利用軌跡求解三角形的最值和范圍問題

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 李文東

三角形中的邊與角的最值和取值范圍問題，是高三復習過程中的難點，在高考中考查形式靈活，常常在知識的交匯點處命題，與函數(shù)、幾何、不等式等知識結合在一起綜合考查.我們知道三角形只要滿足三個條件，那么這個三角形就基本唯一確定了，而少于三個條件時，有些邊角、周長和面積就可以變化，從而就有了求這些量的取值范圍問題.這類問題的實質是將幾何問題轉化為代數(shù)問題，求解此類問題主要是要充分運用三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理，余弦定理，面積公式，基本不等式，三角恒等變形，三角函數(shù)的圖像和性質等知識，綜合性強，是解三角形問題中的難點.必要時可通過考察動點的軌跡的途徑，利用軌跡的思想數(shù)形結合地解決問題，往往能夠起到出奇制勝、化繁馭簡的目的，下面舉例說明.

一．動點軌跡為阿波羅尼斯圓

例1(2008 高考江蘇卷)求滿足條件AB= 2,AC=的?ABC的面積的最大值．．根據(jù)面積公式得，根據(jù)余弦定理得代入上式得

S?ABC=由三角形三邊關系有解得故當時，S?ABC取最大值

解法2考查動點C的軌跡，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線所在的直線為y軸建立直角坐標，則A(-1,0),B(1,0)，設C(x,y)，因為，故化簡得： (x-3)2+y2= 8 (y0)，故C到AB的距離的最大值為從而

點評本題的背景是阿波羅尼斯圓： 設點A,B為兩定點，動點P滿足PA=λPB，當1 時，動點P的軌跡為阿波羅尼斯圓．本題也可以用海倫公式其中求解，但都不如軌跡的方法運算量少，簡單直觀！

變式等腰?ABC的腰AC上的中線BD長為3，求?ABC面積的最大值.

解法1.設BC=x，則

解如圖1，以BD的中點O為原點，BD所在直線為x軸建立坐標系，由題意：|AB|= 2|AD|，故點A的 軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為：0)，而S?ABC= 2S?ABD，從而

圖1

例2如圖2，已知平面α ⊥平面β，A,B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA ?β,CB ?β，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD= 4，BC= 8，AB= 6，在平面α內(nèi)有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，求?PAB的面積的最大值．

圖2

解將空間幾何體中的線、面、角的關系轉化為平面內(nèi)點P所滿足的幾何條件．因為DA ⊥α，所以DA ⊥PA，所 以 在Rt?PAD中，tan ∠APD=，同 理，所以∠APD= ∠BPC，所以BP=2AP.在平面α內(nèi)以線段AB的中點為原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(-3,0),B(3,0)，設P(x,y)，則有化簡得：(x+5)2+y2=16，所以y2=16-(x+5)2≤16，所以|y|≤4，?PAB的面積為當且僅當x=-5,y=±4 時等號成立，則?PAB的面積的最大值是12．

二．動點軌跡為橢圓

例3已知?ABC的周長為10，AB=4，求?ABC面積的最大值.

解由題意CA+CB= 6＞AB，故點C的軌跡為以A,B為焦點的橢圓，去掉長軸上的兩頂點.以A,B所在的直線為x軸建立坐標系，易知該橢圓的方程為由此可知當點C位于橢圓短軸的頂點時，?ABC面積最大，且最大值為

例4(2013年高考全國卷第12 題)設?AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn，?AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,···，若b1＞c1,b1+c1= 2a1,an+1=an,bn+1=，則( )

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

解因為an+1=an，故數(shù)列{an}為常數(shù)列，設an=a1=a，又，故bn+1+cn+1=an+，而b1+c1= 2a1，從 而bn+cn=2a，即{bn+cn}也為常數(shù)列.

在?AnBnCn中，BnCn=an=a，AnBn+AnCn=bn+cn= 2a，故An是以Bn,Cn為焦點，長軸長為2a的橢圓，其方程為設An(xn,yn)，由橢圓的焦半徑公式有bn -cn= 2exn，e為橢圓的離心率.另一方面即，故{x2n}是遞減等比數(shù)列，而故{y2n}是遞增數(shù)列，從而為遞增數(shù)列，選B.

評注本題是2013年全國高考的選擇題壓軸題，若單純利用數(shù)列的知識解決難度比較大.而通過分析得出點An的軌跡是橢圓，借助橢圓的幾何性質則使得問題得以順利解決!

三.動點軌跡為三角形的外接圓

例5在?ABC中，且

(1)求角B的大小;(2)若求?ABC的面積的最大值．

解(1)B=120°.

(2)解法1由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，再利用基本不等式得： 12=a2+c2+ac ≥2ac+ac=3ac，即ac ≤4，從而當且僅當a=c時取等號.

解法2由正弦定理得：從 而a= 4 sinA,c= 4 sinC，S?ABC==AsinC，因為,故

解法3由正弦定理得：4 = 2R，即?ABC的外接圓的半徑為2.如圖3，B在半徑為2 的圓的劣弧AC上，顯然當B位于該弧的中點B′處時面積最大，易求得B′D= 1，從而

圖3

點評以上三種解法都很典型，方法1 是利用余弦定理和基本不等式，較為簡潔;方法2 是利用正弦定理化邊為角轉化為三角函數(shù)求最值，缺點是運算量較大;方法3 數(shù)形結合，簡單直觀!

變式1在?ABC中，求?ABC的周長的取值范圍．

解如圖4，點A在半徑為2 的圓的優(yōu)弧BC上，顯然當點A與點B或點C無限接近時，周長最小，此時而當A位于該弧的中點A′處時周長最大，此時

圖4

下面證明這一點，設點A為優(yōu)弧BC上異于A′的點，延長BA至C′，使得AC′=AC，連接AA′,A′C′.由題意∠A′AB= ∠A′CB= ∠A′BC，從而π -∠A′AB=π -∠A′BC，即∠A′AC′= ∠A′AC，又AC′=AC,AA′為公共邊，故?A′AC∽= ?A′AC′，于是A′C′=A′C，從而AB+AC=AB+AC′=BC′ ＜A′B+A′C′=A′B+A′C.綜上，?ABC周長的取值范圍為

變式2若在銳角?ABC中，求?ABC的周長的取值范圍．

解如圖5，A1B和A2C為圓的兩直徑，由題意可知滿足條件的點A在弧A1A2上，結合變式1可知?ABC周長的取值范圍為

圖5

例6在平面四邊形ABCD中，BD= 4,DC=則AC的最大值是.

解在?ABD中，由正弦定理有：= 2r=6，r= 3，如 圖6，點A在半徑為3 的圓的優(yōu)弧BD上，顯然當AC過圓心時AC最大，設E為BD中點，易證?OEF∽= ?CDF，故OF=于是AC的最大值為

圖6

四．建立并借助動點的軌跡方程求最值

例7 設?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若求?ABC的面積的最大值．

解以B為原點建立如圖7所示的坐標系，則C(a,0),設A(x,y)，于是

圖7

即

得