電場(chǎng)圖像多變幻，三條場(chǎng)線定乾坤

袁會(huì)珍

靜電場(chǎng)的圖像問(wèn)題有多種，其中較為常見(jiàn)的有φ-x圖像、E—x圖像、E0-x圖像等。利用圖像不僅可以考查同學(xué)們對(duì)與電場(chǎng)相關(guān)的基本概念、基本規(guī)律的理解情況，而且可以考查同學(xué)們利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。同學(xué)們往往會(huì)由于思維能力發(fā)展得不完善，而導(dǎo)致難以理解圖像問(wèn)題，若能巧妙地畫出三條具有代表性的電場(chǎng)線來(lái)表示題中所給的物理情境，形象直觀地把抽象的問(wèn)題具體化，那么就可以使得圖像問(wèn)題迎刃而解了。

一、循圖憶知辨本質(zhì)

求解帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵是要找到靜電力，根據(jù)靜電力的情況分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況和能量變化情況。

靜電力的大小、方向與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，利用電場(chǎng)線可以描述場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向。若有三條電場(chǎng)線則可以根據(jù)疏密情況描述電場(chǎng)中各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小，若已知一條電場(chǎng)線的方向則可以描述電勢(shì)的高低，根據(jù)正電荷在電勢(shì)高的地方電勢(shì)能大、負(fù)電荷在電勢(shì)低的地方電勢(shì)能大可以判斷電荷在各點(diǎn)的電勢(shì)能的變化情況。

二、典例剖析悟方法

1.φ-x圖像。

側(cè)，兩帶電荷量分別為q1和q2的點(diǎn)電荷固定在x軸上的O、M兩點(diǎn)，兩點(diǎn)電荷連線上各點(diǎn)電勢(shì)φ隨x變化的關(guān)系如圖1所示，其中C為ND段電勢(shì)最低的點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A. q1、q2等量異號(hào)

B.C、D兩點(diǎn)間場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正方向

C.C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零

D.將一負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能先減小后增大

解析：本題考查兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加問(wèn)題。根據(jù)沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，畫出z軸上的電場(chǎng)線方向，如圖2所示，因此q1、q2為等量正電荷，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。補(bǔ)充O、M兩點(diǎn)間的部分電場(chǎng)線，如圖3所示，因此C、D兩點(diǎn)間場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸負(fù)方向，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。由圖3可知，C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，選項(xiàng)C正確。將一負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)時(shí)，所受靜電力先向左再向右，位移一直向右，靜電力先做負(fù)功再做正功，電勢(shì)能先增大后減?。ǜ鶕?jù)負(fù)電荷在電勢(shì)低的地方電勢(shì)能大可知，將負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能先增大后減小），選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：C

點(diǎn)評(píng)：在φ-x圖像中，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于φ-x圖像斜率的大小，電場(chǎng)強(qiáng)度為零處，φ-x圖像存在極值，其切線的斜率為零;在φ-x圖像中，可以直接判斷各點(diǎn)電勢(shì)的高低，并可根據(jù)電勢(shì)的高低關(guān)系確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向;在φ-x圖像中，可以根據(jù)E0=qφ分析電荷移動(dòng)時(shí)電勢(shì)能的變化，進(jìn)而判斷靜電力做功的正負(fù)。

注意：本題中的電場(chǎng)不是勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)的大小變化情況能夠判斷出來(lái)，但是電場(chǎng)線是直線還是曲線并不能判斷出來(lái)，只是這并不影響對(duì)題目的分析，即只需要畫出三條電場(chǎng)線顯示出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向即可。

2.E-x圖像。

例2 真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2分別固定在z軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O和x=4a的兩點(diǎn)，在它們的連線上場(chǎng)強(qiáng)E與x的關(guān)系如圖4所示（取x軸正方向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)正方向，無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)），以下判斷正確的是（ ）。

