點(diǎn)電荷的平衡與非平衡問題的進(jìn)階學(xué)習(xí)

王云 宋萬松

兩個(gè)或兩個(gè)以上點(diǎn)電荷在彼此間的靜電力作用下處于平衡或非平衡狀態(tài)時(shí)，點(diǎn)電荷可以保持靜止?fàn)顟B(tài)也可以做變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡可以是直線也可以是曲線，求解時(shí)可以采用動(dòng)態(tài)分析法、相似三角形法、整體法和隔離法等。

一、兩個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡

1.兩個(gè)點(diǎn)電荷的平衡。

側(cè)，如圖1所示，兩個(gè)帶有同種電荷的小球，用絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，若平衡時(shí)兩小球到過O點(diǎn)的豎直線的距離相等，則兩小球的質(zhì)量關(guān)系為（ ）。

A.m1>m2

B.m1=m2

C.m1

D.無法確定

反思：求解共點(diǎn)力平衡問題時(shí)可以采用解析法和圖像法，其中求解三個(gè)力的平衡問題時(shí)往往采用圖像法，即構(gòu)建出直角三角形利用勾股定理求解，或構(gòu)建出普通三角形利用正弦定理、余弦定理或相似三角形定理求解。

2.兩個(gè)點(diǎn)電荷的非平衡。

例2 如圖3所示，粒子A帶正電，粒子B帶負(fù)電，兩粒子僅在彼此間的庫侖力作用下繞其連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是（ ）。

A.它們做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力大小相等

B.它們的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑與所帶電荷量成正比

C.它們的角速度相等

D.它們的線速度與質(zhì)量成正比

反思：此情景類似于雙星系統(tǒng)，彼此間的庫侖引力提供各自做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力.兩帶電粒子的角速度相等，周期相等，半徑和質(zhì)量成反比，線速度大小和質(zhì)量成反比。

二，三個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡

1.三個(gè)點(diǎn)電荷的平衡。

例3 如圖4所示，在光滑絕緣水平面上放置電荷量分別為q1、q2、q3的三個(gè)點(diǎn)電荷，三者位于一條直線上，已知帶電荷量為q1的點(diǎn)電荷與帶電荷量為q2的點(diǎn)電荷之間的距離為r1，帶電荷量為q2的點(diǎn)電荷與帶電荷量為q3的點(diǎn)電荷之間的距離為r2，三個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的庫侖力作用下均處于平衡狀態(tài)。

（1）若q2為正電荷，請(qǐng)判斷q1、q3的電性。

（2）求三個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷量q1、q2、q3的大小之比。

解析：（l）三個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的庫侖力作用下均處于平衡狀態(tài)，則每個(gè)點(diǎn)電荷受到的庫侖力均為等大、反向的一對(duì)平衡力，因此當(dāng)q2為正電荷時(shí)，q1和q3必為負(fù)電荷。

反思：本題中的物理模型是經(jīng)典的三個(gè)點(diǎn)電荷的平衡模型，求解的關(guān)鍵是采用假設(shè)分析法確定三個(gè)點(diǎn)電荷的電性關(guān)系——“兩同夾異”，利用平衡條件構(gòu)建電荷量的大小關(guān)系——“兩大夾小、近小遠(yuǎn)大”。

2.三個(gè)點(diǎn)電荷的非平衡。

例4 如圖5所示，兩個(gè)固定的帶電荷量均為+q的點(diǎn)電荷a、b，相距為L(zhǎng)，通過它們的連線中點(diǎn)O作連線的垂直平面，在此平面內(nèi)恰好有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為-q的點(diǎn)電荷c以O(shè)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b、c三個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。已知靜電力常量為k，點(diǎn)電荷c的重力不計(jì)。則點(diǎn)電荷c的速率為（ ）。

反思：此情景類似于三星系統(tǒng)，不同的是天體間的相互作用力表現(xiàn)為萬有引力，而點(diǎn)電荷間的相互作用力既有引力也有斥力。求解這兩類問題的關(guān)鍵均是分析受力情況和力的作用效果，判斷研究對(duì)象是達(dá)到平衡還是處于非平衡狀態(tài)，確定研究對(duì)象受到的合力為零還是提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力等。

三，四個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡

1.四個(gè)點(diǎn)電荷的平衡。

例6 如圖8所示，水平面上A、B、C三點(diǎn)固定著三個(gè)電荷量均為Q的正點(diǎn)電荷，將另一質(zhì)量為m的帶正電的小球（可視為點(diǎn)電荷）放置在O點(diǎn)，O、A、B、C四點(diǎn)恰構(gòu)成一棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的正四面體。已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在o點(diǎn)，小球所帶的電荷量為（ ）。

反思：本題的背景是三維立體圖形，對(duì)同學(xué)們的空間想象能力要求較高。求解此類問題可以采用降維思想，用兩個(gè)二維平面等效替代三維立體圖形，也可以建立三維坐標(biāo)系進(jìn)行分析。

2.四個(gè)點(diǎn)電荷的非平衡。

例7 如圖10所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處有帶電荷量均為Q的點(diǎn)電荷A、B、C，三角形的中心O點(diǎn)有一帶電荷量為Q的點(diǎn)電荷，四個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間的靜電力作用下構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，A、B、C三個(gè)點(diǎn)電荷繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每個(gè)點(diǎn)電荷的質(zhì)量均為m。求A、B、C三個(gè)點(diǎn)電荷繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期。

反思：此情景類似于四星系統(tǒng)，相較于天體運(yùn)動(dòng)模型，求解四個(gè)點(diǎn)電荷僅在彼此間靜電力作用下的穩(wěn)定系統(tǒng)問題時(shí)不僅需要考慮彼此間的引力還需要考慮斥力。

例2、例5、例7中的情景都類似于天體運(yùn)動(dòng)中的多星系統(tǒng)，兩者間有相似的地方——彼此間的相互作用力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，也有相異的地方——天體間的相互作用力表現(xiàn)為引力，點(diǎn)電荷間的相互作用力不僅有引力，還有斥力。

總結(jié)：人類思維習(xí)慣窮其所能總結(jié)簡(jiǎn)單性的基本規(guī)律，建立規(guī)范的思維體系，從眾多復(fù)雜的表面現(xiàn)象去總結(jié)一些本質(zhì)性，具有可復(fù)制的基本特性。通過上述進(jìn)階學(xué)習(xí)，同學(xué)們可以掌握求解多個(gè)點(diǎn)電荷的平衡與非平衡問題的關(guān)鍵——確定各點(diǎn)電荷的受力情況，明確力的作用效果是保證合力為零還是提供向心力等，采用力學(xué)解題方法完成對(duì)涉及庫侖力問題的求解。

（責(zé)任編輯 張巧）