考慮不同索賠類型及可變年免賠額的最優(yōu)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)

宋良有

摘要：在獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中加入免賠額會(huì)減少被保險(xiǎn)人支付的保費(fèi)，提高被保險(xiǎn)人風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)，也可以減少大量的小額賠款事件發(fā)生，節(jié)省管理費(fèi)用。文章研究了具有不同索賠類型和可變年免賠額的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)下的分配問題，提出了一種具體的分配方案。最后通過數(shù)值例子，解釋了分配方案的可行性。

關(guān)鍵詞：獎(jiǎng)懲系統(tǒng);年免賠額;溢價(jià);無差別原則

一、引言

在車險(xiǎn)理賠中，通常使用獎(jiǎng)懲系統(tǒng)（Bonus-Malus system，簡(jiǎn)稱BMS），該系統(tǒng)劃分了不同的等級(jí)，由被保險(xiǎn)人的歷史索賠數(shù)據(jù)來確定等級(jí)，并根據(jù)投保年內(nèi)被保險(xiǎn)人有無申請(qǐng)理賠，重新劃分被保險(xiǎn)人等級(jí)，從而支付等級(jí)對(duì)應(yīng)的保費(fèi)。當(dāng)被保險(xiǎn)人在投保年內(nèi)沒有申請(qǐng)理賠時(shí)，保險(xiǎn)公司會(huì)給出一定的獎(jiǎng)勵(lì)，并重新劃分等級(jí)，降低保費(fèi)，直至最低保費(fèi)限額;當(dāng)被保險(xiǎn)人在投保年內(nèi)申請(qǐng)一次甚至幾次理賠時(shí)，保險(xiǎn)公司會(huì)做出相應(yīng)的處罰，仍重新劃分等級(jí)，并提高保費(fèi)，直至最高保費(fèi)限額。

該獎(jiǎng)懲系統(tǒng)會(huì)有一些缺點(diǎn)。首先，被保險(xiǎn)人的等級(jí)提升只考慮發(fā)生索賠的次數(shù)，這會(huì)使發(fā)生幾次小索賠而申報(bào)所受的懲罰高于一次高額索賠，這顯然是不利于穩(wěn)定被保險(xiǎn)人的續(xù)保。其次，因?yàn)樯陥?bào)理賠會(huì)有相應(yīng)的懲罰，使得投保人對(duì)一些小額理賠不申報(bào)索賠，會(huì)影響保險(xiǎn)公司的預(yù)算，一旦有幾次高額索賠，可能會(huì)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司虧損嚴(yán)重。此外，當(dāng)保險(xiǎn)等級(jí)過高，被保險(xiǎn)人會(huì)逃避高保費(fèi)，出現(xiàn)撤保情況，會(huì)引起保險(xiǎn)公司的損失，并使得其他保險(xiǎn)公司低估新被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)。

為了避免這些情況，可以在原有的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)上引入免賠額。Lemaire研究了汽車保險(xiǎn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的初期模型，根據(jù)被保險(xiǎn)人的特征給出分級(jí)模型，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)移規(guī)則，使汽車保險(xiǎn)行業(yè)更有秩序性及有效性。由于傳統(tǒng)的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)有些不足的問題，Pitrebois等和孫景云等研究了帶免賠額的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，使得被保險(xiǎn)人的保費(fèi)與道德意識(shí)聯(lián)系，從而進(jìn)一步完善獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的機(jī)制。Denuit等和Pitrebois等研究了無差別原則，將增收保費(fèi)部分轉(zhuǎn)化為免賠額，使被保險(xiǎn)人提高安全意識(shí)。Ragulina，李義年和張永霞等利用馬爾可夫矩陣求出穩(wěn)態(tài)概率，使等級(jí)轉(zhuǎn)移有規(guī)律可循。Norberg研究了溢價(jià)的表達(dá)式，求最小均方誤差形式得出溢價(jià)。Denuit等研究了次索賠和年索賠模式下的無差別原則以及混合分配形式。

本文考慮具有不同索賠類型和年度免賠額的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，利用無差別原則、平穩(wěn)概率和溢價(jià)求得年免配額的合理分配策略。

二、模型構(gòu)建

本文采用Lemaire中關(guān)于BMS平均最優(yōu)自留額分析的基本假設(shè)。假設(shè)有m+1個(gè)索賠類型，每種索賠都有對(duì)應(yīng)的處罰，被保險(xiǎn)人處于哪一種索賠類型由年索賠額S決定。將索賠額分成很多個(gè)小區(qū)間，定義（0，c]為索賠類型0，（c，c]為索賠類型1，...，（c，∞）為索賠類型m。假設(shè)一個(gè)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)有s+1個(gè)等級(jí)，從0級(jí)到s級(jí)，最高的等級(jí)有最高的保費(fèi)，隨著等級(jí)的降低，保費(fèi)也越來越少，且在0級(jí)時(shí)，被保險(xiǎn)人擁有最低的保費(fèi)。新的被保險(xiǎn)人會(huì)有一個(gè)初始等級(jí)，每當(dāng)一個(gè)無理賠年，被保險(xiǎn)人的級(jí)別就降低，直至0級(jí)，同樣被保險(xiǎn)人在一個(gè)投保年內(nèi)申報(bào)一次甚至多次理賠，將會(huì)面臨懲罰，即提升等級(jí)，增收保費(fèi)。

