πρ)ρ′=1Cokerg,即π(ρρ′)=1Cokerg.易知π:X→Cokerg為可裂滿同態(tài).從而單同態(tài)g:A→X也可裂.這與假設(shè)矛盾.因此1Cokerg-α不是同構(gòu).

(1)若End(A)為局部環(huán),則同態(tài)f為右極小的.

(2)若End(C)為局部環(huán),則同態(tài)g為左極小的.

證明由定理1和定理2易證.

定理3 設(shè)f:Q→X為非投射模X的投射覆蓋,Q是投射-內(nèi)射模且End(X)為局部環(huán),則包含同態(tài)i:Kerf→Q為Kerf的內(nèi)射包絡(luò).

因此包含同態(tài)i:Kerf→Q為Kerf的內(nèi)射包絡(luò).

推論2 設(shè)X是具有有限長度的不可分解模,f:Q→X是非投射模X的投射覆蓋且Q是投射-內(nèi)射模,則包含同態(tài)i:Kerf→Q為Kerf的內(nèi)射包絡(luò).

證明因?yàn)閄是具有有限長度的不可分解模,由引理4知自同態(tài)環(huán)End(X)為局部環(huán).根據(jù)定理3可得,包含同態(tài)i:Kerf→Q為Kerf的內(nèi)射包絡(luò).

有了上面的結(jié)論,對偶地可得如下定理和推論.

定理4 設(shè)g:Y→E為非內(nèi)射模Y的內(nèi)射包絡(luò),E是投射-內(nèi)射模且End(Y)為局部環(huán),則標(biāo)準(zhǔn)投射π:E→Cokerg為Cokerg的投射覆蓋.

推論3 設(shè)Y是具有有限長度的不可分解模,g:Y→E是非內(nèi)射模Y的內(nèi)射包絡(luò)且E是投射-內(nèi)射模,則標(biāo)準(zhǔn)投射π:E→Cokerg為Cokerg的投射覆蓋.

由引理3知h為同構(gòu).可見X?X1⊕X2.由已知條件End(X)是局部環(huán)可得,X為不可分解模.從而X1=0或X2=0.若X1=0則有正合列0→X→Q2→N2→0且Q2?N2≠0.而E0?Q1⊕Q2,這與已知“X→E0是X的內(nèi)射包絡(luò)”矛盾.類似地,若X2=0,則同樣會(huì)出現(xiàn)矛盾.因此Imd0是不可分解模.

證明過程與定理5的對偶.

3 結(jié) 語

利用環(huán)模理論和同調(diào)代數(shù)的方法，研究了模的的投射覆蓋、內(nèi)射包絡(luò)與局部環(huán)之間的關(guān)系.證明了如果同態(tài)f：Q→X是非投射模RX的投射覆蓋且自同態(tài)環(huán)End(RX)為局部環(huán),那么包含同態(tài)i:Kerf→Q為Kerf的內(nèi)射包絡(luò)；如果同態(tài)f：Y→Q是非內(nèi)射模RY的內(nèi)射包絡(luò)且自同態(tài)環(huán)End(RY)為局部環(huán),那么標(biāo)準(zhǔn)投射π:Q→Cokerf為Cokerf的投射覆蓋.結(jié)果表明，模的的投射覆蓋、內(nèi)射包絡(luò)與局部環(huán)之間有著密切的聯(lián)系.從而補(bǔ)充了與其相關(guān)的結(jié)論，進(jìn)一步完善了對模的投射覆蓋、內(nèi)射包絡(luò)，以及局部環(huán)等后續(xù)問題的研究，具有一定的理論價(jià)值.