兩步式靈敏度矩陣法在卡塞格林望遠鏡裝調(diào)中的應用

曹宇澤，馬文禮

兩步式靈敏度矩陣法在卡塞格林望遠鏡裝調(diào)中的應用

曹宇澤1,2，馬文禮1*

1中國科學院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2中國科學院大學，北京 100049

為了調(diào)節(jié)視場較大的卡塞格林望遠鏡的次鏡位置，提出了兩步式靈敏度矩陣模型的計算機輔助裝調(diào)方法。在分析了傳統(tǒng)的二次模型靈敏度矩陣法的缺陷的基礎(chǔ)上，根據(jù)靈敏度矩陣的特點加入了精調(diào)步驟，對傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法進行了改進。針對卡塞格林系統(tǒng)，分析了各項澤尼克系數(shù)與失調(diào)量之間的關(guān)系，并對300 mm口徑，0.6°視場的卡塞格林系統(tǒng)進行了校正仿真。仿真結(jié)果顯示，傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法校正后沿、、軸偏移及繞、軸傾斜的失調(diào)量的均值分別為：-0.0684 mm、-0.0892 mm、0.0015 mm、0.0498°和-0.0444°，全視場波像差RMS均小于0.1(=632.8 nm)；兩步式靈敏度矩陣法校正后的均值分別為-0.0018 mm、-0.0012 mm、0.0002 mm、0.0008°和-0.0012°，全視場RMS均小于0.03，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法。

像差校正；靈敏度矩陣法；計算機輔助裝調(diào)；卡塞格林系統(tǒng)

1 引 言

隨著望遠鏡技術(shù)的發(fā)展，望遠鏡的口徑和視場越來越大，光學系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)越來越復雜，加工制造和裝調(diào)的難度也隨之提升[1]。通過干涉儀等檢測設備可以測量光學系統(tǒng)焦平面的光斑圖，并通過光斑圖計算得到各項澤尼克系數(shù)。為了得到良好的成像質(zhì)量，采用計算機輔助裝調(diào)技術(shù)，對光學系統(tǒng)進行實時檢測并與理論結(jié)果進行比較，通過建立澤尼克系數(shù)與失調(diào)量之間的數(shù)學模型，精確地對元件的失調(diào)量進行校正[2-3]。應用最廣泛的計算機輔助裝調(diào)方法是靈敏度矩陣法。該方法是一種在分析像差特性的基礎(chǔ)上，通過建立失調(diào)量與像差系數(shù)的數(shù)學模型來校正像差的方法[4-5]。最早的靈敏度矩陣是一階模型[6-9]，校正后可達到全視場RMS為0.1的結(jié)果。中國科學院長春光機所的顧志遠改進了靈敏度矩陣法，將數(shù)學模型擴展到二階，并用改進的靈敏度矩陣法對500 mm口徑的離軸望遠鏡進行校正，得到了全視場RMS均小于0.1的結(jié)果[10]。

本文分析了傳統(tǒng)靈敏度矩陣法的缺陷，通過擬合的方法構(gòu)建靈敏度矩陣并加入了精調(diào)的步驟，進一步提高校正精度。使用兩步式靈敏度矩陣法對300 mm口徑、0.6°視場的卡塞格林試驗系統(tǒng)進行校正仿真，得到了良好的校正結(jié)果。

2 兩步式靈敏度矩陣法原理

在光學系統(tǒng)中，元件的失調(diào)量會引入像差，單一元件有五個自由度的失調(diào)量，分別為沿軸偏移、沿軸偏移、沿軸(光軸)偏移、繞軸傾斜和繞軸傾斜，用D、D、D、T、T來表示，光學系統(tǒng)的像差可以用澤尼克多項式形式表示。根據(jù)泰勒定理，失調(diào)狀態(tài)下光學系統(tǒng)澤尼克多項式系數(shù)可以表示為

2.1 傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法

傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法使用的數(shù)學模型是失調(diào)量和像差之間二次相關(guān)，僅進行單次校正。通過構(gòu)建二次修正模型，得到各自由度的失調(diào)量和每個澤尼克系數(shù)之間的靈敏度矩陣，進而對失調(diào)量進行校正。二次修正模型表達式為

然而，由于不同自由度的失調(diào)量對澤尼克系數(shù)的影響并非完全相互獨立，失調(diào)量不同的情況下靈敏度矩陣也會隨之變化。因此，傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法具有較大的誤差。用擬合方法構(gòu)建靈敏度矩陣并將像差校正分為粗調(diào)和精調(diào)兩個步驟可以有效減小靈敏度矩陣變化帶來的誤差。

