巧借動態(tài)圓突破粒子源遇上有界磁場問題

康利軍

帶電粒子（不計重力）在勻強磁場中的運動問題，因涉及洛倫茲力、圓周運動和數(shù)學(xué)中的幾何知識的綜合而成為同學(xué)們學(xué)習(xí)磁場這部分知識時的一個難點。尤其是當(dāng)粒子源遇上有界磁場時，還要涉及臨界狀態(tài)，更使得同學(xué)們感到束手無策。下面以兩類常見的粒子源問題為例進行剖析，以期能夠幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出求解技巧，實現(xiàn)對此類問題的突破。

一、模型特點及解題方法

1.第一類粒子源問題：在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)，沿各個方向發(fā)射相同速率的同種帶電粒子（速度大小確定而方向不確定）。求解此類粒子源問題的方法是旋轉(zhuǎn)動態(tài)圓法。

如圖1所示，在垂直于紙面向里的無限大勻強磁場中，有一粒子源O，它能在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)沿各個方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q、速率為u的同種帶電粒子，這些帶電粒子將做勻速圓周運動。帶電粒子的運動軌跡（細(xì)實線所示）有下列特點：各帶電粒子的圓形運動軌跡半徑（R=mv/qB）相等，運動周期（T= 2πm/qB）相等;各帶電粒子圓形運動軌跡的圓心分布在以粒子源o為圓心，半徑為R的一個圓周上（虛線所示）。帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域是以粒子源o為圓心，半徑為2R的大圓（粗實線所示）所圍區(qū)域。

如圖2所示，當(dāng)同種帶電粒子從P點在紙面內(nèi)沿不同方向射人圓形有界勻強磁場時，若帶電粒子在磁場中的運動軌跡半徑恰好等于圓形磁場的半徑，即r=mv/qB=R，則由幾何關(guān)系易證，它們離開磁場時的方向是平行的。根據(jù)帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌跡特點，可以把這種問題總結(jié)為“等半徑平行”模型。

如圖3所示，當(dāng)一束水平向右發(fā)射的平行帶正電粒子束射向圓形勻強磁場區(qū)域時，若帶電粒子在磁場中的運動軌跡半徑恰好等于圓形磁場的半徑，即r=mv/qB=R，則由幾何關(guān)系易證，所有進入磁場的帶電粒子將從同一點射出圓形磁場區(qū)域。這個過程是“等半徑平行”模型的逆過程，可以稱之為“磁匯聚”模型。

2.第二類粒子源問題：在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)沿某一方向發(fā)射速率不同的同種帶電粒子（速度方向確定而大小不確定）。求解此類粒子源問題的方法是縮放動態(tài)圓法。

如圖4所示，在垂直于紙面向外的無限大勻強磁場中，有一粒子源O，它能在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)沿固定方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q、速率不同的同種帶電粒子，這些帶電粒子將做勻速圓周運動。帶電粒子的運動軌跡有下列特點：各帶電粒子的圓形運動軌跡有一個公共切點，組成一組動態(tài)內(nèi)切圓，且各軌跡圓的圓心分布在過入射點且與初速度方向垂直的同一條直線上;各帶電粒子做勻速圓周運動的半徑不同，但運動周期（T= 2πm/qB）相等;速率較大的帶電粒子所經(jīng)過的路程較長，對應(yīng)較大的軌跡圓。

如果粒子源發(fā)射的是質(zhì)量不同，但速度大小和方向，以及帶電荷量均相同的同種帶電粒子，那么這些粒子的運動軌跡也會組成一組動態(tài)內(nèi)切圓，只是各軌跡圓的半徑不同，粒子的運動周期也不相同。

二、典型例題剖析

1.粒子源遇上直線有界磁場。

例1 如圖5所示，s為一離子源，MN為足夠長熒光屏，離子源S到熒光屏MN的距離為L，整個裝置處在范圍足夠大的勻強磁場中，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度大小為B。某時刻離子源S一次性沿平行紙面的各個方向均勻地射出大量的正離子，各離子的質(zhì)量m、電荷量q、速率u均相同，不計離子的重力及離子間的相互作用力，則（

