立體幾何情境中的最值問題

廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 曹 勇

近幾年全國卷越來越注重對立體幾何的考查，特別是選擇填空題中，立體幾何頻繁出現(xiàn)在試卷難度較大的12，16 題的位置，其中最值問題是非常重要的一個考查方向.最值問題綜合性較強，主要有幾何法和代數(shù)法兩個解題方向，幾何法側(cè)重利用平面幾何知識求最值，代數(shù)法側(cè)重利用函數(shù)求最值.本文總結(jié)了立體幾何情境中幾種主要的最值題型與解法，供同行參考.

一、平面展開求最值

例題1已知三棱錐P -ABC中，PA ⊥平面ABC，其三視圖是由三個直角三角形構(gòu)成，如圖1所示，若點M,N分別在棱PB,PC上，則AM+MN+NA的最小值為( )

圖2

分析通過三視圖，畫出三棱錐P -ABC的直觀圖，空間中長度之和的最值問題，通常通過平面展開、旋轉(zhuǎn)，將幾段長度轉(zhuǎn)化到同一個平面，進而轉(zhuǎn)化為平面幾何中兩點之間距離最短問題，最后利用平面幾何知識計算得到答案.

解通過三視圖，畫出三棱錐P -ABC的直觀圖，如圖2所示，以?PCB為初始平面，將?PCA,?PBA分別沿邊PC,PB展開并旋轉(zhuǎn)，使之與?PCB所在平面共面，如圖3所示，則AM+MN+NA的最小值即為線段AA1的長，根據(jù)平面幾何知識所以所以AA1=6，即AM+MN+NA的最小值為6.

真題某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖4．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為( )

圖3

圖4

簡析此題為2018年全國Ⅰ卷考試題，求曲面上兩點之間最短距離，使用平面展開的方法，易得答案為

二、平面平移求最值

例題2如圖5，在四面體ABCD中，AB=CD=2,E,F分別是AD,BC中點.若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為..

圖5

圖6

分析若直接找平面α，很難操作，且不易觀察何時截面面積最大.注意到四面體ABCD中三組對邊分別相等，可以在長方體中構(gòu)造四面體，再找截面α將會非常方便直觀，并在截面平移過程中，利用平面幾何知識，對稱性，函數(shù)思想等相關(guān)知識求最值.解決此類問題，先找出滿足條件的截面，再平移截面找最值是基本解題思想.

解在長方體中構(gòu)造四面體ABCD，如圖6所示，與直線EF垂直的截面α，即為平行四邊形PQMN，即求截面PQMN平移過程中面積的最大值.平移過程中始終有設(shè)異面直線BC與AD的夾角為θ，則當(dāng)且僅當(dāng)PQ=PN時取等號，此時截面過四面體ABCD各邊中點.

真題已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )

簡析此題為2018年全國Ⅰ卷考試題，當(dāng)截面平移到正方體各邊中點，形成正六邊形時面積最大值為

三、動點軌跡求最值

例題3如圖7，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動點，且B1F ‖平面A1BE，則B1F與平面CDD1C1所成角的正切值的最大值是.

圖7

圖8

分析要求B1F與平面CDD1C1所成角的最大值，需先找出動點F的運動軌跡，本題是線面平行背景的動點軌跡問題，要找線面平行，先找面面平行，要使得B1F ‖平面A1BE，則平面A1BE ‖B1F所在的平面，找到B1F所在的平面即找到P點的運動軌跡.

解如圖8所示，分別取線段CC1,C1D1中點M,N，連接B1M,B1N,MN，則平面B1MN ‖平面A1BE，所以動點F的軌跡即為線段MN.B1F與平面CDD1C1所成角即為∠B1FC1，所以顯然當(dāng)C1F最小，即C1F ⊥MN時∠B1FC1最大，設(shè)正方體邊長為a，則所以tan ∠B1FC1最大值為

例題4在棱長為1 的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點，P是?BDC1內(nèi)的一個動點，EP ⊥BC1，則EP的最大值為.

