基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量方法研究

呂清花，程 壯，翟中生*，王選擇，崔甲臣，呂 輝

基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量方法研究

呂清花1,2，程 壯3，翟中生3*，王選擇3，崔甲臣1,2，呂 輝1,2

1太陽能高效利用湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430068；2湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430068；3湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院現(xiàn)代制造質(zhì)量工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430068

針對工作臺運(yùn)動(dòng)誤差，提出了一種基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量方法。通過液晶空間光調(diào)制器(SLM)生成無衍射光，利用兩束無衍射光干涉生成莫爾條紋。設(shè)計(jì)了無衍射光莫爾條紋三自由度測量光路，建立了三自由度運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型，并用幾何分析法將三種運(yùn)動(dòng)誤差(偏擺角、滾轉(zhuǎn)角和俯仰角)進(jìn)行分離。利用旋轉(zhuǎn)臺模擬不同大小的三自由度運(yùn)動(dòng)誤差，帶有誤差信息的無衍射光和莫爾條紋圖案分別由CCD1和CCD2接收。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過光斑中心偏移量計(jì)算出的實(shí)際運(yùn)動(dòng)誤差值接近理論值，測量誤差不超過0.0104°，驗(yàn)證了無衍射光莫爾條紋三自由度測量系統(tǒng)的可行性與正確性。

三自由度測量；無衍射光；莫爾條紋；液晶空間光調(diào)制器

1 引 言

大行程精密工作臺在工業(yè)生產(chǎn)和科研領(lǐng)域內(nèi)占有重要的地位，其運(yùn)動(dòng)精度會(huì)直接影響零件的加工精度與測量精度[1]，當(dāng)工作臺工作時(shí)，受直線導(dǎo)軌自身精度的影響，不可避免地會(huì)產(chǎn)生微小的角運(yùn)動(dòng)，這種附加運(yùn)動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生多余的運(yùn)動(dòng)誤差，并且隨著行程不斷增大，運(yùn)動(dòng)誤差也會(huì)增大。為了提高加工與裝配精度，通常采用補(bǔ)償?shù)姆绞饺p小這種附加運(yùn)動(dòng)所帶來的運(yùn)動(dòng)誤差[2]，但是補(bǔ)償?shù)那疤崾悄軌驒z測出導(dǎo)軌在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的微小線位移與角位移。

眾多領(lǐng)域有對多自由度測量的需求。目前，多自由度測量技術(shù)主要分為接觸式和非接觸式。接觸式測量對被測對象產(chǎn)生干擾，應(yīng)用較少。非接觸式測量主要采用光學(xué)原理，利用激光具有高分辨率、高靈敏度、抗干擾能力強(qiáng)的特點(diǎn)。Zhang提出了一種基于激光外差干涉的位移角度實(shí)時(shí)測量系統(tǒng)[3-4]，該方法僅能實(shí)現(xiàn)一個(gè)方向上角度和位移的同時(shí)測量。研究者還嘗試用激光衍射技術(shù)進(jìn)行多自由度測量[5-8]，房豐洲等利用全息透鏡實(shí)現(xiàn)四自由度的測量，該方法對環(huán)境穩(wěn)定性要求很高?？锎浞降壤霉獍呶恢脵z測技術(shù)得到光斑位置變化量對應(yīng)的實(shí)際多自由度誤差[9-10]。光斑位置精度將影響測量結(jié)果的精度和準(zhǔn)確性。為了實(shí)現(xiàn)多自由度的測量，研究者們還采用了多個(gè)CCD的視覺檢測技術(shù)[11-13]和多個(gè)探測器的光學(xué)準(zhǔn)直技術(shù)[14-15]等，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜、對測量環(huán)境要求較高。為了增大測量范圍，研究者提出了多技術(shù)相結(jié)合的測量方法[16-18]，如趙轉(zhuǎn)萍等[16]利用激光干涉和光斑位置檢測技術(shù)相結(jié)合，通過CCD中被測物的位置信息以及激光干涉儀測得光臂長度的變化量計(jì)算出六自由度誤差，該方法測量范圍大，但是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且光路調(diào)試比較困難。

我們前期提出了利用軸錐鏡產(chǎn)生無衍射光莫爾條紋的方法測量三自由度角度誤差[19]，相比其它方法，具有受環(huán)境影響小、測量范圍大和靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)。但由于軸錐鏡的加工精度影響無衍射光莫爾條紋的效果，從而影響測量結(jié)果的精度，且對不同的測量范圍和精度需要更換不同角度的軸錐鏡，操作不便。

