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    決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則和推理過(guò)程研究*

    2020-02-20 03:42:30張少霞翟巖慧李德玉
    計(jì)算機(jī)與生活 2020年2期
    關(guān)鍵詞:蘊(yùn)涵背景定理

    賈 楠,張少霞,翟巖慧,2+,李德玉,2

    1.山西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院,太原 030006

    2.山西大學(xué) 計(jì)算智能與中文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006

    1 引言

    形式概念分析是由德國(guó)Wille教授于1982年提出的一種從形式背景進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、知識(shí)表示和規(guī)則提取的強(qiáng)有力工具[1]。形式背景和形式概念是形式概念分析的兩個(gè)基本概念,概念格是從形式背景上提取的形式概念的集合,本質(zhì)上是描述對(duì)象和屬性之間的關(guān)系,并通過(guò)Hasse圖來(lái)可視化概念之間的泛化和例化關(guān)系。目前,形式概念分析已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于信息檢索[2]、軟件工程[3]、機(jī)器學(xué)習(xí)[4]、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)[5]、基于認(rèn)知的概念學(xué)習(xí)[6-10]和知識(shí)約簡(jiǎn)[11-17]。

    形式概念分析中對(duì)知識(shí)獲取的研究就是對(duì)蘊(yùn)涵的研究[18-21]。蘊(yùn)涵表示為形如A→B的公式,其含義是任意具有屬性集A的對(duì)象集同時(shí)也具有屬性集B。但是,從形式背景中得到的蘊(yùn)涵的數(shù)量往往很龐大[19]。

    引入決策蘊(yùn)涵是減少蘊(yùn)涵數(shù)量的一種方法,決策蘊(yùn)涵是在決策情形下的蘊(yùn)涵,也是決策背景下的知識(shí)表示形式,反映了條件屬性和決策屬性之間的決策關(guān)系[21-22]。從邏輯角度對(duì)決策蘊(yùn)涵的研究分為語(yǔ)義和語(yǔ)構(gòu)兩方面[22],其中語(yǔ)義部分的研究包括以下幾方面[22-25]:

    決策蘊(yùn)涵的合理性:怎樣判斷決策蘊(yùn)涵是否合理?或者說(shuō),決策蘊(yùn)涵在什么情況下是成立的?

    決策蘊(yùn)涵集的封閉性:決策蘊(yùn)涵集是否包含所有合理的決策蘊(yùn)涵?

    決策蘊(yùn)涵集的完備性:如何在不損失信息的前提下生成一個(gè)決策蘊(yùn)涵集?

    決策蘊(yùn)涵集的冗余性:一個(gè)決策蘊(yùn)涵集是否是緊致的?即,是否存在某些決策蘊(yùn)涵可以從決策蘊(yùn)涵集中的其他決策蘊(yùn)涵推導(dǎo)出來(lái)?

    在語(yǔ)構(gòu)方面,首先給定一個(gè)決策蘊(yùn)涵集和一些推理規(guī)則,然后研究如何應(yīng)用這些推理規(guī)則從給定的決策蘊(yùn)涵集中推導(dǎo)出新的決策蘊(yùn)涵。這個(gè)方面的研究需要回答下列問(wèn)題[21-22]:

    推理規(guī)則的合理性:是否推理規(guī)則推導(dǎo)出的任何決策蘊(yùn)涵都是合理的?

    推理規(guī)則集的完備性:是否可以由給定的推理規(guī)則集推導(dǎo)出所有合理的決策蘊(yùn)涵?

    推理規(guī)則集的無(wú)冗余性:推理規(guī)則之間是否是緊致的?即,是否某些推理規(guī)則可以由其他推理規(guī)則導(dǎo)出?

