2019年高考全國(guó)Ⅱ卷解析幾何試題的探究與推廣*

北京市第十二中學(xué)(100071) 劉 剛

1.試題

真題(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21 題)已知點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率乘積為記M軌跡為曲線C.

(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線？

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.(i)證明： ?PQG是直角三角形;(ii)求?PQG面積的最大值.

試題考查了曲線的方程、直線和橢圓的位置問(wèn)題以及最值問(wèn)題，考查了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題解法靈活，內(nèi)涵豐富，綜合性強(qiáng)，為不同學(xué)生搭建了施展才能的舞臺(tái)，是一道好題.

2.解法探究

解答(1)C的方程是C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左、右頂點(diǎn)，過(guò)程從略.

(2)解法1 (i)設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k ＞0)，與C的方程聯(lián)立，解得則P(u,uk)，Q(-u,-uk),E(u,0)，于 是直線QG的斜率為方程為將其與C的方程聯(lián)立，得

設(shè)G(x0,y0)，則-u和x0是方程①的解，所以x0=由此得從而直線PG的斜率為

所以PQ⊥PG，故?PQG是直角三角形.

(ii)由(i)得所以?PQG的面積

點(diǎn)評(píng)解法1 第(i)問(wèn)以直線PQ的斜率k為研究對(duì)象，先聯(lián)立直線PQ與C的方程，并為了表達(dá)簡(jiǎn)便，設(shè)出進(jìn)而得到點(diǎn)P,Q,E的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上求出直線QG的方程并與C的方程聯(lián)立，然后運(yùn)用韋達(dá)定理得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，最后借助斜率完成解答，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的應(yīng)用;第(ii)問(wèn)在第(i)問(wèn)的基礎(chǔ)上先表示出?PQG的面積，然后化簡(jiǎn)、換元，最后借助函數(shù)的單調(diào)性求得最值，體現(xiàn)了解析幾何與不等式、函數(shù)交匯的特點(diǎn).

解法2 (i)設(shè)由已知得E(2 cosα,0)，所以

因 為Q,E,G三點(diǎn)共線，所以共線，即整理得2 cosαsinβ-sinαcosβ+cosαsinα=0，于是cosα(sinα+sinβ)=sin(α-β)，即

由此得

因 為所以

由 ②得

(ii)如圖1，連接OG，由橢圓的對(duì)稱性，知 ?PQG的面積S?P QG= 2S?OP G.因?yàn)樗?/p>

圖1

kOP=且OP ⊥GP，所以

kGP ·kOP=解得設(shè)所以

點(diǎn)評(píng)解法2 借助橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行求解，解答時(shí)應(yīng)熟練掌握三角公式，同時(shí)對(duì)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)要求較高.另外，在第(ii)問(wèn)中用到了三角形面積公式的坐標(biāo)表示： 若O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則

解法3 (第(i)問(wèn)的簡(jiǎn)便解法)設(shè)P(x1,y1)(x1＞0,y1＞0)，G(x2,y2)，則Q(-x1,-y1),E(x1,0).因 為P(x1,y1),G(x2,y2)在C上，所以兩式作差，得即因?yàn)镼,E,G三點(diǎn)共線，所以kQE=kQG，即

又kP G · kP Q=把③代入，得所以PQ ⊥PG，故?PQG是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)解法3 以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)為研究對(duì)象，運(yùn)用點(diǎn)差法得到了,接下來(lái)借助斜率將Q,E,G三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，得到了在此基礎(chǔ)上完成解答，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，體現(xiàn)了設(shè)而不求、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

3 推廣

將試題一般化，并從逆向考慮，得到了下面一組性質(zhì).

性質(zhì)1已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE ⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)與C交于點(diǎn)G，則PG ⊥PQ的充要條件是a2=2b2.

性質(zhì)2已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE ⊥x軸，垂足為E，過(guò)P作PG ⊥PQ，與C交于另一點(diǎn)G，則Q,E,G三點(diǎn)共線的充要條件是a2=2b2.

證明設(shè)P(x1,y1)(x1＞0,y1＞0)，G(x2,y2)，則Q(-x1,-y1),E(x1,0).因?yàn)镻(x1,y1),G(x2,y2)在C上，所以兩式作差，得即kP G=因?yàn)榍襊G ⊥PQ，所以即所以因?yàn)樗訯,E,G三點(diǎn)共線，故命題成立.

