基于波利亞解題理論求解2019年全國Ⅰ卷22題*

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 陳俊陽 黃曉湄

將曲線參數(shù)方程轉化為普通方程的題型活躍在歷年高考的全國卷中，廣東考生近四年在理科卷第22 題的得分情況如下： 2016年平均分為6.71 分，2017年為5.27 分[1]，2018年為5.23 分，但2019年僅有3.53 分.得分大幅度下降的主要原因是參數(shù)方程的形式異于常規(guī)，涉及到難度較大的消參技巧[2]，導致部分學生無法形成正確的解題思路.美國著名的數(shù)學教育家波利亞提出的波利亞解題理論有利于解題思路的形成和問題的求解.本文將運用波利亞的解題表給出的弄清問題、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思的方法[3]，分析思路的形成過程，求解2019年全國Ⅰ卷第22 題.

一、原題呈現(xiàn)

題目(2019年高考全國Ⅰ卷第22 題)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)求C上的點到l距離的最小值.

注記本文只針對(1)中求曲線C的普通方程進行詳細剖析.

二、試題剖析

(一)弄清問題波利亞說：“如果學生還沒有弄清問題，就著手計算和做題，那就可能發(fā)生最糟的事了.對你所不理解的問題做出答復是愚蠢的.”因此，弄清問題是問題解決的基礎.

1.未知量是什么? 曲線C的普通方程，即關于x,y的方程.

2.已知量是什么? 曲線C的含參數(shù)t的參數(shù)方程.

3.隱含條件是什么? 為防止出現(xiàn)多解或漏解的情況，應當考慮x,y其中之一的取值范圍，

(二)擬定方案

擬定方案是幫助我們發(fā)散自身思維、探索解題思路的重要過程.在這一環(huán)節(jié)中，我們將通過回答不同的問題，以形成解題方案.

1.你知道與它有關的題目嗎?

我們聯(lián)想到： ①2017年全國Ⅰ卷22 題： 已知曲線C的參數(shù)方程為; ②人教版A 版必修4-4一道例題： 已知曲線C的參數(shù)方程為兩題均求曲線C的普通方程.對①： 利用三角恒等式sin2α+ cos2α= 1 進行消元; 對②： 利用代入消元.本質上都是用x,y表示參數(shù)，進而消去參數(shù)得到曲線的普通方程.由此形成以下解題方案：

方案1： 將t代入消元.

方案2： 將t2代入消元.

2.觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目! 為了有可能利用已知量，你是否應該引入某些輔助元素?

(1)觀察x,y表達式，由1 +t2我們聯(lián)想到恒等式為了利用之考慮引入輔助元素，即換元.由此形成以下解題方案：

方案3： 引入輔助元素，設t=tanθ,用θ分別表示x,y.

3.你能聯(lián)想到與未知量相關的定理和公式嗎?

(1)觀察題目已知量，所給參數(shù)方程的形式與我們熟知的正切半角公式(下稱“萬能公式”)cosθ=的形式相仿，由此形成以下解題方案：

(2)此外，我們還能聯(lián)系到古希臘數(shù)學家丟番圖提出的勾股數(shù)的公式： 若a,b,c為直角三角形三條邊長，c為斜 邊，則有a= 2mn,b=m2- n2,c=m2+n2，其中m ＞n ＞0，且均為整數(shù)，它們滿足a2+b2=c2.注意到條件中： 1-t2,1+t2,2t，這三個數(shù)恰好構成勾股數(shù)組.由此形成以下解題方案：

方案6： 利用丟番圖勾股數(shù)公式： (1-t2)2+(2t)2=(1+t2)2.

4.回到定義上去

根據(jù)參數(shù)方程定義，取參數(shù)的不同值，得到曲線C上若干個點，運用描點法畫出C的大致形狀，猜想C的曲線類型，寫出其曲線方程，并嚴謹?shù)刈C明之.形成以下解題方案：

方案7： 通過定義，大膽猜想，小心求證.

(三)執(zhí)行方案

解法1(將t代入消元)

解法2(將t2代入消元)

解法3(引入輔助元素，設t=tanθ,用θ分別表示x,y)

事實上，這與方案5 相仿，方案執(zhí)行詳見解法5.

