9-量子團(tuán)簇態(tài)信道的非對(duì)稱雙向量子信息傳輸*

彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

1 引言

量子糾纏作為一種量子資源被用來(lái)進(jìn)行不同類型的量子信息處理，如量子隱形傳態(tài)[1-4]、量子超密編碼[5]、量子態(tài)分享[6-9]、遠(yuǎn)程態(tài)制備[10-12]、量子信息凝聚[13]等。由Bennett等[1]在1993年首先提出的隱形傳態(tài)是將一個(gè)任意單量子未知態(tài)從一個(gè)地方傳送到另一個(gè)遙遠(yuǎn)的地方，而沒(méi)有該量子自身在空間中的物理傳送。在這開(kāi)創(chuàng)性工作之后，一些研究者利用不同類型的量子信道，設(shè)計(jì)出了許多隱形傳態(tài)協(xié)議[3-9]。最近，Zha等[14]提出了雙向受控隱形傳態(tài)方案：信息傳輸?shù)膬煞皆诘谌降目刂葡?，可以同時(shí)交換他們的任意單量子未知態(tài)。此后，一些學(xué)者提出以不同量子糾纏態(tài)為信道的相互傳輸量子態(tài)的若干方案[15-21]，其中非對(duì)稱的雙向受控隱形傳態(tài)方案是由Zhang等[18]于2015年首先提出的，該方案以7-量子最大糾纏態(tài)為信道，在監(jiān)控者的控制下，Alice可以傳送她的單量子態(tài)給Bob，同時(shí)Bob也能傳遞他的任意二量子態(tài)給Alice。近幾年來(lái)，這方面的研究得到了發(fā)展[19-21]。

2000年，Lo率先提出遠(yuǎn)程態(tài)制備的概念[10]，它是已知量子態(tài)的隱形傳態(tài)，即通過(guò)事先分享量子糾纏和適當(dāng)測(cè)量以及經(jīng)典通信，發(fā)送者能夠?yàn)檫b遠(yuǎn)的接收者制備一個(gè)已知量子態(tài)。到目前為止，出現(xiàn)了許多不同的遠(yuǎn)程態(tài)制備方案，如確定的遠(yuǎn)程態(tài)制備[22-23]、聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備[24-27]、受控的遠(yuǎn)程態(tài)制備[28-29]、雙向受控遠(yuǎn)程態(tài)制備[30-31]、多跳受控遠(yuǎn)程態(tài)制備[32]、循環(huán)遠(yuǎn)程態(tài)制備[33-34]等。一些研究者分析了在受控遠(yuǎn)程態(tài)制備中監(jiān)控者的控制能力問(wèn)題[35]，而一些遠(yuǎn)程制備方案已經(jīng)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[36-38]。2013年，Cao和Nguyen[31]提出了第一個(gè)受控雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備方案，在該方案中，Alice和Bob通過(guò)局部操作和經(jīng)典通信，就能同時(shí)交換他們的單粒子量子態(tài)。此后，Sharma等[39]提出了概率的、確定的和聯(lián)合的受控雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備三個(gè)方案。Peng等[30]于2015年雇傭8-量子糾纏態(tài)作為信道，提出五方聯(lián)合受控雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議。2017年，另一個(gè)五方聯(lián)合受控雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備方案被Wang等[40]提出，該個(gè)方案是以7-量子糾纏態(tài)為信道的。2016年，Zhang等[41]提出以6-量子非最大糾纏態(tài)為信道的聯(lián)合受控雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備方案。上述方案是對(duì)稱的，即利用不同量子糾纏信道，發(fā)送者能夠同時(shí)給對(duì)方制備單粒子量子態(tài)。近年來(lái)，一些非對(duì)稱受控雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備被提出。2017年，Sang等[42]提出了一個(gè)非對(duì)稱雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議，一個(gè)未知單量子態(tài)被傳輸，同時(shí)一個(gè)已知量子態(tài)被制備。Song等[43]給出了一個(gè)對(duì)稱的雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備方案，兩個(gè)單粒子態(tài)同時(shí)被交換。他們還提出一個(gè)單粒子態(tài)和一個(gè)任意二粒子態(tài)被制備的非對(duì)稱雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議。2018年，F(xiàn)ang等[44]提出一個(gè)雙向混合量子信息傳輸方案，一個(gè)任意未知單粒子態(tài)被隱形傳輸給Bob，同時(shí)一個(gè)已知二粒子態(tài)在Alice處被制備。

本文研究9-量子團(tuán)簇態(tài)在非對(duì)稱雙向隱形傳態(tài)、非對(duì)稱雙向遠(yuǎn)程態(tài)制備、雙向量子信息混合傳輸中的應(yīng)用，給出三個(gè)不同類型的量子信息傳輸協(xié)議，指出各方案的特點(diǎn)，并討論實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的可行性。