    近年來(lái),針對(duì)語(yǔ)構(gòu)上的推理規(guī)則已經(jīng)開(kāi)展了一些研究工作。Qu等[21]考慮了一種特殊的推理規(guī)則——α-推理規(guī)則。該規(guī)則通過(guò)擴(kuò)大決策蘊(yùn)涵的前件和減少?zèng)Q策蘊(yùn)涵的后件來(lái)得到新的決策蘊(yùn)涵,但是該推理規(guī)則并不是完備的。Li等[26-30]研究了決策背景、不完備決策背景和實(shí)決策背景中的推理規(guī)則。Zhai等[22]提出了兩種推理規(guī)則——擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則,并證明了它們的完備性,即給定一個(gè)完備集,可以通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從完備集中推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的封閉集。雖然文獻(xiàn)[22]從理論上證明了擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則的合理性和完備性,但并沒(méi)有具體研究如何使用推理規(guī)則推導(dǎo)出封閉集。本文提出了一種更簡(jiǎn)單的推理規(guī)則——后件合并推理規(guī)則。后件合并推理規(guī)則是特殊的合并推理規(guī)則,它只對(duì)前件相同的決策蘊(yùn)涵進(jìn)行合并,證明了后件合并推理規(guī)則是合理的,并且該推理規(guī)則與擴(kuò)增推理規(guī)則組成的推理規(guī)則集是完備的、無(wú)冗余的;進(jìn)一步,研究了擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則的性質(zhì),最后給出了使用這兩條推理規(guī)則從完備集推導(dǎo)其對(duì)應(yīng)封閉集的有效方法。

    2 基本概念和性質(zhì)

    本章給出形式概念分析中的基本概念和性質(zhì)。

    定義1[19]形式背景是一個(gè)三元組K=(G,M,I),其中G是對(duì)象集,M是屬性集,I?G×M是對(duì)象和屬性之間的二元關(guān)系。對(duì)于g∈G m∈M(g,m)∈I表示“對(duì)象g具有屬性m”。

    定義2[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景,對(duì)于集合A?G,記:

    相應(yīng)地,對(duì)于集合B?M,記:

    定義3[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景,對(duì)于集合A?G和B?M,若AI=B且BI=A則稱二元組(A,B)為形式概念,簡(jiǎn)稱概念。其中A為該概念的外延,B為該概念的內(nèi)涵。

    性質(zhì)1[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景,對(duì)于集合A,A1,A2?G和B,B1,B2?M有:

    定義4[19]設(shè)K=(G,M,I)為形式背景,C1=(A1,B1)和C2=(A2,B2)是概念,定義偏序:

    所有概念在該偏序下構(gòu)成格,稱為概念格。

    3 決策蘊(yùn)涵

    決策蘊(yùn)涵有兩種研究方式:一種是決策蘊(yùn)涵的邏輯研究;另一種是決策蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)研究。決策蘊(yùn)涵的邏輯研究包括語(yǔ)義和語(yǔ)構(gòu)研究;決策蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)研究主要指決策背景上的決策蘊(yùn)涵研究。首先介紹決策蘊(yùn)涵的邏輯研究。

    3.1 決策蘊(yùn)涵邏輯

    3.1.1 決策蘊(yùn)涵邏輯的語(yǔ)義

    首先給出決策蘊(yùn)涵邏輯中決策蘊(yùn)涵的定義。

    定義5[22]設(shè)C是條件屬性集,D是決策屬性集,其中C?D=?。若A?C且B?D,則稱A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵。此時(shí),A為該決策蘊(yùn)涵的前提,B為該決策蘊(yùn)涵的結(jié)論。

    定義6[22]設(shè)C是條件屬性集,D是決策屬性集,L和L1是決策蘊(yùn)涵集。定義:

    (1)對(duì)于屬性集T?C?D和決策蘊(yùn)涵A→B,若A?T?C或B?T?D,則稱T滿足A→B(或稱T是A→B的一個(gè)模型),記為T(mén)╞A→B。若T滿足L中的任意一個(gè)決策蘊(yùn)涵,則T是L的一個(gè)模型,記為T(mén)╞L。