當t= 0 時，當0 時，由此解得代入x2并整理得把x=1,y=0 代入也成立，故C的普通方程為

解法6(利用丟番圖勾股數(shù)公式)

注意到恒等式(1-t2)2+(2t)2=(1+t2)2，從而

于是C的普通方程為

解法7(通過定義，大膽猜想，小心求證)

分別令t=0,1,-1,2,-2，可得曲線C上的點(1,0),(0,2)，(0,-2),在直角坐標系中描點如圖1，根據(jù)點的分布猜想曲線C為焦點在y軸，半長軸為2，半短軸為1的橢圓，并進行驗證：即得

圖1

(四)回顧反思

1.你能否檢驗這個論證? 由于參數(shù)方程與普通方程代表同一條曲線，這意味著兩者之間的轉化應為等價轉化.如在方案1 及方案2 中，均有一步需對等式兩邊同時除以1+x，這一步是等價轉化的條件為1，容易被忽略.因此，在解題時需對所解決問題涉及的知識內涵及對所用思想方法的本質認識準確[4]，這樣才能大大減少漏解或多解的可能.

2.為什么出現(xiàn)了多解(或漏解)的情況? (1)一方面，對于一般問題，出現(xiàn)多解本質上是由于每一步的轉化并非等價(若步步等價，得到的答案必定是正確的，不會多解或漏解)，而造成轉化不等價的原因是做題過程中忽視了部分隱含條件.(2)另一方面，對于本題來說，為何會出現(xiàn)多解的情況，即普通方程要為何需去掉x=-1 的點? 下面提出兩個定義及一個相關定理：

定義1[5]設曲線的參數(shù)方程為若極限均存在，且有

其中，x∞,y∞均為有限數(shù)，則稱點(x∞,y∞)為曲線的參數(shù)無窮大點(事實上它是坐標平面上的一個有限點).

定義2[5]設t0為曲線參數(shù)方程定義域內任意一點，則稱點(x(t0),y(t0))為參數(shù)方程的有限點.

定理1[5]若曲線的參數(shù)無窮大點存在，且不與任何參數(shù)有限點重合，則參數(shù)無窮大點不是曲線上的點(注： 證明詳見參考文獻[2]).

根據(jù)定理結合本題可知，由于

故點(-1,0)是曲線C的參數(shù)無窮大點，即當時有而易求得方程組無解，由此可知點(-1,0)不在曲線C上，故曲線C的參數(shù)方程轉化為普通方程后，必須有x-1，這樣才能防止多解的情況.

反思和總結雖然在做題時不必像上面一樣求極限、求曲線的參數(shù)無窮大點以判斷轉化的等價性，只需考慮自變量的取值范圍即可.但在做題后的回顧與反思階段，若我們能對上面造成增解的原因進行深入反思和總結，并得出以上定理，那么我們在面對其他相似的題目時就能將問題看得更透徹，進而能從容面對其他的增解或漏解問題.

3.你能不能把這結果推廣到一般情形? 由方案5 中的“萬能公式”，本題可作初步的推廣：

推廣1 若曲線C的參數(shù)方程為(參數(shù)t ∈-∞,+∞)，常數(shù)a,b ＞0)則曲線C的普通方程為

更一般地，下面推廣揭示了(橢)圓的普通方程與參數(shù)方程(x,y都是關于t的有理函數(shù)的情形)之間的關系：

推廣2 若曲線C的參數(shù)方程為(參數(shù)t ∈-∞,+∞)，常數(shù)a,b ＞0)則曲線C的普通方程為

推廣3 若曲線C的參數(shù)方程為(參數(shù)t ∈-∞,+∞)，常數(shù)a,b ＞0)則曲線C的普通方程為

反思和總結以上擬定和執(zhí)行的多種方案各顯神通，既能為解題提供幫助，也能為試題推廣提供有力的思路和手段.此外，對原題中的結論進行推廣可以深化我們對相關概念、方法和結論的理解，做到舉一反三，融會貫通.這既有利于學生了解這一類問題的本質，又可以為教師提供命制此類試題的方向.