探析兩直線斜率之和為零在圓錐曲線解答題中的命題思路*

福建省漳州市教育科學(xué)研究院(363000) 張兵源

在解析幾何的學(xué)習(xí)中，有一類試題經(jīng)常出現(xiàn)在解答題當(dāng)中.此類試題以直線與某種圓錐曲線相交為載體，而題目的條件或結(jié)論歸結(jié)為兩直線傾斜角互補(bǔ)，或者可轉(zhuǎn)化成為兩直線斜率之和的求解問題.此類試題所給條件一般不會直接告知兩直線傾斜角互補(bǔ)，而是變換表述形式，有些試題的表達(dá)甚至更為隱蔽，這就要求將題目所給條件進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)向兩直線斜率之和的思維軌道上.

一、命題思路分析

思路一某條直線是某個(gè)角的角平分線.

此類題型的命題思路是從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的兩條直線分別與圓錐曲線相交(各有一個(gè)交點(diǎn))，從而形成一個(gè)角，然后告知軸或者某條水平直線是該角的角平分線.運(yùn)用平面幾何的知識不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成斜率之和進(jìn)行求解.

例1(2013年陜西高考理科第20 題)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程.

(2)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn).

解析(1)軌跡C的方程為y2=8x，過程從略.

(2)如圖1所示，設(shè)直線l方程為y=kx+b,P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b).聯(lián)立

得k2x2-(8-2kb)x+b2=0，由韋達(dá)定理有

因?yàn)閤軸是∠PBQ得角平分線，故直線PB,QB傾斜角互補(bǔ)，kP B+kP Q=0，即有

將(1)代入上式，化簡得

解得k=-b.此時(shí)直線l方程為y=kx-k，過定點(diǎn)(1,0).

圖1

圖2

例2已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)與橢圓有相同的離心率，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2,-1).

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)Q為橢圓C2的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線分別交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，若直線PQ平分∠APB，求證：直線AB的斜率是定值，并且求出這個(gè)定值.

解析(1)，過程從略.

(2)如圖2所示，Q(0,-1)，P(2,-1)，kP Q= 0.若直線PQ平分∠APB，則直線PA,PB的斜率均存在且不為0，且kP A=-kP B.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線PA方程為y+1=k(x-2)，與橢圓方程聯(lián)立得

(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0,所以同理可得又所以直線AB的斜率為

為定值.

命題思路二在一個(gè)三角形中有兩條線段長度相等.

此類題型的命題思路是在某一個(gè)三角形有兩條線段長度相等，或者求證某兩條線段長度相等.解題思路是將題目條件轉(zhuǎn)化成這兩條線段所在的直線斜率之和為0.

例3如圖(3)所示，橢圓中，右焦點(diǎn)為F.分別過O,F的兩條弦AB,CD相交于點(diǎn)E，且OE=EF.證明AC,BD斜率之和為定值.

圖3

解析由OE=EF得直線AB,CD的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).設(shè)直線AB的方程為y=kx，直線CD的方程為y=-k(x-1)，兩相交直線AB,CD與橢圓組成的二次曲線系方程為

展開得

即

顯然直線AC,BD也在上述二次曲線方程中.設(shè)AC:A1x+B1y+C1=0, BD:A2x+B2y+C2=0.由(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0，展開得

比較(2)，(3)兩式xy項(xiàng)的系數(shù)得到A1B2+B1A2=0.兩邊同時(shí)除以B1B2，得即0.因此直線AC,BD的斜率之和為定值0.

例4已知橢圓的離心率為是C1上一點(diǎn).

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)A,B,Q是點(diǎn)P分別關(guān)于x軸，y軸以及原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，平行于AB的直線l與C1相交于不同于P,Q的兩點(diǎn)C,D，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為E.證明： 直線PD,PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形.

圖4

解析(1)過程從略.