本文提出了一種基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量方法。采用空間光調(diào)制器(spatial light modulator，SLM)加載高階相位全息圖代替軸錐鏡生成無衍射光，利用無衍射光長距離穩(wěn)定性及莫爾條紋放大性，設(shè)計(jì)了工作臺三自由度測量系統(tǒng)。并建立了運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)學(xué)模型，用幾何分析法將三種運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行分離，實(shí)現(xiàn)了偏擺角、俯仰角與滾轉(zhuǎn)角三自由度的同時(shí)測量。通過改變?nèi)霃?，使生成的無衍射光和莫爾條紋的效果最好，不僅減少因軸錐鏡加工精度帶來的誤差，且具有更好的操作靈活性。

2 測量理論

2.1 無衍射光莫爾條紋特性

無衍射光具有中心光斑能量集中，大小、形狀不隨傳播距離發(fā)生變化的特性，其振幅表達(dá)式符合零階貝塞爾函數(shù)，相連兩零點(diǎn)距離近似為π，如圖1(a)所示，所以在外觀上將無衍射光看成等間距的貝塞爾環(huán)，可以類比作同心圓光柵。由相干光干涉理論可知，無衍射光莫爾條紋的干涉場為不同位置的零階貝塞爾分布的復(fù)振幅的疊加，干涉場的強(qiáng)度為[20]

式中：1和2分別為兩束光的光程，1和2分別為兩束光在極坐標(biāo)內(nèi)的極徑，和分別為軸錐鏡的錐角和折射率，J0為零件貝塞爾函數(shù)，=2π/，為波長。

莫爾條紋仿真圖如圖1(b)所示。由于無衍射光莫爾條紋是兩束無衍射光干涉而成，所以其兼具同心圓光柵莫爾條紋和無衍射光的特性。無衍射光中心光斑的大小和形狀不隨傳輸距離發(fā)生變化，并且莫爾條紋具有計(jì)量與放大作用。則根據(jù)無衍射光莫爾條紋的特性，將其引入三自由度測量具有一定的優(yōu)勢。

圖1 無衍射光莫爾條紋。

(a) 無衍射光振幅；(b) 莫爾條紋仿真

Fig. 1 Non-diffracting Moiré fringes.

(a) Amplitude distribution of non-diffracting beam; (b) Simulation of non-diffracting Moiré fringes

2.2 三自由度測量系統(tǒng)

無衍射光莫爾條紋三自由度測量光路如圖2所示，測量單元由反射鏡1、半透半反鏡和分光棱鏡2組成(圖2中虛線框部分)，固定在工作臺上。測量三種角度誤差：偏擺角(Yaw，繞軸旋轉(zhuǎn))、俯仰角(Pitch，繞軸旋轉(zhuǎn))、滾轉(zhuǎn)角(Roll，繞軸旋轉(zhuǎn))。從激光器出來的光經(jīng)過準(zhǔn)直擴(kuò)束裝置，入射到加載計(jì)算全息圖的SLM，產(chǎn)生的無衍射光經(jīng)過分光棱鏡1變成兩束，一束光經(jīng)過光衰減片、反射鏡1和分光棱鏡2；另一束光經(jīng)過反射鏡2和半透半反鏡，被反射的光束經(jīng)過分光棱鏡3被CCD1接收，透過的光束經(jīng)過分光棱鏡2和另外一束經(jīng)過分光棱鏡2的光束發(fā)生干涉形成莫爾條紋被CCD2接收。

當(dāng)測量單元隨著大行程工作臺運(yùn)動(dòng)，在三個(gè)方向上會(huì)產(chǎn)生角位移運(yùn)動(dòng)誤差，CCD1與CCD2中無衍射光的中心位置會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變，根據(jù)CCD1與CCD2中的光斑中心的位置變化即可檢測角位移運(yùn)動(dòng)誤差的變化。

2.3 三自由度運(yùn)動(dòng)誤差分離

從圖2中可知，CCD1接收的是單束無衍射光，CCD2接收的是無衍射光莫爾條紋。定義三種角運(yùn)動(dòng)誤差導(dǎo)致CCD1無衍射光中心光斑偏移量分別為：1()、1()、1()，CCD2中的光斑中心位移變化量為：2()、2()、2()。假設(shè)半透半反鏡中心距離分光棱鏡3的中心為1，分光棱鏡3的中心距離CCD1的距離為2，反射鏡1與分光棱鏡2的中心連線距離為3。

