求解“知式尋圖”問題的思路舉隅

安徽省濉溪縣第二中學(xué)(235100) 祝 峰

一、問題提出

已知函數(shù)解析式選出其圖象的試題我們稱為其知式尋圖問題，常以選擇題形式呈現(xiàn).考查函數(shù)的基本性質(zhì)、圖象特點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，滲透幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).因其小巧靈活、覆蓋面廣而經(jīng)常在高考試題中出現(xiàn).這類問題求解過程中的典型思路有哪些？本文通過實(shí)例予以列舉，供讀者參考.

二、思路舉隅

1.去偽存真

例1 (2019年高考浙江卷第6 題)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)(a ＞0,且1)的圖象( )

解析函數(shù)的圖象由函數(shù)y= loga x圖象左移個(gè)單位得到，即時(shí)，y= 0，排除A、C.注意到與單調(diào)性相異，排除B，故選擇D.

評(píng)析四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，另外三項(xiàng)是干擾支.求解過程中若能抓住函數(shù)的本質(zhì)特征排除掉干擾支，可遴選出正確項(xiàng).這是由選擇題的結(jié)構(gòu)所派生出的一種特殊求解思路，俗稱“排除法”，實(shí)際上是一種邏輯判斷的過程.知式尋圖問題的求解過程中都會(huì)伴隨著這種思路.

2.奇偶性分析

例2（2018年高考浙江卷第5 題）函數(shù)y= 2|x|sin 2x的圖象可能是( )

解析設(shè)y=f(x)= 2|x|sin 2x，因?yàn)閒(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、B，注意到在區(qū)間上，2|x| ＞0,sin 2x ＜0，所以在上y ＜0，排除C，答案為D.

評(píng)析奇偶性是函數(shù)基本的性質(zhì)之一，幾何直觀為圖象具有對(duì)稱性.奇偶性是知式尋圖問題考查的重點(diǎn)知識(shí)，在求解過程中若函數(shù)具備奇偶性，應(yīng)首先利用這一特點(diǎn)排除掉部分選項(xiàng)，下述各例(除例6 外)均會(huì)用到這一思路.

3.特值分析

例3（2019 高考全國Ⅰ卷理科第5 題）函數(shù)f(x)=在[-π,π]的圖象大致為( )

解析因?yàn)樗?以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A.注意到排除B、C，故選D.

例4（2019 高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第7 題）函數(shù)y=在[-6,6]的圖象大致為( )

A.

B.

C.

D.

解析設(shè)所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C.注意到與8 很接近，排除選項(xiàng)A、D，故選B.

評(píng)析例3 中用與1 的大小關(guān)系，排除B、C；例4中用f(6)與8 的接近程度排除A、D.象這樣，利用特殊點(diǎn)函數(shù)值的特征排除干擾項(xiàng)的思路稱為特值分析法.特值分析是一種重要的思維方式，是數(shù)學(xué)抽象基本的表現(xiàn)形式，抽象始于對(duì)不同特例共同特點(diǎn)的認(rèn)識(shí).

4.符號(hào)分析

例5（2017年高考全國Ⅰ卷(文)第8 題）函數(shù)y=的部分圖象大致為( )

解析設(shè)因 為f(-x)=所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.排除B.而x=π時(shí)，y= 0，排除D.注意到在上，sin 2x ＞0,1-cosx ＞0，所以y ＞0，排除A.故C 是已知函數(shù)的圖象.

評(píng)析A、C 選項(xiàng)最基本區(qū)別在原點(diǎn)右側(cè)函數(shù)值的符號(hào)，通過上函數(shù)值符號(hào)的分析，排除掉A.可見，分析關(guān)鍵區(qū)間上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的符號(hào)，能達(dá)到去偽存真的目的.

5.單調(diào)性分析

例6（2018 高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第7 題）函數(shù)f(x)=-x4+x2+2 的圖象大致為( )

解析注意到f(0)=2，排除A、B.f′(x)=-3x3+2x=-2x(2x2-1)，注意到時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)為增函數(shù)，排除C，故正確答案為D.

評(píng)析C、D 兩項(xiàng)去偽存真的關(guān)鍵是原點(diǎn)附近函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)單調(diào)性作出分析才能選出正確項(xiàng).單調(diào)性分析是求解知式尋圖問題常用思路，常與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用結(jié)合.

6.極限分析

例7（2017 高考全國ⅠⅠⅠ卷文科第7 題）函數(shù)y=的部分圖象大致為( )

解析因?yàn)閤 →+∞時(shí)，，所以，排除B、C;注意到在原點(diǎn)右側(cè)附近，函數(shù)值取正，排除A.故選擇D.

評(píng)析x →+∞函數(shù)值的變化情況，即

是排除B、C 的重要依據(jù)，原點(diǎn)右側(cè)函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除掉A.兩次排除均采用了極限分析的思想，這種分析常用于考慮當(dāng)自變量趨向無窮大或者趨于間斷點(diǎn)處的極限，也是排除干擾支的常用手段.

三、思路總結(jié)

通過上述實(shí)例探究可見，知式尋圖問題的求解過程中，去偽存真是基本思路，具體手段有奇偶性分析、特值分析、符號(hào)分析、單調(diào)性分析、極限分析.具體問題求解中應(yīng)在去偽存真思路的統(tǒng)領(lǐng)下，多種思路并舉，相互結(jié)合，相互印證.