用N表示索賠數(shù)目，λ表示先驗(yàn)?zāi)甓绕谕髻r頻率，Θ表示未觀察到的剩余傾向，用表示組合保單的分布函數(shù)，故實(shí)際年索賠頻率為λΘ。假設(shè)N服從混合泊松分布，可得N的條件離散概率質(zhì)量函數(shù)為Pr[N=K|Θ=θ]=（1）

為了不用多次考慮參數(shù)，可以用后驗(yàn)分布來表示參數(shù)并消除條件。因此N的無條件概率質(zhì)量函數(shù)為Pr[N=K]=Pr[N=K|Θ=θ]dF[θ]，k=0，1，2，…，記C1，C2，…，CN為一個(gè)理賠年中第k次損失額，因此總的索賠額為S=∑Ck。

其中，設(shè)損失額C1，C2，…，CN獨(dú)立同分布，并與索賠次數(shù)N獨(dú)立。被保險(xiǎn)人的等級(jí)完全由被保險(xiǎn)人的表現(xiàn)決定，而等級(jí)的升高更多是由被保險(xiǎn)人申請(qǐng)的索賠次數(shù)決定，而不是索賠額的多少。為了使假設(shè)與實(shí)際接近，記C1，C2，…，CN與Θ也相互獨(dú)立。由分級(jí)模型，定義年索賠額在各索賠類型中的概率為q0=P[Sc]，因此每個(gè)年索賠額所落在的區(qū)間，會(huì)有一個(gè)對(duì)應(yīng)的概率，可以看出∑qi=1，且每個(gè)qi>0。

本文假設(shè)在知道被保險(xiǎn)人當(dāng)前保費(fèi)水平以及本年度索賠次數(shù)就可以推出下一保單年的等級(jí)水平。因此，獎(jiǎng)懲系統(tǒng)可由Markov矩陣表示。由一步轉(zhuǎn)移矩陣得，穩(wěn)態(tài)概率為πl(wèi)=Pr[L=l]=πl(wèi)（λθ;q）dF（θ），0≤l≤s，溢價(jià)為rl=。

在支付保費(fèi)過程中，第級(jí)被保險(xiǎn)人應(yīng)交保費(fèi)為λrlE[C]。當(dāng)rl≤1時(shí)，他們支付的保費(fèi)不會(huì)高于基礎(chǔ)保費(fèi)λE[C]，故仍為λrlE[C]。當(dāng)rl>1時(shí)，取s0=min{l;rl>1}，表示最小溢價(jià)，即在rl>1或s0≤l≤s時(shí)，引入轉(zhuǎn)移概率αl，使被保險(xiǎn)人實(shí)際支付的保費(fèi)等于（1-αl）λrlE[C]，剩下的部分用作添加免賠額的形式在下文給出，這里選取0≤αl≤1。本文只討論rl>1的情況。年免賠額分配模型如下：

λrlE[C]=λE[C]+E[S|S≤dl]Pr[S≤dl]+dlPr[S>dl]（2）

分配理念參見文獻(xiàn)，其中免賠額由dl表示，表示當(dāng)溢價(jià)大于1時(shí)，被保險(xiǎn)人支付的保費(fèi)由基礎(chǔ)保費(fèi)和自付的免賠額與對(duì)應(yīng)概率的乘積組成。

為便于分析，需要給出如下幾點(diǎn)假設(shè)

假設(shè)1：不等式1≤（1-α）r≤（1-α+1）r+1≤…≤（1-αs）rs成立。

假設(shè)2：

1.對(duì)所有的l（s0≤l≤s） 0≤dl，0≤c，0≤dl，1≤c，0≤dl，2≤c，…，0≤dl，m≤c

2.對(duì)任意固定的l（s0≤l≤s） dl，0≤dl，1≤dl，2≤…≤dl，m

3.對(duì)任意固定的i（0≤i≤m） d≤d≤…≤ds，i

被保險(xiǎn)人少支付的保費(fèi)，由保險(xiǎn)公司給每個(gè)索賠制定相應(yīng)的免賠額，從索賠額中分離出來并等于dl，i，顯然dl，i的取值依賴于被保險(xiǎn)人的等級(jí)和索賠類型i。

三、年可變免賠額的最優(yōu)分配策略

對(duì)l級(jí)被保險(xiǎn)人使用無差別原則，并在年免賠額分配模型的基礎(chǔ)上引入轉(zhuǎn)移概率，剩下的αlλrlE[C]通過添加免賠額的形式取代，其中在s0≤l≤s條件下，可寫為，