    (2)若對(duì)于任意的T?C?D T╞L蘊(yùn)含T╞A→B,則稱A→B可以從L語(yǔ)義導(dǎo)出,記為L(zhǎng)├A→B。若任意的A1→B1∈L1都可以從L語(yǔ)義導(dǎo)出,則稱L1可以從L中語(yǔ)義導(dǎo)出,記為L(zhǎng)├L1。

    (3)若任意的A→B∈L都不能從L中其他的決策蘊(yùn)涵語(yǔ)義導(dǎo)出,即L{A→B}?/{A→B},則稱L是無(wú)冗余的。

    (4)若任意可以從L中語(yǔ)義導(dǎo)出的決策蘊(yùn)涵都包含在L中,則稱L是封閉的。

    (5)對(duì)于封閉的決策蘊(yùn)涵集L,若L1?L且L├1L,則稱L1相對(duì)于L是完備的。

    定義7[22]設(shè)C是條件屬性集,L是決策蘊(yùn)涵集,A?C在L上的閉包為:

    可以證明[22],AL是A相對(duì)于L得到的最大結(jié)論。

    定理1[22]設(shè)L為決策蘊(yùn)涵集,A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵,則L├A→B當(dāng)且僅當(dāng)B?AL。

    3.1.2 決策蘊(yùn)涵邏輯的語(yǔ)構(gòu)

    決策蘊(yùn)涵邏輯的語(yǔ)構(gòu)研究包括推理規(guī)則的合理性、完備性和無(wú)冗余性。文獻(xiàn)[22]提出兩條推理規(guī)則:

    擴(kuò)增推理規(guī)則:

    合并推理規(guī)則:

    定理2[22](合理性)擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則是合理的,即:

    (1)A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵,且有A1?A和B1?B,則A→B?A1→B1;

    (2)A→B和A1→B1是決策蘊(yùn)涵,則{A→B,A1→B1}?A?A1→B?B1。

    定理3[22](完備性)擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則是完備的,即對(duì)任意封閉的決策蘊(yùn)涵集L及其完備集L1?L,A→B∈L當(dāng)且僅當(dāng)A→B可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從L1推出。

    定義8令L為決策蘊(yùn)涵集:

    (1)使用推理規(guī)則φ在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)φ;

    (2)使用推理規(guī)則集Φ在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)Φ。

    推理規(guī)則集的無(wú)冗余性意味著推理規(guī)則之間不能互相導(dǎo)出,這說(shuō)明每個(gè)推理規(guī)則在進(jìn)行推理時(shí)都是不可替代的。

    定義9[22]令Φ為推理規(guī)則集,φ為某一推理規(guī)則且φ?Φ。稱推理規(guī)則φ相對(duì)于Φ是無(wú)冗余的,若存在決策蘊(yùn)涵集L,使得Lφ?LΦ。稱推理規(guī)則集Φ是無(wú)冗余的,若對(duì)任意的φ∈Φ,φ相對(duì)于Φφ是無(wú)冗余的。

    定理4[22](無(wú)冗余性)擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則是無(wú)冗余的。

    下面的例子說(shuō)明了定理4的正確性。

    例1令L={{a1}→{d1},{a1a2}→{d2}}。使用擴(kuò)增推理規(guī)則從L可得{a1a2}→{d1},顯然該決策蘊(yùn)涵不能由合并推理規(guī)則得到。同樣地,對(duì){a1}→{d1}和{a1a2}→{d2}使用合并推理規(guī)則得到{a1a2}→{d1d2},顯然該決策蘊(yùn)涵也不能只通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則得到。

    這里,用{a1a2}表示{a1,a2},后文類似。

    3.2 決策背景中的決策蘊(yùn)涵

    下面給出決策蘊(yùn)涵的數(shù)據(jù)研究,即決策背景上的決策蘊(yùn)涵,并將決策蘊(yùn)涵邏輯的研究運(yùn)用到?jīng)Q策背景中的決策蘊(yùn)涵上。