2 二量子態(tài)和三量子態(tài)的非對(duì)稱雙向隱形傳態(tài)

假設(shè)Alice想要把未知三量子態(tài)式（1）傳送給Bob。

其中，x和y是滿足歸一化條件|x|2+|y|2=1的任意復(fù)系數(shù)；同時(shí)Bob也打算將如下二量子態(tài)式（2）傳遞給Alice。

這里α和β是任意復(fù)系數(shù)且滿足|α|2+|β|2=1。Alice和Bob事先安全地分享如下一個(gè)9-量子團(tuán)簇態(tài)[21]：

其中，量子1、3、5、9屬于Alice，而量子2、4、6、7、8屬于Bob。

這里，量子A1、A2、A3、A4屬于Alice，而B(niǎo)ob擁有量子B1、B2、B3、B4、B5。

由所有14個(gè)量子構(gòu)成的初始復(fù)合態(tài)為：

下列8個(gè)GHZ-態(tài)構(gòu)成三粒子正交基：

而B(niǎo)ell正交基由下列向量構(gòu)成：

記Pauli算子：

為完成量子任務(wù)，首先Alice需用式（6）所示的GHZ-態(tài)對(duì)粒子a1、a2和A2進(jìn)行三粒子測(cè)量，然后對(duì)粒子A3施行Hadamard門(mén)H運(yùn)算，這里：

再對(duì)粒子a3和A3進(jìn)行Bell-態(tài)測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果通知Bob。具體如下：

其次，Bob對(duì)粒子b1和B1進(jìn)行Bell-態(tài)測(cè)量，然后對(duì)粒子B2施行Hadamard門(mén)H運(yùn)算，再對(duì)粒子b2和B2進(jìn)行Bell-態(tài)測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果告知Alice。具體如下：

最后，由等式（13）至等式（20）可知，Alice和Bob根據(jù)收到的信息，對(duì)各自的粒子采用適當(dāng)?shù)腜auli運(yùn)算就可以恢復(fù)目標(biāo)態(tài)。例如：如果Alice的測(cè)量結(jié)果為，Bob的測(cè)量結(jié)果為，則剩余粒子塌陷態(tài)為：

收到測(cè)量信息后，Alice對(duì)粒子對(duì)(A1,A4) 執(zhí)行iσy?σx運(yùn)算，Bob對(duì)粒子對(duì)(B3,B4,B5)施行σz?I?I運(yùn)算，就可以得到：

從而Alice和Bob同時(shí)交換了他們的量子態(tài)。對(duì)于其他情形，也能得到相同的結(jié)論。這樣，本文協(xié)議就成功地實(shí)現(xiàn)了，且因參與者交換的量子數(shù)不同，故本文方案是非對(duì)稱的。

注1Alice需用式（6）所示的GHZ-態(tài)對(duì)粒子a1、a2和A2進(jìn)行三粒子測(cè)量，僅出現(xiàn)的測(cè)量結(jié)果，這就使得方案簡(jiǎn)化了一半。

3 二量子態(tài)和三量子態(tài)的非對(duì)稱雙向遠(yuǎn)程制備

考慮如下情景：Alice想要在遙遠(yuǎn)的Bob處制備已知三量子態(tài)：

其中，x和y是滿足x2+y2=1的任意實(shí)系數(shù)，θ∈[0,2π]；同時(shí)Bob打算為Alice制備已知二量子態(tài)：

這里，α和β是任意實(shí)系數(shù)且滿足α2+β2=1，ω∈[0,2π]。連接Alice和Bob的量子信道為式（4）所示的9-量子團(tuán)簇態(tài)，其中量子A1、A2、A3、A4屬于Alice，而B(niǎo)ob擁有量子B1、B2、B3、B4、B5。

為了完成此量子任務(wù)，Alice利用單粒子測(cè)量基式（23）測(cè)量粒子A2。

再采用前饋測(cè)量策略測(cè)量粒子A3，即如果Alice對(duì)粒子A2的測(cè)量結(jié)果為則對(duì)粒子A3的測(cè)量基為：

否則，對(duì)粒子A3的測(cè)量基為：

從式（26）可知，Alice和Bob根據(jù)收到的信息，應(yīng)用適當(dāng)?shù)腜auli運(yùn)算就可重構(gòu)目標(biāo)態(tài)：

也就是，Alice和Bob相互成功地制備所希望的量子態(tài)。所有測(cè)量結(jié)果及其對(duì)應(yīng)的恢復(fù)運(yùn)算間的關(guān)系見(jiàn)表1。