1) CCD1中光斑位置變化

當(dāng)存在偏擺角誤差時(shí)，工作臺繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)運(yùn)動(dòng)單元里面的半透半反鏡也會(huì)繞軸旋轉(zhuǎn)，偏擺角誤差模型如圖3(a)。以入射在半透半反鏡中心的光束分析，當(dāng)半透半反鏡繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，無衍射光的中心會(huì)在軸方向上產(chǎn)生一定的偏移。從平面方向觀測偏擺角誤差模型，簡化的原理圖如圖3(b)，11=1，11=2，由幾何關(guān)系可得D1=2。則偏移量1()為

當(dāng)存在俯仰角誤差時(shí)，工作臺繞軸旋轉(zhuǎn)，俯仰角誤差模型如圖4(a)，簡化的原理圖如圖4(b)，11=1，11=2，則D222=2。偏移量1()為

, (3)

圖3 CCD1中偏擺角誤差產(chǎn)生的位移量。(a) 示意圖；(b) 簡化原理圖

圖4 CCD1中俯仰角誤差產(chǎn)生的位移量。(a) 示意圖；(b) 簡化原理圖

當(dāng)存在滾轉(zhuǎn)角誤差時(shí)，工作臺繞軸旋轉(zhuǎn)，此時(shí)無衍射光的中心無偏移，即1()=0。CCD1中不能觀測到滾轉(zhuǎn)角誤差帶來的變化。

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2) CCD2中光斑位置變化

當(dāng)存在偏擺角誤差時(shí)，其模型如圖5(a)。以入射在反射鏡1中心的光束分析，當(dāng)整體單元的中心繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，CCD2中接收到的運(yùn)動(dòng)光束的中心在軸方向上產(chǎn)生一定的偏移。從平面方向觀測偏擺角誤差模型，簡化原理圖如圖5(b)，由幾何關(guān)系可得33=33/(sinD333)，D333=π/2-2D333，則偏移量2()為

當(dāng)存在俯仰角誤差時(shí)，模型如圖6(a)。運(yùn)動(dòng)光束的中心在軸方向上產(chǎn)生一定的偏移。簡化的原理圖如圖6(b)所示，則偏移量2()為

當(dāng)存在滾轉(zhuǎn)角誤差γ時(shí)，滾轉(zhuǎn)角誤差模型如圖7(a)。運(yùn)動(dòng)光束的中心在y軸和z軸方向上產(chǎn)生一定的偏移，此時(shí)的偏移量Δ2(γ)由兩部分組成：y軸方向的Δ2y(γ)和z軸方向的Δ2z(γ)。簡化的原理圖如圖7(b)，則由幾何關(guān)系可得，在y軸方向上的偏移量Δ2y(γ)為

圖6 CCD2中俯仰角誤差產(chǎn)生的位移量。(a) 模型；(b) 原理圖

圖7 CCD2中滾轉(zhuǎn)角誤差產(chǎn)生的位移量。(a) 示意圖；(b) 簡化原理圖

在軸方向上的偏移量2z()為

當(dāng)三自由度誤差混合存在時(shí)，由于CCD1中光斑中心位置變化反映偏擺角和俯仰角的變化，先分別通過CCD1中光斑中心偏移量計(jì)算出偏擺角誤差和俯仰角誤差，并分別計(jì)算出由于偏擺角和俯仰角誤差引起CCD2中光斑中心在方向和方向上的偏移量，則方向和方向上的剩余偏移量即為滾轉(zhuǎn)角誤差引起的，實(shí)現(xiàn)三自由度運(yùn)動(dòng)誤差分離。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用旋轉(zhuǎn)臺模擬三自由度變化，將反射鏡1、半透半反鏡和分光棱鏡2組成的測量單元放置于旋轉(zhuǎn)臺上。依據(jù)圖2測量系統(tǒng)原理，搭建了基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量驗(yàn)證光路。其中激光器采用波長為632.8 nm的He-Ne激光器；SLM的液晶類型為透射式LCD，型號為GCI770102，分辨率為1024×768，像元間距為26 μm；選取全息半徑大小為7 pixel的256級相位全息圖；CCD的分辨率為1280 ×1024，像元間距為5.2 μm。旋轉(zhuǎn)臺的傳動(dòng)比為180:1。實(shí)驗(yàn)過程中在CCD前放置透鏡縮小圖像，使圖像的整體輪廓信息盡可能反映完全。并測得半透半反鏡中心距離分光棱鏡3的中心1為16 mm，分光棱鏡3的中心距離CCD1的距離為2為20 mm，反射鏡1與分光棱鏡2的中心連線距離3為94 mm。