）。

答案：AC

點評：本題為第一類粒子源遇上直線邊界磁場的綜合問題，解題時要注意粒子源在磁場中的位置。（l）若粒子源位于與直線邊界相距為L的磁場中（本題中情境），則確定粒子打在熒光屏上的范圍，需要確定粒子能到達區(qū)域的“最遠(yuǎn)點”。“最遠(yuǎn)點”由兩個特殊位置決定，一個是粒子的圓形運動軌跡恰好與邊界相切的位置（如M'點），另一個是邊界上與粒子源距離為粒子的圓形運動軌跡直徑2R的點（如N'點）。（2）若粒子源位于磁場邊界上，則粒子只能在存在磁場的邊界一側(cè)運動，不可能到達邊界另一側(cè)。確定粒子運動的軌跡區(qū)域時，就需要判定軌跡區(qū)域的“最遠(yuǎn)點”?！白钸h(yuǎn)點”由從粒子源射出的粒子的特殊速度（如與邊界平行的速度，與邊界垂直的速度）決定。

2.粒子源遇上矩形有界磁場。

例2 如圖7所示，一束電子以不同的速率沿圖示方向飛入一正方形有界勻強磁場，下列說法中正確的是（ ）。

A.電子在磁場中運動時向上偏轉(zhuǎn)

B.電子在磁場中的運動時間若相同，則其運動軌跡一定重合

C.電子在磁場中運動的時間越長，其運動軌跡所對的圓心角越大

D.電子的速率不同，它們在磁場中運動的時間一定不相同

解析：電子帶負(fù)電，根據(jù)左手定則可知，其在磁場中受到的洛倫茲力向下，故向下偏轉(zhuǎn)，選項A錯誤。由周期公式T=2πm/qB可知，電子在磁場中做圓周運動的周期與電子的速率無關(guān)，故電子在磁場中的運動周期相同。若電子在磁場中的運動時間相同，則其軌跡不一定重合，比如圖8中的軌跡3、4、5，它們的運動時間相同，但它們的軌跡對應(yīng)的半徑不同，沒有重合，選項B錯誤。由t=θ/2π可知，電子在磁場中的運動時間與軌跡所對的圓心角成正比，故電子在磁場中運動的時間越長，其軌跡所對的圓心角越大，選項C正確。電子飛入勻強磁場中做勻速圓周運動，由半徑公式r=mv/qB可知，軌跡半徑與速率成正比，電子的速率不同，但軌跡所對的圓心角θ可能相同，時間可能相同，比如圖8中的軌跡3、4、5，選項D錯誤。

答案：C

點評：本題是第二類粒子源遇上矩形邊界磁場的綜合問題。解決此類問題需要注意以下兩點：（1）當(dāng)粒子運動軌跡與邊界相切時，要考慮可能出現(xiàn)的隱含臨界條件;（2）因各粒子的速率不同，速率大的粒子軌跡半徑大，在磁場中運動的路程可能較長，但時間卻不一定長，故在解決時間問題時，要選軌跡對應(yīng)的圓心角為切入點。

3.粒子源遇上三角形有界磁場。

例3 如圖9所示，邊長為L的正三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B0，BC邊的中點O處有一粒子源，可以在ABC平面內(nèi)沿任意方向發(fā)射速率均為v的相同的正粒子。若從AB邊中點D射出磁場的粒子，在從O點運動到D點的過程中，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，不計粒子的重力及粒子間的相互作用力，則下列說法中正確的是（ ）。

A.從AB邊中點D射出磁場的粒子的運動軌跡半徑為L

B.粒子不可能從A點射出磁場

c.粒子的比荷q/m=2v/B0L

D.從B點射出的粒子在磁場中的運動時間為πL/3v

解析：因為從BC邊的中點O射人并從AB邊中點D射出磁場的粒子在從O點運動到D點的過程中，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，所以其運動軌跡如圖10中圓O1在磁場區(qū)域中的圓弧所示。由幾何知識知R=1/2，由洛倫茲力提供其做圓周運動所需的向心力得qvB0=mv2R，解得q/m=2v/B0L，選項A錯誤，c正確。當(dāng)粒子的軌跡圓以0點為中心旋轉(zhuǎn)時，將與磁場邊界AC相切于某點，故粒子不可能從A點射出磁場，選項B正確。當(dāng)粒子從B點射出時，其在磁場中的運動軌跡如圖10中圓02在磁場區(qū)域中的圓弧所示，對應(yīng)的圓心角θ=60°，運動時間t=60°/360°·2πR/v=πL/6v，選項D錯誤。