(2)如圖4所示，A(-2,-1),B(2,1),Q(2,-1).設(shè)直線l方程為將其代入橢圓方程得x2+2tx+2t2-4=0.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),E(-x1,-y1)，令?＞0，得-2＜t ＜2.則x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.設(shè)直線PD,PE的斜率為k1,k2，則

要使直線PD,PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證k1+k2= 0.即證(2-x1)(y2-1)(x2+2)(y1+1)= 0.又

所以直線PD,PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形.

命題思路3有兩個(gè)角相等.

此類題型的命題思路是直接告知有兩個(gè)角相等，或者要證明某兩個(gè)角相等.解題思路是將題目條件轉(zhuǎn)化成兩條直線斜率之和為0.

例5如圖5所示，已知右焦點(diǎn)為F(1,0)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)

(1)求橢圓M的方程;

(2)經(jīng)過F的直線l與橢圓M分別交于A,B(不與D重合)，直線DA,DB分別與x軸交于M,N，是否存在直線l，使得∠DMN= ∠DNM?若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

圖5

解析(1)，過程從略.

(2)存在直線l，使得∠DMN=∠DNM.理由如下： 由已知可設(shè)直線l方程為y=k(x-1)，代入得(3 + 4k2)x2-8k2x+ 4(k2-3)= 0，易證?＞0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則記直線DA,DB的斜率分別為k1,k2，欲使直線l滿足∠DMN= ∠DNM，只需k1+k2= 0.因?yàn)锳,F,B三點(diǎn)共線，所以則

例6(2015年高考全國Ⅰ卷第20 題)如圖6所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與直線l:y=kx+a(a ＞0)交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)k=0 時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處切線方程.

圖6

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN? 說明理由.

解析假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P(0,t)，設(shè)M(x1,kx1+a),N(x2,kx2+a).因?yàn)椤螼PM= ∠OPN，故直線PM,PN傾斜角互補(bǔ)，kP M+kP N=0.聯(lián)立y=kx+a與得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4l,x1x2=-4a.將x1+x2= 4k,x1x2=-4a代入上式得kP M+kP N=故要使當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN，則t=-a.因此存在符合題意的點(diǎn)P(0,-a).

二.結(jié)束語

上述三種命題思路雖然表述形式不一樣，但是在本質(zhì)上是一樣的，都是兩直線斜率之和為的不同表征.由此可見，此類試題的本質(zhì)思想就是利用兩直線斜率之和為零來解決問題，不同的試題改變的只是非本質(zhì)特征.如此一來，便可以將這些試題都?xì)w結(jié)為一類，以豐富解題經(jīng)驗(yàn)，并站在更高的角度去審視這些試題.在實(shí)際解題中要靈活根據(jù)題目條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)解題的高效，提升數(shù)學(xué)思辨智慧.

以下是幾道練習(xí)題，請讀者自行完成.

練習(xí)1已知點(diǎn)在橢圓=1(a ＞b ＞0)上，直線的斜率與直線OA的斜率乘積為

(1)求橢圓C的方程.(2)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線l:y=與橢圓C交于P,Q.P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為R(與點(diǎn)A不重合).直線AQ,AR與y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，求證：AM=AN.

練習(xí)2已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2,0)，與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方)，且|MN|=3.

(1)求圓C的方程; (2)過點(diǎn)M任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A,B，連接AN,BN，求證：∠ANM=∠BNM.

練習(xí)3已知橢圓的右焦點(diǎn)F(1,0)，橢圓Γ 的左右頂點(diǎn)分別為M,N.過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，且?MCD的面積是?NCD的面積的3 倍.

(1)求橢圓Γ 的方程;(2)若CD與x軸垂直，A,B是橢圓Γ 上位于直線CD兩側(cè)的動點(diǎn)，且滿足∠ACD=∠BCD，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

練習(xí)4已知橢的離心率為，長軸右端點(diǎn)為A,M(1,0)為線段OA中點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程.(2)過點(diǎn)M任做一條直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)P,Q.試問在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得∠PNM= ∠QNM，若存在求出點(diǎn)N的坐標(biāo); 若不存在說明理由.