2.2 兩步式靈敏度矩陣法

由于靈敏度矩陣會隨著失調(diào)量的變化而改變，而且失調(diào)量越小靈敏度矩陣越接近線性，因此兩步式靈敏度矩陣法分為粗調(diào)和精調(diào)兩個步驟，粗調(diào)的目的是減小失調(diào)量，精調(diào)使用線性模型進行精確校正。

這種擬合得到的靈敏度函數(shù)精度較高，通過靈敏度函數(shù)可以構(gòu)建對應位置的修正模型：

通過修正模型可以計算出粗調(diào)的校正量。

粗調(diào)后失調(diào)量顯著減小，此時粗調(diào)中使用的靈敏度矩陣與粗調(diào)后對應位置的靈敏度矩陣有較大的偏差，如果重復使用粗調(diào)的靈敏度矩陣會導致校正結(jié)果偏差很大。由于各自由度失調(diào)量的絕對值小于0.1 mm或0.1°時失調(diào)量與澤尼克系數(shù)近似線性相關(guān)，因此精調(diào)采用失調(diào)量較小時的一階靈敏度矩陣。修正模型的表達式為

在構(gòu)建靈敏度矩陣時，需要考慮所采用的澤尼克多項式系數(shù)。由于光學系統(tǒng)的失調(diào)量主要造成初級像差，對成像質(zhì)量影響最大的是傾斜、離焦、彗差和像散，因此靈敏度矩陣的構(gòu)建優(yōu)先考慮0、1、2、…、8這幾個系數(shù)。

在選擇靈敏度矩陣的系數(shù)時，需要注意以下三點：

1) 選用的澤尼克系數(shù)必須能夠反映所有自由度的失調(diào)量變化；

2) 澤尼克系數(shù)與失調(diào)量之間呈明顯的線性或二次相關(guān)；

3) 澤尼克系數(shù)變化量不宜太小，能夠確保靈敏度函數(shù)的精度。

因此，兩步式靈敏度矩陣法與傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法相比，主要從澤尼克系數(shù)的選取、靈敏度函數(shù)的計算方法和校正次數(shù)這三方面進行優(yōu)化，提高校正精度。

表1 卡塞格林望遠鏡光學系統(tǒng)參數(shù)

3 卡塞格林系統(tǒng)校正仿真

仿真使用300 mm口徑、0.6°視場的卡塞格林系統(tǒng)，波段范圍450 nm～800 nm，設計位置的全視場波像差RMS均小于0.03，并且要求50線對/mm處的MTF值大于0.6，具體參數(shù)如表1所示。

光學系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

校正過程中，以主鏡為基準，逐一添加透鏡并與設計位置對比，通過兩步式靈敏度矩陣法可以精確地校正每一塊透鏡的位置。本文主要通過校正次鏡位置來說明兩步式靈敏度矩陣法的可行性，因此在后續(xù)仿真中將次鏡以外的透鏡置于設計位置，僅研究次鏡的失調(diào)量校正。

以主鏡為基準，保持其他光學元件位置不變，對次鏡的5個自由度進行校正。首先需要選擇靈敏度矩陣使用的澤尼克系數(shù)。在(0°，0°)、(0°，0.3°)、(0°，-0.3°)、(0.3°，0°)、(-0.3°，0°)這幾個視場進行失調(diào)狀態(tài)仿真并分析各自由度的失調(diào)量變化對澤尼克系數(shù)的影響。其中軸上視場各自由度失調(diào)量與澤尼克系數(shù)的關(guān)系曲線圖如圖2所示。

圖中左列是受失調(diào)量影響較小的澤尼克系數(shù)曲線圖，右列是受失調(diào)量影響較大的澤尼克系數(shù)曲線圖，圖中未出現(xiàn)的澤尼克系數(shù)代表不受對應自由度的影響。由曲線圖可知，各自由度失調(diào)量對澤尼克系數(shù)的影響有三種：無影響、線性相關(guān)、二次相關(guān)，并且失調(diào)量對澤尼克系數(shù)的影響程度不同，其中D和T主要影響1和6，次要影響0、3、4和8；D和T主要影響2和7，次要影響0、3、4和8；D主要影響0和3，次要影響8。