性質(zhì)3已知橢圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作PG ⊥PQ，與C交于另一點(diǎn)G，直線QG與x軸交于點(diǎn)E，則PE ⊥x軸的充要條件是a2=2b2.

性質(zhì)4已知橢圓，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE ⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)與C交于點(diǎn)G，設(shè)直線PQ,PG的斜率分別為k1,k2，則

(性質(zhì)1，3，4 的證明請(qǐng)讀者自行完成，限于篇幅不再贅述.)

性質(zhì)5已知橢圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作PG ⊥PQ，與C交于另一點(diǎn)G，直線QG與x軸交于點(diǎn)E，設(shè)C的離心率為e，若則PE ⊥x軸;若設(shè)直線QG,PE的斜率分別為k1,k2，則k1=(1-2e2)k2.

證明若，則a2= 2b2，由性質(zhì)3可得PE ⊥x軸.若則a22b2，設(shè)Q(x1,y1)(x1＜0,y1＜0),G(x2,y2)，則P(-x1,-y1).設(shè)直線QG的方程為y=k1x+m，與C的方程 聯(lián)立，得

(b2+k21a2)x2+2k1ma2x+a2m2-a2b2=0,所以因?yàn)?/p>

kP Q=且PG ⊥PQ，所以解得又因?yàn)樗杂谑且驗(yàn)樗?/p>

性質(zhì)6已知橢圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作PG ⊥PQ，與C交于另一點(diǎn)G，設(shè)?PQG的面積為S，若則S有最大值為ab;若則S有最大值為其中c2=a2-b2.

證明設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k ＞0)，與C的方程聯(lián)立，解得

記

則P(u,uk).因?yàn)镻G ⊥PQ，所以直線PG的斜率為則其方程為與C的方程聯(lián)立，得(a2+k2b2)x2-2u(k2+ 1)a2x+a2u2(k2+1)2-k2a2b2= 0，所以解得于是

因?yàn)樗?以S=把④代 入，得S=設(shè)則由k ＞0，得t ≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k= 1 時(shí)取等號(hào).若即則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故S有最大值為ab.若即則有在[2,+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)t= 2 時(shí)，S取得最大值為綜上，結(jié)論成立.

以上對(duì)一道2019年高考解析幾何試題從不同角度進(jìn)行了探究，從而將試題的價(jià)值最大化.當(dāng)然，還可以運(yùn)用類比的方法研究雙曲線中的相關(guān)結(jié)論，感興趣的讀者不妨一試.高考試題是集體智慧的結(jié)晶，具有基礎(chǔ)性、典型性、創(chuàng)新性、導(dǎo)向性等特點(diǎn)，只有認(rèn)真研究這些試題，才能在高三復(fù)習(xí)中少走彎路，真正提高教學(xué)效率.在高三復(fù)習(xí)中，首先要引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí).這道高考試題的背景就來(lái)源于教材，教材是學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)最重要的參考資料.其次要注重基本思想方法的積累與訓(xùn)練.坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，解題時(shí)要選準(zhǔn)研究對(duì)象，并將幾何條件坐標(biāo)化，然后再進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算從而將問(wèn)題解決.再者要努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在平時(shí)教學(xué)中，要以新課標(biāo)理念為導(dǎo)向，堅(jiān)持提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，這樣才會(huì)水到渠成，在高考中取得優(yōu)異的成績(jī).

以下試題供讀者練習(xí).

練習(xí)1(2011年高考江蘇卷第18 題)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M,N分別是橢圓的頂點(diǎn)，

過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值;

(2)當(dāng)k=2 時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d;

(3)對(duì)任意k ＞0，求證：PA ⊥PB.

圖2

練習(xí)2(2012年高考湖北卷理科第21 題)設(shè)A是單位圓x2+y2= 1 上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m ＞0 且1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo);

(ⅠⅠ)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH？若存在，求m的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練習(xí)3 (2014年高考山東卷文科第21 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為直線y=x被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為

(Ⅰ)求橢圓C的方程; (ⅠⅠ)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)).點(diǎn)D在橢圓C上，且AD ⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn).(i)設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值;(ii)求?OMN面積的最大值.

參考答案1.(1);(3)略.

3.(Ⅰ);(ⅠⅠ)(i)