答案：BC

點評：求解本題時，根據(jù)粒子源特點畫出可能出現(xiàn)的動態(tài)圓，可以很便捷地找到隱含條件，即其中一條粒子運動軌跡與AC邊界相切，一條粒子運動軌跡經(jīng)過B點。

4.粒子源遇上圓形有界磁場。

例4 如圖11所示，一個半徑為R的豎直平面內(nèi)的圓形區(qū)域中分布著勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直于紙面向內(nèi)，有一粒子源在圓周上的A點不停地發(fā)射速率相同的帶正電的粒子。帶電粒子的質(zhì)量均為m，在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r，在磁場中的運動軌跡所對的圓心角為a，以下說法中正確的是（ ）。

答案：BD

點評：當(dāng)粒子源遇上圓形有界磁場時，從數(shù)學(xué)角度看，是兩個圓相交的幾何問題。當(dāng)r=2R時，粒子運動軌跡半徑大于磁場半徑，當(dāng)圓形磁場的直徑是粒子運動軌跡的一條弦時，粒子在磁場中的運動時間最長;當(dāng)r=R時，可用“等半徑平行”模型的規(guī)律解決。

方法與總結(jié)

當(dāng)粒子源遇上有界勻強磁場時，先根據(jù)入射粒子的速度大小、方向的特征確定粒子源的類型，再結(jié)合入射粒子的受力情況，準(zhǔn)確畫出粒子對應(yīng)情境的動態(tài)圓，尤其是對應(yīng)邊界問題的臨界狀態(tài)，找出軌跡圓半徑滿足的幾何關(guān)系，便可使相關(guān)問題迎刃而解。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖13所示，在z軸上方空間內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場。在原點O處有一粒子源，沿紙面各個方向不斷地放出同種粒子，粒子以相同的速率v射人磁場。粒子重力及粒子間的相互作用力均不計。圖中的陰影部分表示粒子在磁場中能經(jīng)過的區(qū)域，其邊界與y軸交點為M，與x軸交點為N，已知ON=L。下列說法中正確的是（ ）。

A.能經(jīng)過M點的粒子必能經(jīng)過N點

B.粒子的比荷為v/LB

C.從ON的中點離開磁場的粒子在磁場中運動的時間可能為πL/6v

D.從N點離開磁場的粒子在磁場中運動的時間為3πL/4v

2.如圖14所示，在矩形區(qū)域abcd中分布著垂直于紙面向外的勻強磁場，ab邊長為L，在ab邊的中點P處有一電子發(fā)射源，出射電子的速率取一切可能值，所有電子出射的速度方向均與ab邊成30°角斜向下，下列說法中正確的是（ ）。

A.只要初速度大小取合適的值，電子就可以在磁場中做完整的圓周運動

B.電子入射速度越大，在磁場中運動的時間一定越短

C.從ad邊出射的電子一定比從be邊出射的電子運動時間短

D.當(dāng)be邊長大于（√3/2+1）L時，cd邊無電子射出

3.如圖15所示，在三角形區(qū)域abc內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強磁場。在紙面內(nèi)一束電子以不同大小的速度從a點沿同一方向射人磁場。不計電子的重力和電子間的相互作用力，關(guān)于電子在磁場中運動的情況，下列說法中正確的是（ ）。

A.從be邊出射的電子在磁場中的運動時間都相等

B.從ab邊出射的電子在磁場中的運動時間都相等

C.從ab邊出射的電子距b點越近，其軌道半徑越小

D.從be邊出射的電子距b點越近，其軌道半徑越大

4.如圖16所示，圓形磁場區(qū)域中存在垂直于紙面向里的勻強磁場，PQ為圓形磁場的豎直直徑，O為圓形磁場的圓心，OA為圓形磁場的水平半徑，圓形磁場的半徑為R，處于磁場邊界P點的粒子源不斷沿各個方向?qū)⑺俾示鶠関0的同種帶電粒子垂直于磁場方向射人磁場。當(dāng)磁感應(yīng)強度為B0時，直徑PQ左側(cè)圓弧恰全部有帶電粒子射出，下列說法中正確的是（ ）。

A.粒子一定帶負(fù)電

B.粒子射出磁場時的速度方向一定垂直于直徑PQ

C.粒子的比荷為RB0/v0、

D.若磁感應(yīng)強度為2B0，則PA上均有粒子射出

參考答案：1.C 2，D 3.B 4.B

（責(zé)任編輯 張巧）