淺析帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的求解策略

鄒兆貴 聶震萍

帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，因涉及電場(chǎng)和動(dòng)力學(xué)的綜合而成為同學(xué)們學(xué)習(xí)電場(chǎng)這部分知識(shí)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。下面根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行分類，剖析帶電粒子的受力特點(diǎn)，提出相應(yīng)的解題策略，以期為同學(xué)們解決此類問題提供一定的幫助。

一、帶電粒子在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)

1.帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

解題策略：帶電粒子在電場(chǎng)中受靜電力、重力及其他力共同作用，若這些力的合力恒定，同時(shí)與帶電粒子的速度方向在同一條直線上，則帶電粒子做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。此時(shí)直接利用牛頓第二定律及勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求解相關(guān)問題。

例1 如圖1所示，一平行板電容器的兩極板與一電壓恒定的電源相連，極板水平放置，兩極板間距為d。在下極板上疊放一厚度為l的金屬板，其上部空間有一帶電粒子P靜止在電容器中。當(dāng)把金屬板從電容器中快速抽出后，粒子P開始運(yùn)動(dòng)。重力加速度為g，則粒子運(yùn)動(dòng)的加速度為（ ）。

2.帶電粒子做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

解題策略：帶電粒子在電場(chǎng)中受靜電力、重力及其他力共同作用，若這些力的合力大小改變，方向不變，與帶電粒子的速度方向在同一條直線上，則帶電粒子做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)。在分析清楚帶電粒子的受力情況的前提下，利用牛頓第二定律可求得帶電粒子的加速度大小，利用動(dòng)能定理或功能關(guān)系可求得帶電粒子的速度、位移等物理量。

例2 如圖2甲所示，在水平地面上放置一個(gè)質(zhì)量m=0.1 kg，帶電荷量q=0.01 C的物體。物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，地面上方空間存在水平向左的電場(chǎng)，物體由靜止開始向左運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E隨物體的位移x變化的圖像如圖2乙所示。取重力加速度g=10 m/s2，求：

（1）物體在運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度。

（2）物體的速度達(dá)到最大時(shí)距出發(fā)點(diǎn)的距離。

解析：（1）剛開始時(shí)物體的加速度最大，由牛頓第二定律得qE-μmg=ma max，解得a max=6 m/s2，方向水平向左。

（2）因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度E隨物體的位移x是變化的，所以物體受到的靜電力隨位移也是變化的，當(dāng)靜電力等于摩擦力時(shí)，物體的加速度a0=0，速度最大，則qE-μmg=ma0，解得E=40 N/C。由圖乙知電場(chǎng)強(qiáng)度E與物體的位移x的函數(shù)關(guān)系式為E= 100-25x，解得x=2.4 m。

點(diǎn)評(píng)：物體所受合力最大時(shí)，物體的加速度最大;結(jié)合E—x圖像分析知物體先做加速運(yùn)動(dòng)再做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體的加速度為0時(shí)，物體的速度達(dá)到最大。求解物體在電場(chǎng)中做非勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，通常需要利用動(dòng)能定理或結(jié)合與位移有關(guān)的圖像來解決。

3.帶電粒子在交變電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)。

解題策略：帶電粒子在周期性變化的交變電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，分析清楚帶電粒子在每一時(shí)間段內(nèi)的受力情況，利用牛頓第二定律可求出粒子的加速度，作出粒子運(yùn)動(dòng)的v-t圖像可直觀地分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況。

例3 如圖3甲所示，兩平行正對(duì)的金屬板A、B間加有如圖3乙所示的交變電壓，一重力可忽略不計(jì)的帶正電粒子被固定在兩金屬板的正中間P處。若在t0時(shí)刻釋放該粒子，粒子會(huì)時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，并最終打在A板上，則t0可能屬于的時(shí)間段是（ ）。

答案：B

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在周期性變化的交變電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，作出粒子的v—t圖像，借助圖像與時(shí)間軸所圍面積表示粒子的位移能夠快速求得與粒子位移相關(guān)的物理量。

二、帶電粒子在電場(chǎng)中做曲線運(yùn)動(dòng)

1.帶電粒子做非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。

解題策略：根據(jù)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡及電場(chǎng)線的方向可判斷出靜電力的做功情況。帶電粒子僅在靜電力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，靜電力做正功，粒子的動(dòng)能增加，電勢(shì)能減小;靜電力做負(fù)功，粒子的動(dòng)能減小，電勢(shì)能增加。根據(jù)電場(chǎng)線的疏密分布情況可判斷出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，從而可分析出帶電粒子的加速度變化規(guī)律。

例4 如圖5所示，實(shí)線是電場(chǎng)線，一帶電粒子僅在靜電力的作用下沿虛線從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，其速度時(shí)間圖像是圖6中的（ ）。

解析：靜電力的方向指向粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)且沿與電場(chǎng)線相切的方向，因此粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，靜電力方向與速度方向間的夾角大于90°，靜電力做負(fù)功，粒子做減速運(yùn)動(dòng)。從A點(diǎn)到B點(diǎn)電場(chǎng)線變得稀疏，電場(chǎng)強(qiáng)度減小，粒子所受的靜電力越來越小，加速度越來越小。

答案：B

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子僅受靜電力作用時(shí)，粒子的電勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，總和保持不變。粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡朝所受靜電力（合力）的方向彎曲.找出粒子速度與靜電力間的夾角即可判斷靜電力做功的正負(fù)，從而可以判斷粒子電勢(shì)能和動(dòng)能的變化情況。電場(chǎng)線越密集處的電場(chǎng)強(qiáng)度越大，電場(chǎng)線越稀疏處的電場(chǎng)強(qiáng)度越小。