為了檢測三自由度變化引起CCD1與CCD2中光斑中心位置的變化情況，在0.5°的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍內(nèi)，分別在三個(gè)方向上每次旋轉(zhuǎn)0.125°，旋轉(zhuǎn)次數(shù)為4次，記錄下CCD1與CCD2中光斑中心位置，部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8和圖9所示。

利用圖像處理技術(shù)和無衍射光莫爾條紋相關(guān)算法，計(jì)算出其光斑中心的像素坐標(biāo)如表1所示。

由表1可以看出，偏擺角變化，CCD1中光斑中心橫坐標(biāo)基本不變，主要變化反映在縱坐標(biāo)；俯仰角變化，CCD1中光斑中心縱坐標(biāo)基本不變，主要變化反映在橫坐標(biāo)；滾轉(zhuǎn)角變化，CCD1中光斑中心橫、縱坐標(biāo)都基本不變(變化小于1像素)。

圖8 CCD1中三自由度變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖9 CCD2中三自由度變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由表1可以看出，CCD2中，偏擺角變化，光斑中心縱坐標(biāo)基本不變，而橫坐標(biāo)發(fā)生較大變化；存在俯仰角，橫坐標(biāo)基本不變，縱坐標(biāo)變化較大；滾轉(zhuǎn)角變化，縱坐標(biāo)是基本不變，主要變化反映在橫坐標(biāo)上，與圖9中光斑位置變化規(guī)律一致。

根據(jù)對應(yīng)方向的變化量、相關(guān)元器件及被測量參數(shù)，利用理論推導(dǎo)的光斑中心變化量，計(jì)算出實(shí)際角位移變化量，計(jì)算結(jié)果如表2，變化趨勢如圖10。

由圖10(a)可以看出，角度運(yùn)動(dòng)誤差從初始狀態(tài)0°，依次增加0.125°至0.5°時(shí)，理論上每旋轉(zhuǎn)1次，角位移變化0.125°，根據(jù)CCD1中光斑中心的偏移量求得角位移，與理論值進(jìn)行比較，最大誤差約為0.132°-0.125°=0.007°。由圖10(b)可以看出，同樣根據(jù)CCD2中光斑中心的偏移量求得角位移，與理論值進(jìn)行比較，最大誤差約0.0104°。

4 結(jié) 論

針對工作臺的三自由度運(yùn)動(dòng)誤差，本文通過SLM生成無衍射光，利用無衍射光中心光斑的大小和形狀不隨傳輸距離發(fā)生變化的特性，同時(shí)結(jié)合莫爾條紋的計(jì)量與放大作用，提出了一種基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量方法。實(shí)驗(yàn)表明，該方法其角位移誤差測量精度不超過0.0104°，驗(yàn)證了測量三自由度角度誤差的可行性。在測量精密工作臺的運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)(0.0001°數(shù)量級)，可以通過增加CCD與測量單元之間的距離，選用像素更小的CCD等方法實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，需要在后續(xù)的研究中，通過SLM校正成像像差以及改進(jìn)光斑中心定位方法等方面提高測量精度。

表1 CCD1、CCD2中三自由度變化對應(yīng)的光斑中心

表2 根據(jù)CCD1、CCD2中圖像運(yùn)動(dòng)誤差計(jì)算結(jié)果

圖10 實(shí)驗(yàn)結(jié)果。(a) CCD1；(b) CCD2

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3-DOF measurement method for non-diffracting Moiré fringes based on CGH

Lv Qinghua1,2, Cheng Zhuang3, Zhai Zhongsheng3*, Wang Xuanze3, Cui Jiachen1,2, Lv Hui1,2

1Hubei Collaborative Innovation Center for High-efficient Utilization of Solar Energy, Wuhan, Hubei 430068, China;2School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan, Hubei 430068, China;3Hubei Key Laboratory of Modern Manufacturing Quantity Engineering, School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan, Hubei 430068, China

Schematic diagram of measurement system of 3-DOF error motions

Overview:Error motions of a linear stage directly influence the performance of the precision positioning system in which the stage is used. Therefore, it is a critical task to measure the error motions. A measurement method for the determination of three-degree-of-freedom (3-DOF) error motions based on non-diffracting Moiré fringes is proposed.