    首先引入決策背景的概念。

    定義10[21]決策背景為三元組K=(G,C?D,IC?ID),其中G為對(duì)象集,C為條件屬性集,D為決策屬性集,且C?D≠?,IC?G×C為條件關(guān)聯(lián)關(guān)系,ID?G×D為決策關(guān)聯(lián)關(guān)系。對(duì)于g∈G m∈C?D(g,m)∈IC或(g,m)∈ID表示“對(duì)象g具有屬性m”。

    決策背景K=(G,C?D,IC?ID)通常用一個(gè)二維表表示,在表中行列的交點(diǎn)處為1表示這個(gè)對(duì)象含有這個(gè)屬性。

    例2表1給出決策背景K=(G,C?D,IC?ID),其中,G={g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8}C={a1,a2,a3,a4,a5,a6}D={d1,d2}。

    Table 1 Decision context表1 決策背景

    定義11[21]設(shè)K=(G,C?D,IC?ID)為決策背景,對(duì)于集合A1?C A2?D和B?G記:

    對(duì)于g∈G和A?C,將{g}C、{g}D和(AC)D簡(jiǎn)記為gC、gD和ACD。

    顯然,性質(zhì)1也適用于定義11的算子。例如,對(duì)于A1?A2?C,若。

    定義12[21]設(shè)K=(G,C?D,IC?ID)為決策背景,A?C且B?D。若AC?BD,則稱A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵。其中A是該決策蘊(yùn)涵的前提,B是該決策蘊(yùn)涵的結(jié)論。

    例3以表1所示的決策背景為例,令A(yù)={a2a3},則AC={g5g7} 令B={d2} 則BD={g2g5g7} 顯然,AC?BD,則A→B是一個(gè)決策蘊(yùn)涵。

    4 決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則和推理過(guò)程

    4.1 決策蘊(yùn)涵上的推理規(guī)則

    3.1.2 小節(jié)引入了擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則。在此基礎(chǔ)上,提出一條新的推理規(guī)則——后件合并推理規(guī)則:

    顯然,后件合并推理規(guī)則是一種特殊的合并推理規(guī)則,它只對(duì)前件相同的決策蘊(yùn)涵的后件進(jìn)行合并。因此,后件合并推理規(guī)則在形式上更簡(jiǎn)潔。

    因?yàn)楹喜⑼评硪?guī)則是合理的,因此后件合并推理規(guī)則也是合理的。

    定理5(合理性定理)后件合并推理規(guī)則是合理的,即:若A→B1和A→B2是決策蘊(yùn)涵,則{A→B1,A→B2}├A→B1?B2。

    證明顯然。 □

    下面證明擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是無(wú)冗余的。

    首先,根據(jù)定義8,定義:

    定義13令L為決策蘊(yùn)涵集:

    (1)使用擴(kuò)增推理規(guī)則在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)A;

    (2)使用后件合并推理規(guī)則在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為;

    (3)使用合并推理規(guī)則在L上得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合記為L(zhǎng)C;

    (4)先使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到LA,再使用后件合并推理規(guī)則得到,簡(jiǎn)記為。

    定理6(無(wú)冗余性定理)后件合并推理規(guī)則和擴(kuò)增推理規(guī)則是無(wú)冗余的。

    證明根據(jù)定義9,只需證明:

    (1)存在決策蘊(yùn)涵集L有;

    (2)存在決策蘊(yùn)涵集L有LCα?LA。

    下面證明(1)。令L1={A1→B1},其中B1≠?,令A(yù)2?A1,B2?B1,則由擴(kuò)增推理規(guī)則可以得到?jīng)Q策蘊(yùn)涵A2→B2。顯然,決策蘊(yùn)涵A2→B2不能由后件合并推理規(guī)則推出。