2.帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)。

解題策略：帶電粒子（不計(jì)重力）在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將粒子的運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，即與初速度方向相同的勻速直線運(yùn)動(dòng)，以及與初速度方向垂直的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在這兩個(gè)方向上分別利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律即可求解相關(guān)物理量。

例5 如圖7甲所示，離子源產(chǎn)生的正離子由離子源飛出時(shí)的速度可忽略不計(jì)，離子離開離子源后進(jìn)入一加速電壓為U0的加速電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩極板間的距離為d，極板長(zhǎng)度l=2d，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的下極板接地，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板右端到豎直放置的足夠大的熒光屏間的距離也為l?，F(xiàn)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的兩極板間接一周期為T的交變電壓，上極板的電勢(shì)隨時(shí)間變化的圖像如圖7乙所示。（設(shè)正離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，大量離子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中央持續(xù)射入，穿過平行板的時(shí)間都極短，可以認(rèn)為離子在穿過平行板的過程中電壓是不變的）

（l）試計(jì)算離子剛進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v0的大小。

（2）在電勢(shì)變化的過程中發(fā)現(xiàn)熒光屏有“黑屏”現(xiàn)象，即無正離子到達(dá)熒光屏，試計(jì)算每個(gè)周期內(nèi)熒光屏黑屏的時(shí)間t。

（3）離子打到熒光屏上的區(qū)間的長(zhǎng)度x。

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將粒子的運(yùn)動(dòng)分解成沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)及與初速度方向垂直方向上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后分別利用勻速及勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及運(yùn)動(dòng)的合成即可求得物體的速度、位移等物理量。熟練掌握“在平拋運(yùn)動(dòng)過程中，速度的反向延長(zhǎng)線過水平位移的中點(diǎn)”這一規(guī)律對(duì)于確定粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度方向很有幫助。

3.帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)。

解題策略：帶電粒子在恒定靜電力、重力、彈力三個(gè)力的合力作用下沿圓形軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將靜電力與重力的合力視為“等效重力”，從而得到帶電粒子在做圓周運(yùn)動(dòng)過程中的“等效最高點(diǎn)”和“等效最低點(diǎn)”，然后利用動(dòng)能定理即可求得帶電粒子的最大或最小速度。

例6 如圖9所示，固定在豎直平面內(nèi)的圓形絕緣軌道的圓心為O，半徑為r，內(nèi)壁光滑，A、B兩點(diǎn)分別是圓形軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)。該區(qū)間存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，一質(zhì)量為m、帶負(fù)電的小球在軌道內(nèi)側(cè)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)（電荷量不變），經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度最大，OC連線與豎直方向間的夾角θ=60°，重力加速度為g。

（1）求小球受到的靜電力大小。

（2）小球在A點(diǎn)的速度v0為多大時(shí)，小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最??？

解析：（l）小球在C點(diǎn)時(shí)的速度最大，則靜電力與重力的合力沿DC方向，因此小球受到的靜電力大小F=mgtanθ=√3mg。

（2）如圖10所示，將恒定靜電力與重力的合力視為“等效重力mg‘”，則C點(diǎn)為帶電粒子速度最大的位置（等效最低點(diǎn)），D點(diǎn)為帶電粒子速度最小的位置（等效最高點(diǎn)）。要使小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最小，則必須使小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好為零，此時(shí)等效重力mg剛好全部用來提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)、重力場(chǎng)等復(fù)合場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求解粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度或最小速度，可以將靜電力和重力的合力視為“等效重力”，“等效重力”所在直線與圓周的兩個(gè)交點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度和最小速度的位置。利用等效重力場(chǎng)的思想與方法能夠很好地處理帶電粒子在電場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的有關(guān)問題。

方法與總結(jié)

處理帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題主要利用以下兩條線索來解決：

1.力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。根據(jù)帶電粒子的受力情況，利用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定帶電粒子的速度、位移等。這條線索通常適用于帶電粒子在恒力作用下做勻變速運(yùn)動(dòng)的情況。

2.功和能的關(guān)系。根據(jù)外力對(duì)帶電粒子做功，引起帶電粒子的能量發(fā)生變化，利用能量守恒定律研究全過程中能量的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定帶電粒子的速度變化、位移等。這條線索不但適用于勻變速運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻變速運(yùn)動(dòng)。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖11所示，平行板電容器的兩個(gè)極板與水平地面成一定角度，兩極板與一直流電源相連。若一帶電粒子恰能沿圖中所示水平直線通過電容器，則在此過程中，該粒子（ ）。

A.所受重力與靜電力平衡

B.電勢(shì)能逐漸增加

C.動(dòng)能逐漸增加

D.做勻變速直線運(yùn)動(dòng)

2.如圖12所示，電子由靜止開始經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，沿平行于板面的方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，并從另一側(cè)射出。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，加速電場(chǎng)的電壓為U0，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可看成勻強(qiáng)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩極板間的電壓為U，極板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，板間距為d。忽略電子自身重力，則電子射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的初速度v0。和從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)射出時(shí)沿垂直板面方向的偏轉(zhuǎn)距離△y分別是（ ）。

3.如圖13所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接。在過圓心o的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球在水平軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)離開半圓形軌道后，經(jīng)界面MN上的P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)（P點(diǎn)恰好在A點(diǎn)的正上方，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)之前所帶電荷量保持不變，經(jīng)過C點(diǎn)后所帶電荷量立即變?yōu)榱悖Ｒ阎狝、B兩點(diǎn)間的距離為2R，重力加速度為g。求：

（l）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小。

（2）小球在上述運(yùn)動(dòng)過程中，在半圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速率（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示）。

參考答案：1.BD 2.D