A semi-transparent mirror (STM), a beam splitter and a mirror are adopted as the measurement head, which is fixed on the moving stage in order to sense 3-DOF angular errors. Two CCDs are used to capture the non-diffracting beams patterns that are carrying the errors. Computer generated holograms (CGHs) are loaded into a liquid crystal spatial light modulator (SLM) to produce non-diffracting beams. A beam splitter prism (BS1), placed after the SLM, splits the non-diffracting beam into two beams, the transmitted beam and the reflection beam. The reflected non-diffracting beam, after reflection by mirror 2, traveling through BS3, is reflected by the STM, and reaches CCD1. The image of the non-diffracting beams is captured by CCD1. The other beam transmits from BS3 to CCD2 after travelling through STM and BS2. The transmitted non-diffracting beam exiting BS1 passes through an attenuator, and then is reflected by mirror 1, from where it meets the beam from the moving unit. These two non-diffracting beams generate non-diffracting Moiré fringes, which are captured by CCD2.

When the stage moves, the position of the central points of the non-diffracting beams (as received by CCD 1) and the forms of Moiré fringes (obtained by CCD 2) will change in relation to different errors. It can measure the 3-DOF errors, which are yaw, pitch, and roll. By analyzing the geometric position of these center points, mathematical models for 3-DOF motion errors are established. Obviously, one of central points in CCD2 will be unchanged while the other one will changes according to different motion errors of stage.

A rotary table is used to simulate the 3-DOF motion errors and demonstrate the theoretical analysis. The measurement head is fixed on the table, which rotates different small angles (0°, 0.125°, 0.25°, 0.375°, 0.5°). The on-diffracting beam and non-diffracting Moiré fringe patterns are obtained by CCD1 and CCD2, respectively. The actual angular displacement is calculated by the offset of the center of the spot with the mathematical models. Compared with the theoretical value, the angular displacement error is less than 0.0104°, which verifies the feasibility and correctness of the 3-DOF measurement system for non-diffracting Moiré fringes.

Citation: Lv Q H, Cheng Z, Zhai Z S,3-DOF measurement method for non-diffracting Moiré fringes based on CGH[J]., 2020, 47(2): 190331

3-DOF measurement method for non-diffracting Moiré fringes based on CGH

Lv Qinghua1,2, Cheng Zhuang3, Zhai Zhongsheng3*, Wang Xuanze3, Cui Jiachen1,2, Lv Hui1,2

1Hubei Collaborative Innovation Center for High-efficient Utilization of Solar Energy, Wuhan, Hubei 430068, China;2School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan, Hubei 430068, China;3Hubei Key Laboratory of Modern Manufacturing Quantity Engineering, School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan, Hubei 430068, China

Aiming at the motion errors of the linear stage, a measurement method for the determination of three-degree-of-freedom (3-DOF) error motions is proposed based on non-diffracting Moiré fringes produced by computer-generated holograms (CGHs). A liquid crystal spatial light modulator (SLM) is used to generate non-diffracting beams, and two non-diffracting beams form Moiré fringes. A 3-DOF measuring optical path of non-diffracting Moiré fringes is designed. Meanwhile, a 3-DOF mathematical model of motion errors is established, and three kinds of motion errors (yaw angle, roll angle and pitch angle) are separated by geometric analysis method. A rotary table is used to simulate the 3-DOF motion errors on different conditions. The NDB and non-diffracting Moire? fringe patterns are obtained by CCD1 and CCD2 respectively. Experimental results show that the motion errors calculated by the positions of the central points agree well with the theoretical value with the error less than 0.0104°, which can verify the feasibility and correctness of the 3-DOF measurement system for non-diffracting Moiré fringes.

3-DOF measurement; non-diffracting beam; Moiré fringes; SLM

Supported by National Natural Science Foundation of China (51575164), the Science and Technology Research Project of Department of Education of Hubei Province (D20161406), and Hubei Collaborative Innovation Center for High-efficient Utilization of Solar Energy (HBSKFZD2014007)

TP391

A

10.12086/oee.2020.190331

: Lv Q H, Cheng Z, Zhai Z S,. 3-DOF measurement method for non-diffracting Moiré fringes based on CGH[J]., 2020,47(2): 190331

2019-06-14；

2019-11-04

國家自然科學(xué)基金資助課題(51575164, 51405143)；湖北省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(D20161406)；太陽能高效利用湖北協(xié)同創(chuàng)新中心基金項(xiàng)目(HBSKFZD2014007)

呂清花(1980-)，女，副教授，博士研究生，主要從事光電子技術(shù)、光電檢測、光伏技術(shù)方面的研究。E-mail：linsa080@126.com

翟中生(1978-)，男，教授，博士研究生，主要從事激光加工、光電檢測方面的研究。E-mail：zs.zhai@mail.hbut.edu.cn

呂清花，程壯，翟中生，等. 基于計(jì)算全息的無衍射光莫爾條紋三自由度測量方法研究[J]. 光電工程，2020，47(2): 190331

* E-mail: zs.zhai@mail.hbut.edu.cn