    下面證明(2)。令L2={A→B1,A→B2},其中B1?B2且B2?B1,由后件合并推理規(guī)則可從L得到?jīng)Q策蘊(yùn)涵A→B1?B2。顯然,決策蘊(yùn)涵A→B1?B2不能由擴(kuò)增推理規(guī)則推出。

    綜上所述,后件合并推理規(guī)則和擴(kuò)增推理規(guī)則是無(wú)冗余的。 □

    例4令L={{a1}→{d1}{a1}→{d2}}。使用擴(kuò)增推理規(guī)則從{a1}→{d1}可得{a1a2}→{d1},顯然該決策蘊(yùn)涵不能由后件合并推理規(guī)則推出。同樣地,對(duì){a1}→{d1}和{a1}→{d2}使用后件合并推理規(guī)則得到{a1}→{d1d2},顯然該決策蘊(yùn)涵也不能只通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則得出。

    進(jìn)一步,可以得到:

    性質(zhì)2合并推理規(guī)則相對(duì)于擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是冗余的。

    證明根據(jù)定義9,只需證明對(duì)任意的決策蘊(yùn)涵集L若A→B∈LC那么A→B也可以通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則得到。

    因?yàn)锳→B∈LC所以A→B必然可以通過(guò)L中的若干條決策蘊(yùn)涵使用合并推理規(guī)則得到,即必存在P?L使得:

    接下來(lái)證明通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則可以從P得到A→B。

    因?yàn)?{A1|A1→B1∈P}=A,所以對(duì)任意的A1→B1∈P有A1?A,進(jìn)而可以對(duì)P中所有的決策蘊(yùn)涵使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到集合:

    又因?yàn)?{B1|A1→B1∈P}=B,使用后件合并推理規(guī)則,將P1中決策蘊(yùn)涵的前件和后件分別進(jìn)行合并即可得到A→B。 □

    例5令L={{a1}→{d1},{a2a3}→{d2}}。使用合并推理規(guī)則可以從{a1}→{d1}和{a2a3}→{d2}得到{a1a2a3}→{d1d2}。事實(shí)上,也可以分別對(duì){a1}→{d1}和{a2a3}→{d2}使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到{a1a2a3}→{d1}和{a1a2a3}→{d2},然后再對(duì){a1a2a3}→{d1}和{a1a2a3}→{d2}使用后件合并推理規(guī)則得到{a1a2a3}→{d1d2}。

    事實(shí)上,性質(zhì)2和例5也說(shuō)明,在推導(dǎo)過(guò)程中,后件合并推理規(guī)則可以替代合并推理規(guī)則,因此擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則也是完備的。

    定理7(完備性定理)擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是完備的,即對(duì)任意封閉的決策蘊(yùn)涵集L及其完備集L1?L A→B∈L當(dāng)且僅當(dāng)A→B可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則從L1推出。

    證明(充分性)根據(jù)定理2和定理5,擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是合理的,因此L1├A→B;而又因?yàn)長(zhǎng)是封閉的,因此A→B∈L。

    (必要性)因?yàn)锳→B∈L根據(jù)定理3知道A→B可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則從L1推出,因此A→B也可以使用擴(kuò)增推理規(guī)則、合并推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則從L1推出;又根據(jù)性質(zhì)2,合并推理規(guī)則相對(duì)于擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則是冗余的,因此A→B可以只使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則從L1推出。 □

    4.2 決策蘊(yùn)涵的推理過(guò)程研究

    通過(guò)決策蘊(yùn)涵的語(yǔ)構(gòu)研究,可以使用推理規(guī)則集從決策蘊(yùn)涵集導(dǎo)出新的決策蘊(yùn)涵。4.1節(jié)中已證明了擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則相對(duì)于決策蘊(yùn)涵的語(yǔ)義是完備的,即從任意的決策蘊(yùn)涵集開(kāi)始,重復(fù)應(yīng)用這兩條推理規(guī)則,可以得到給定決策蘊(yùn)涵集的封閉集。在本節(jié),將討論推理規(guī)則的性質(zhì),并將其應(yīng)用在推理過(guò)程中,以便更有效地從決策蘊(yùn)涵集得到封閉集。