Table 1 Relationship between various measurement results and corresponding recovery operations表1 各種測(cè)量結(jié)果及其對(duì)應(yīng)恢復(fù)運(yùn)算之間的關(guān)系

注2本方案使用了前饋策略，使得方案完美實(shí)現(xiàn)。否則，方案成功的概率為26%。

4 二量子態(tài)制備和三量子態(tài)傳輸?shù)幕旌戏菍?duì)稱雙向通信

假設(shè)Alice想要未知三量子態(tài)式（27）傳送給遙遠(yuǎn)的Bob。

其中，x和y是滿足|x|2+|y|2=1的任意復(fù)系數(shù)；同時(shí)Bob也打算在Alice處制備已知二量子態(tài)：

這里，α和β是任意實(shí)系數(shù)且滿足α2+β2=1，ω∈[0,2π]。連接Alice和Bob的量子信道為式（4）所示的9-量子團(tuán)簇態(tài)，其中量子A1、A2、A3、A4屬于Alice，而B(niǎo)ob擁有量子B1、B2、B3、B4、B5。初始系統(tǒng)為：

為完成此量子任務(wù)，首先Alice對(duì)粒子a1、a2和A2進(jìn)行GHZ-態(tài)測(cè)量，然后對(duì)粒子A3施行Hadamard門(mén)H運(yùn)算，再對(duì)粒子a3和A3進(jìn)行Bell-態(tài)測(cè)量，并將測(cè)量結(jié)果通知Bob。其次Bob利用基測(cè)量粒子B1，再用前饋測(cè)量策略測(cè)量粒子B2，即如果Bob對(duì)粒子B1的測(cè)量結(jié)果為，則用基測(cè)量粒子B2；否則，用測(cè)量粒子B2。最后將測(cè)量結(jié)果告訴Alice。

從式（29）可以看出，當(dāng)Alice聽(tīng)到來(lái)自Bob的測(cè)量信息后，她對(duì)粒子對(duì)(A1,A4)應(yīng)用I?I或σZ?I或iσy?σx或σx?σx就能獲??；Bob根 據(jù)Alice的測(cè)量結(jié)果，利用變換σZ?I?I或I?I?I，就能得到。也就是，Alice和Bob的信息交換成功，混合量子通信任務(wù)成功完成。

注3本方案本質(zhì)上是前兩個(gè)方案的部分結(jié)合，因此它具有前兩個(gè)方案的優(yōu)點(diǎn)。類似地，容易獲得二量子態(tài)傳輸和三量子態(tài)制備的混合協(xié)議。

5 結(jié)論

本文中三個(gè)不同類型的協(xié)議的主要資源是同一糾纏信道，其制備是量子通信理論的一個(gè)重要方面。有幾種產(chǎn)生糾纏的實(shí)驗(yàn)方法，其中一些方法在文獻(xiàn)[45-47]中提到。此外，還有糾纏集中協(xié)議[46-47]，通過(guò)它可以在某些情況下增加糾纏量。以9-量子團(tuán)簇態(tài)為信道，分別給出了兩粒子態(tài)和三粒子態(tài)的雙向隱形傳態(tài)、雙向制備以及傳態(tài)與制備混合這三個(gè)不同類型的協(xié)議。在第一個(gè)協(xié)議中，Alice把自己的未知三量子態(tài)傳遞給Bob，同時(shí)Bob把自己的未知二量子態(tài)傳送給Alice。其特點(diǎn)是方案中的GHZ-態(tài)測(cè)量基僅僅出現(xiàn)一部分可能的測(cè)量結(jié)果，這就大大簡(jiǎn)化了方案。在第二個(gè)協(xié)議中，Alice在遙遠(yuǎn)的Bob處制備了一個(gè)三量子已知態(tài)，Bob也能在Alice處制備一個(gè)已知二量子態(tài)。在雙向制備過(guò)程中，充分利用了前饋測(cè)量策略，完美地完成任務(wù)。在第三個(gè)協(xié)議中，Alice將一個(gè)未知三粒子態(tài)傳送給遙遠(yuǎn)的Bob，同時(shí)Bob也制備一個(gè)已知二量子態(tài)給遠(yuǎn)方的Alice。此方案吸取了前兩個(gè)方案的優(yōu)點(diǎn)，使得它既簡(jiǎn)單又高概率地完成量子任務(wù)。上述方案需要簡(jiǎn)化的三粒子策略、Bell測(cè)量、單量子測(cè)量、Hadamard門(mén)和Puali算子就能夠以100%的概率重構(gòu)原始二量子和三量子態(tài)。就目前的光學(xué)技術(shù)而言[5，11，30]，本文所涉及的運(yùn)算都能物理實(shí)現(xiàn)。