A. Q1帶正電，Q2帶負(fù)電

B.Q1的電荷量是Q2的3倍

C.x軸上x=3a處的電勢(shì)為零

D.正點(diǎn)電荷q在x軸上x=a處的電勢(shì)能比在x=2a處的大

解析：本題考查兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加問(wèn)題，需要考慮場(chǎng)強(qiáng)的矢量性。取x軸

答案：D

點(diǎn)評(píng)：E-x圖像反映的是電場(chǎng)強(qiáng)度隨位移變化的規(guī)律，本題中E>0表示場(chǎng)強(qiáng)沿z軸正方向，E<0表示場(chǎng)強(qiáng)沿z軸負(fù)方向。E-x圖像與x軸圍成的“面積”表示電勢(shì)差，“面積”的大小表示電勢(shì)差的大小，兩點(diǎn)的電勢(shì)高低關(guān)系可以根據(jù)電場(chǎng)方向進(jìn)行判定。

3.E0一x圖像和Ek-X圖像。

例3 在x軸上O、P兩點(diǎn)分別放置電荷量為q1、q2的點(diǎn)電荷，一帶正電的試探電荷在兩點(diǎn)電荷連線上的電勢(shì)能E0隨x變化的關(guān)系如圖6所示，其中A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)能為零，BD段中C點(diǎn)的電勢(shì)能最大，則（ ）。

A. q1和q2都是正電荷，且q1>q2

B.B、C兩點(diǎn)間場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸負(fù)方向

C.C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大于A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

D.將一負(fù)點(diǎn)電荷從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，靜電力先做負(fù)功后做正功

解析：根據(jù)正電荷在電勢(shì)高處電勢(shì)能大可知，試探電荷在O、A、B、C四點(diǎn)的電勢(shì)大小關(guān)系為φ0>φA，φB<φC，且在試探電荷運(yùn)動(dòng)中的某一小段位移Ax內(nèi)靜電力做功為qE·△x。由功能關(guān)系知△E0=-qE·△x，即△Ep/△x=-qE，因此Ep-x圖像斜率的絕對(duì)值表示靜電力大小。根據(jù)E0一x圖像的斜率可知，從O點(diǎn)到A點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)減小，從A點(diǎn)到P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)增大，電場(chǎng)線如圖7所示，因此兩個(gè)點(diǎn)電荷必定是異種電荷，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。由圖7可知，B、C兩點(diǎn)間場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸負(fù)方向，選項(xiàng)B正確。根據(jù)E0一x圖像斜率的絕對(duì)值等于靜電力大小，以及靜電力F=qE可知，C點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不等于零，則A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)比C點(diǎn)的大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。將一負(fù)點(diǎn)電荷從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，電勢(shì)先升高后降低，電勢(shì)能先減小后增大，靜電力先做正功后做負(fù)功，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：B

注意：電勢(shì)為零處，電場(chǎng)強(qiáng)度不一定為零。正電荷在電勢(shì)高處的電勢(shì)能大，負(fù)電荷在電勢(shì)低處的電勢(shì)能大，靜電力做功的正負(fù)決定電勢(shì)能的變化。

例4 一帶正電的粒子僅在靜電力作用下做直線運(yùn)動(dòng)，將初始位置O定為坐標(biāo)原點(diǎn)和零電勢(shì)能點(diǎn)，取粒子的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸的正方向，粒子動(dòng)能Ek與位置坐標(biāo)z的關(guān)系如圖8所示。如圖9所示的四幅關(guān)于場(chǎng)強(qiáng)E、粒子的速度v、加速度a、電勢(shì)能E0與z的關(guān)系圖像中，合理的是（ ）。

解析：由動(dòng)能定理W=qE ·△x=△Ek可知，粒子動(dòng)能Ek與位置坐

標(biāo)x圖像的斜率反映電場(chǎng)強(qiáng)度的變化，因此粒子所在電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)線如圖10

所示，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。因?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)不變，所以粒子的加速度不變，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。由v2=2ax得v=√2ax，因此v-x圖像應(yīng)是一條曲線，選項(xiàng)B正確。根據(jù)△E0=-qE·△x可知，Ep-z圖像斜率的絕對(duì)值等于靜電力的大小，是一定值，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：B