分析需先找出動點P的運動軌跡，本題是異面直線垂直背景的動點軌跡問題，要找線線垂直，先找線面垂直，要使得EP ⊥BC1，則BC1⊥EP所在的平面，找到平面即找到P點的運動軌跡.

解如圖9所示，連接AC,BD交于點M，連接A1C，過M作MN ⊥ BC1，垂足為N，再連接EN.正方體ABCD - A1B1C1D1中，A1C ⊥平面BDC1，所以EM ⊥平面BDC1，所以EM ⊥BC1，又MN ⊥BC1,所以BC1⊥平面EMN，平面EMN即為所求平面，線段MN即為動點P的軌跡.在Rt?EMN中所以EP的最大值為

圖9

四、內(nèi)切、外接求最值

例題5有一個底面半徑為R，軸截面為正三角形的圓錐紙盒，在該紙盒內(nèi)放一個棱長均為a的四面體，并且四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則a的最大值為.

分析要使得四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則四面體要在圓錐紙盒的內(nèi)切球O內(nèi)轉(zhuǎn)動，要使得棱長a最大，則內(nèi)切球O應(yīng)為四面體的外接球.在求解內(nèi)切球問題時，利用截面圖形的相似，是刻畫內(nèi)切球半徑的常用方法.

圖10

解圓錐紙盒及其內(nèi)切球O的軸截面圖形如圖10所示，設(shè)球O半徑為r，則OE=r,BD=R, AB=2R,所以所以又棱長為a的正四面體外接球半徑所以所以a的最大值為

例題6三棱錐P-ABC中，底面?ABC滿足BA=P在 面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為當(dāng)其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為( )

圖11

分析外接球的表面積最小即外接球半徑最小，需先構(gòu)建外接球半徑的函數(shù)，通過函數(shù)刻畫取最值的條件，在解外接球問題時，如何找到外接球的球心，進而刻畫半徑是解題關(guān)鍵，這需要學(xué)生熟練掌握常見外接球半徑的求解方法.

解如圖11 所示，設(shè)P在底面的射影為D，則D為AC中點，外接球球心O在PD上，連接OA，則OA為外接球半徑R，PD為P到面ABC的距離，設(shè)AB=BC=a，PD=h，則有所以a2h=27.由OA2=OD2+AD2，得化簡得

五、體積問題求最值

例題7已知在四面體A - BCD中，AD=DB=AC=CB= 1，則該四面體體積的最大值為.

分析體積最值問題中找到幾何體的高是解題關(guān)鍵，也是難點，然后選擇與動點相關(guān)的邊或角作為變量，并將幾何體的底面積和高用變量刻畫，從而構(gòu)造體積與變量的函數(shù)，最后利用函數(shù)知識求最值.

圖12

解如圖12 所示，取AB中點E，連接CE,DE，則CE ⊥AB,DE ⊥AB，所以AB ⊥平面CDE，設(shè)AE=x，則AB=2x,所以

S?CDE=sin ∠CED,因此

真題如圖13，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點，?DBC,?ECA,?FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起?DBC,?ECA,?FAB，使得D,E,F重合，得到三棱錐.當(dāng)?ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位： cm3)的最大值為.

圖13

簡析此題為2017年全國1 卷考試題，連接OF交AB于P，設(shè)OP=x, PF= 5- x，三棱錐高為構(gòu)造體積關(guān)于x的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)易得x= 5 時，三棱錐體積的最大值為

本題中如果設(shè)三角形ABC邊長為x，計算量將會加大，可見體積最值問題中，如何設(shè)變量，也是解題的關(guān)鍵.

立體幾何情境中的最值問題不僅考查學(xué)生的立體幾何知識，還考查學(xué)生的平面幾何知識，以及函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式等代數(shù)知識，是空間與平面，代數(shù)與幾何的有機結(jié)合體，能充分考查學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也是高考試題頻繁出現(xiàn)的原因.要解決好此類問題，不僅需要學(xué)生扎實掌握相關(guān)知識，還需要我們教師積極引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)最值問題的主干題型和解法，本文旨在拋磚引玉，請不吝賜教！