圖1 卡塞格林系統(tǒng)的光學結(jié)構(gòu)圖

因此，根據(jù)澤尼克系數(shù)的選用原則，靈敏度矩陣的構(gòu)建采用0、1、2、3、6和7這六項。

初始失調(diào)量隨機選取，粗調(diào)后的失調(diào)量如表2。

為了說明不同失調(diào)狀態(tài)的靈敏度矩陣的差異，第三組初始狀態(tài)的軸上視場的靈敏度矩陣如表3所示(分號前后分別為二次系數(shù)和一次系數(shù))：

粗調(diào)后的五個自由度失調(diào)量的均值分別為-0.0626 mm、-0.0594 mm、0.0005 mm、0.0513°和-0.0424°。由圖2可以看出，只有受失調(diào)量影響較小的澤尼克系數(shù)才會與對應失調(diào)量二次相關(guān)。對于單一自由度，當失調(diào)量小于0.1 mm或0.1°時，二次函數(shù)和一次函數(shù)的偏差對失調(diào)量的影響小于0.0001 mm，因此失調(diào)量小于0.1 mm或0.1°時失調(diào)量與澤尼克系數(shù)近似線性相關(guān)，精調(diào)的靈敏度矩陣采用失調(diào)量為-0.0626 mm、-0.0594 mm、0.0005 mm、0.0513°和-0.0424°時的一階靈敏度矩陣。精調(diào)后的失調(diào)量如表4所示。

粗調(diào)后第三組的軸上視場的靈敏度矩陣如表5所示。

由于粗調(diào)后光學系統(tǒng)已經(jīng)較為接近設計位置，此時靈敏度函數(shù)用Matlab擬合為一階函數(shù)時的誤差已經(jīng)小于二階函數(shù)的誤差。

表2 粗調(diào)后的各自由度失調(diào)量

表3 初始狀態(tài)的靈敏度矩陣

表4 精調(diào)后的各自由度失調(diào)量

第三組精調(diào)采用的一階靈敏度矩陣如表6所示。

通過幾個靈敏度矩陣可以看出，粗調(diào)后的靈敏度矩陣與初始位置相比確實有了很大的變化。傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法為單次校正，等同于默認靈敏度矩陣處處相等。因此，兩步式靈敏度矩陣法確實比傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法精度更高。同時，采用精調(diào)矩陣也比重復使用粗調(diào)的二階矩陣精度更高。

傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法校正結(jié)果如表7所示。

同時附上四組初始失調(diào)狀態(tài)校正前后的澤尼克系數(shù)表，如表8所示。

4 結(jié) 論

本文在分析靈敏度矩陣的特點以及失調(diào)量對澤尼克系數(shù)影響的基礎(chǔ)上，從更換選用的澤尼克系數(shù)、用擬合的方法構(gòu)建靈敏度矩陣和增添精調(diào)步驟這三個方面對傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法進行了改進。對300 mm口徑、0.6°視場的卡塞格林望遠鏡進行了多次校正仿真。仿真結(jié)果顯示，傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法校正后沿、、軸偏移及繞、軸傾斜的失調(diào)量的均值分別為：-0.0684 mm、-0.0892 mm、0.0015 mm、0.0498°和-0.0444°，全視場波像差RMS均小于0.1；兩步式靈敏度矩陣法校正后的均值分別為-0.0018 mm、-0.0012 mm、0.0002 mm、0.0008°和-0.0012°，全視場RMS均小于0.03，校正后的光學系統(tǒng)接近設計位置，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法，說明了兩步式靈敏度矩陣法對卡塞格林望遠鏡的裝調(diào)具有很好的實用價值。

表5 粗調(diào)后的靈敏度矩陣

表6 精調(diào)采用的一階靈敏度矩陣

表7 傳統(tǒng)的靈敏度矩陣法校正后的失調(diào)量

表8 校正前后的澤尼克系數(shù)

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Application of two step sensitivity matrix method in Cassegrain telescope alignment

Cao Yuze1,2, Ma Wenli1*

1Institute of Optics and Electronics, Chinese Academy of Sciences, Chengdu, Sichuan 610209, China;2University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China