αlλrlE[C]=E[S|S≤dl，0]Pr[S≤dl，0]+dl，0（q0-Pr|S≤dl，0）+dl，1q1+…+dl，mqm（3）

定理（3）存在一個(gè)解，對(duì)所有的S0≤l≤s，結(jié)合假設(shè)1，有

αl≤min{1-，}（4）

其中? ?f（c，c，…，c）=E[S|S≤c]q0+cq1+…+cqm

考慮特殊情況，dl，i=0（s0≤l≤s-1）和0≤i≤m，級(jí)是最高免賠額對(duì)應(yīng)的等級(jí)。為了滿足假設(shè)1，我們需要（1-αs）rs≥rs-1，得1-rs-1/rs，故可以選任意正的αs，例如，

αs≤min{1-，}（5）

選擇適當(dāng)?shù)膁s，0，ds，1，…，ds，m，令（4）中的l=s，得

αsλrsE[C]=（E[S|S≤ds，0]Pr[S≤ds，0]+ds，0（q0-Pr[s≤ds，0]）+ds，1q1+…+ds，mqm）（6）

如果（5）嚴(yán)格，則（6）有無窮多個(gè)解，針對(duì)免賠額，我們考慮如下的分配方案：高額索賠嚴(yán)格處罰，小額索賠輕微處罰。

先驗(yàn)證最高級(jí)處罰。首先，令ds，0=ds，1=…=ds，m-1=0，ds，m=c，并帶入（6），如果αsλrsE[C]>cqm，則免賠額可以分配為ds，0=ds，1=…=ds，m-1=0，ds，m=，否則αsλrsE[C]>cqm，也應(yīng)處罰m-1型索賠，直到得到所有分配。只要等式（5）成立，分配就是可能的。

四、數(shù)值計(jì)算

設(shè)定一個(gè)索賠等級(jí)模型，給出4個(gè)等級(jí)，即0～3級(jí);4個(gè)索賠類型，也是0～3類，其中每一類分別用q0，q1，q2，q3表示。如果投保年沒有申請(qǐng)索賠，則被保險(xiǎn)人的等級(jí)就降一級(jí)。初始等級(jí)是0的被保險(xiǎn)人發(fā)生一次索賠類型為0的索賠，則升1級(jí);發(fā)生一次索賠類型1的索賠，則升2級(jí);發(fā)生一次索賠類型2，3的索賠，則升3級(jí)。但發(fā)生2或3類型的索賠，有不同的免賠額。同樣，初始等級(jí)是1的被保險(xiǎn)人發(fā)生一次索賠類型1的索賠，則升1級(jí);發(fā)生一次索賠類型2或3的索賠，則升2級(jí)，最高3級(jí)，以此類推。

假設(shè)后驗(yàn)分布函數(shù)為FΘ（θ）=1-e-θ，其中N服從泊松分布，索賠額服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布的。由（4）得f（c，c，c）=E[S|S≤c]q0+cq1+cq2+cq3

例1：令λ=0.3，μ=1，c=1，c=2，c=4使用Matlab計(jì)算得q0=0.8903，q1=0.0635，q2=0.0381，q3=0.0081。類似的，πl(wèi)，rl可求。

αs≤min{1-，}≈{1-，}≈min{0.2813，0.3237}=0.2813對(duì)應(yīng)最高類型索賠的不同免賠額，調(diào)節(jié)，可得表1如下：

表1表示了調(diào)節(jié)dl，2的數(shù)額時(shí)，dl，3也隨著變化。展示了不論哪個(gè)等級(jí)，第2類型索賠額取不同值，很大程度影響了第3類型的免賠額。即假設(shè)2（3）成立。

前面選的αl比較小，則考慮較大的αl有表2如下：

表2把模型理念很好的表示出來，已知數(shù)值取值滿足假設(shè)1，2，高等級(jí)被保險(xiǎn)人所支付的保費(fèi)高，相應(yīng)的免賠額也高，也符合實(shí)際。

五、結(jié)論

最初的車險(xiǎn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是建立在由當(dāng)前投保年申請(qǐng)索賠的次數(shù)決定下一個(gè)投保年的保費(fèi)的基礎(chǔ)上，雖然會(huì)使汽車保險(xiǎn)變得有秩序，但是隨著時(shí)間推移以及申報(bào)理賠原因越來越多，使得險(xiǎn)種豐富，越來越體會(huì)出原有的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)并不是最完善的。國(guó)內(nèi)外有一些學(xué)者研究了次索賠基礎(chǔ)上的免賠額問題，但在年度索賠問題也有很大的發(fā)展空間，一些集團(tuán)和集體會(huì)以整體或是整年的形式去投保，這樣會(huì)節(jié)省處理時(shí)間以及每次理賠管理的費(fèi)用，有一定的實(shí)用價(jià)值。

由舉例可以看出，對(duì)不同的轉(zhuǎn)移概率，免賠額會(huì)有不同的分配，我們的目的是選取適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移概率使得獎(jiǎng)懲系統(tǒng)仍有意義，高等級(jí)被保險(xiǎn)人保費(fèi)比低等級(jí)高的基礎(chǔ)上，完整分配免賠額，使得較高等級(jí)的被保險(xiǎn)人都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的免賠額，提高被保險(xiǎn)人自身的道德與安全意識(shí)。

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（作者單位：遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院）