點(diǎn)評(píng)：E0-x圖像和Ek -x圖像都反映了能量隨位移變化的規(guī)律，圖像斜率的絕對(duì)值都等于靜電力的大小，根據(jù)圖像可以進(jìn)一步判斷場(chǎng)強(qiáng)、速度、加速度等隨位移的變化情況。

4.v-t圖像。

例5 兩個(gè)等量正點(diǎn)電荷固定在光滑水平面上，其連線中垂線上有A、B、C三點(diǎn)，如圖ll甲所示，一個(gè)電荷量q=2×10^-3C、質(zhì)量m=0.1 kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從C點(diǎn)由靜止釋放，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的v-t圖像如圖11乙所示，其中B點(diǎn)處為圖像切線斜率最大的位置（圖中標(biāo)出了該切線）。下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.由C點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中，小物塊的電勢(shì)能先減小后變大

B.B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=50 V/m

C.由C點(diǎn)到A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度逐漸減小

D.由已知條件不能求出A、B兩點(diǎn)間的

答案：B

點(diǎn)評(píng)：明確等量同種電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的特點(diǎn)是求解本題的關(guān)鍵，利用v-t圖像的斜率表示加速度，由牛頓第二定律求靜電力、由動(dòng)能定理求電勢(shì)差是常用的方法。

總結(jié)：解決圖像問(wèn)題的核心是根據(jù)物理規(guī)律確定變量間滿足的函數(shù)關(guān)系式，確定截距、斜率、面積的物理意義，并盡量將圖像還原成與實(shí)際運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的物理情境。針對(duì)電場(chǎng)中的圖像問(wèn)題，我們應(yīng)該結(jié)合圖像的物理意義，找出與靜電力的關(guān)系，模擬電場(chǎng)線的分布，且畫出至少三條電場(chǎng)線，將帶電粒子在電場(chǎng)中的受力情況、能量變化情況等形象直觀地展現(xiàn)出來(lái)，為最終實(shí)現(xiàn)順利求解相關(guān)物理量提供幫助。

跟蹤訓(xùn)練

1.一靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線平行于z軸，其電勢(shì)φ隨坐標(biāo)z的改變而改變，如圖13所示。若將一帶負(fù)電的粒子（重力不計(jì)）從坐標(biāo)原點(diǎn)o由靜止釋放，電場(chǎng)中P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為xP=1 mm、x0 =4 mm。下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.粒子將沿x軸正方向一直向前運(yùn)動(dòng)

B.粒子在P點(diǎn)與Q點(diǎn)時(shí)的加速度大小相等，方向相反

C.粒子經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能相等

D.粒子經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)時(shí)，靜電力做功的功率相等

2.一靜電場(chǎng)在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)E隨坐標(biāo)x的變化關(guān)系如圖14所示，取x軸正方向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)的正方向，帶正電的點(diǎn)電荷沿z軸運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)電荷（ ）。

A.在x2和x1處電勢(shì)能相等

B.由x1運(yùn)動(dòng)到x3的過(guò)程中，電勢(shì)能增大

C.由xl運(yùn)動(dòng)到x4的過(guò)程中，靜電力先增大后減小

D.由xl運(yùn)動(dòng)到x4的過(guò)程中，靜電力先減小后增大

3.一帶負(fù)電的粒子只在靜電力作用下沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其電勢(shì)能E0隨位移x的變化關(guān)系如圖15所示，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.粒子從x1處運(yùn)動(dòng)到x2處的過(guò)程中，靜電力做正功

B.x1、x2處電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸正方向

C.xl處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小大于x2處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小

D.x1處的電勢(shì)比x2處的電勢(shì)低

4.在x軸上電場(chǎng)強(qiáng)度E與x的關(guān)系如圖16所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a、b、c為x軸上的三個(gè)點(diǎn)，a、c兩點(diǎn)間的距離為d，a、c兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E0，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

參考答案：1.C 2.BC 3.AD 4.BC

（責(zé)任編輯 張巧）