Layout of Cassegrain system

Overview:With the development of telescope technology, the aperture and field of view of telescope are becoming larger and larger, the structure of optical system is becoming more and more complex, and the difficulty of fabrication and assembly is also increasing. The speckle pattern of the focal plane of the optical system can be measured by interferometer and other testing equipment, and the Zernike coefficients can be calculated by the speckle pattern. For Cassegrain telescope, in order to obtain good imaging quality, it is necessary to correct the position of its secondary mirror. By using computer-aided alignment technology, the optical system can be real-time detected and compared with the theoretical results. By establishing a mathematical model between Zernike coefficient and misalignment, the misalignment of the components can be corrected accurately. The most widely used computer-aided alignment method is the sensitivity matrix method. Sensitivity matrix method is a method of correcting aberration by establishing mathematical model of misalignment and Zernike coefficient on the basis of analyzing aberration characteristics. The traditional sensitivity matrix method only carries out single correction. According to the meaning of Zernike coefficient,3、4、5、6、7and8are chosen to construct the sensitivity matrix. Based on the analysis of the shortcomings of the traditional sensitivity matrix method of the two order model, a fine tuning step was added based on the characteristics of the sensitivity matrix. The calculation method of sensitivity is improved. According to the relationship between misalignment and Zernike coefficient, the selection principle of Zernike coefficient for constructing sensitivity matrix is proposed. The traditional sensitivity matrix method is improved. For the Cassegrain system, the relationship between the Zernike coefficients and the misadjustment was analyzed, and the calibration simulation of Cassegrain system with 300 mm aperture and 0.6° field of view was carried out. The simulation results show that after correction by traditional sensitivity matrix method, the mean values of offset along,,axes and tilt around,axes are -0.0684 mm, -0.0892 mm, 0.0015 mm, 0.0498° and -0.0444°, respectively, and the full field wavefront aberration RMS is less than 0.1(=632.8 nm). After correction by two step sensitivity matrix correction method, the mean values are -0.0018 mm, -0.0012 mm, 0.0002 mm, 0.0008° and -0.0012°, respectively, and the full field wavefront aberration RMS is less than 0.03. The corrected optical system reaches the diffraction limit and approaches the design position, which is obviously superior to the traditional sensitivity matrix method.

Citation: Cao Y Z, Ma W LApplication of two step sensitivity matrix method in Cassegrain telescope alignment[J]., 2020, 47(2): 180536

Application of two step sensitivity matrix method in Cassegrain telescope alignment

Cao Yuze1,2, Ma Wenli1*

1Institute of Optics and Electronics, Chinese Academy of Sciences, Chengdu, Sichuan 610209, China;2University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China

In order to adjust the position of the secondary mirror of Cassegrain telescope with large field of view, a computer aided adjustment method of two-step sensitivity matrix model was proposed. Based on the analysis of the shortcomings of the traditional sensitivity matrix method of the two order model, a fine tuning step was added based on the characteristics of the sensitivity matrix and the traditional sensitivity matrix method was improved. For the Cassegrain system, the relationship between the Zernike coefficients and the misalignment was analyzed, and the calibration simulation of Cassegrain system with 300 mm aperture and 0.6° field of view was carried out. The simulation results show that after correction by traditional sensitivity matrix method, the mean values of offset along,,axes and tilt around,axes are -0.0684 mm, -0.0892 mm, 0.0015 mm, 0.0498° and -0.0444°, respectively, and the full field wavefront aberration RMS is less than 0.1(=632.8 nm). After correction by two step sensitivity matrix correction method, the mean values are -0.0018 mm, -0.0012 mm, 0.0002 mm, 0.0008° and -0.0012°, respectively, and the full field wavefront aberration RMS is less than 0.03, which is obviously superior to the traditional sensitivity matrix method.

aberration correction; sensitivity matrix method; computer-aided alignment; Cassegrain system

TH743

A

10.12086/oee.2020.180536

: Cao Y Z, Ma W L. Application of two step sensitivity matrix method in Cassegrain telescope alignment[J]., 2020,47(2): 180536

2018-10-22；

2019-03-13

曹宇澤(1994-)，男，碩士研究生，主要從事大口徑望遠鏡的像差檢測與校正方面的研究。E-mail：qfwxdc@163.com

馬文禮(1962-)，男，研究員，博士生導師，主要從事光電探測、精密機械、光電探測系統(tǒng)總體技術(shù)的研究及大型光電望遠鏡的研制。E-mail：mawenli@ioe.ac.cn

曹宇澤，馬文禮. 兩步式靈敏度矩陣法在卡塞格林望遠鏡裝調(diào)中的應用[J]. 光電工程，2020，47(2): 180536

* E-mail: mawenli@ioe.ac.cn