    下面,首先定義推理過(guò)程中的一些算子。

    定義14令L為一決策蘊(yùn)涵集,記:

    (1)LA為對(duì)L中所有的決策蘊(yùn)涵均使用一次擴(kuò)增推理規(guī)則得到的所有決策蘊(yùn)涵的集合,即:

    方便起見(jiàn),規(guī)定:

    (1)對(duì)L中的決策蘊(yùn)涵先進(jìn)行一次A運(yùn)算,再進(jìn)行一次Cα運(yùn)算記為,其余類似;

    (2)從L開(kāi)始,連續(xù)進(jìn)行n次A運(yùn)算記為,其余類似。

    例6以表1中的決策背景為例,L={{a2a4a5a6}→{d1}{a1a3a4a5}→{d1}{a1a3a4a5}→{d2}}是它的一個(gè)決策蘊(yùn)涵集。決策蘊(yùn)涵集LA和分別如下所示:

    根據(jù)定理7,對(duì)于完備集L,可以交替進(jìn)行A運(yùn)算和Cα運(yùn)算,直至不再產(chǎn)生新的決策蘊(yùn)涵即可得到,但是這樣的推導(dǎo)方式效率并不高。

    下面,首先研究擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則的性質(zhì)以及如何通過(guò)A運(yùn)算和Cα運(yùn)算得到LA和(LA和分別是使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則在L上得到的所有的決策蘊(yùn)涵的集合,見(jiàn)定義13)。

    性質(zhì)3令L為一決策蘊(yùn)涵集,則:

    (1)L?LA

    (2)LA=LAA

    (3)LA=LA

    證明

    (1)對(duì)于任意的A→B∈L,因?yàn)锳?A且B?B,因而A→B∈LA,因此有L?LA。

    (2)根據(jù)(1),顯然有LA?LAA只需證明LAA?LA。令A(yù)→B∈LAALA,此時(shí)必存在A1→B1∈LA,并由此得到A→B,即有A?A1且B?B1。因?yàn)锳1→B1∈LA,所以必存在A2→B2∈L,并由此得到A1→B1,即有A1?A2且B1?B2。因此得到A?A2且B?B2,結(jié)合A2→B2∈L可知A→B∈LA。

    (3)因?yàn)長(zhǎng)A是使用擴(kuò)增推理規(guī)則在L上得到的所有的決策蘊(yùn)涵的集合,所以必存在n使得LA=(一般都假設(shè)條件屬性集和決策屬性集為有限集,因此L也必為有限集,后文情況類似)。又因?yàn)長(zhǎng)A=LAA,所以LA=LA。 □

    例7以例6中的決策蘊(yùn)涵集L為例,根據(jù)性質(zhì)3可知,LA即為例6中的LA。

    性質(zhì)3和例7說(shuō)明,在推導(dǎo)過(guò)程中,只需要對(duì)L中的所有決策蘊(yùn)涵都進(jìn)行一次A運(yùn)算,即可得到通過(guò)擴(kuò)增推理規(guī)則生成的所有決策蘊(yùn)涵。

    性質(zhì)4令L為一決策蘊(yùn)涵集,則:

    證明

    (1)對(duì)于任意的A→B∈L由因此。

    共有兩種情況:

    ①m≤n。此時(shí),由(1)和題設(shè)可得:

    ②m>n因?yàn)樗裕?/p>

    例8以例6中的決策蘊(yùn)涵集L={{a2a4a5a6}→{d1}{a1a3a4a5}→{d1}{a1a3a4a5}→{d2}}為例,對(duì)L多次進(jìn)行Cα運(yùn)算可得到集合LCα:

    性質(zhì)5令為封閉的決策蘊(yùn)涵集且,則

    證明顯然,因此只需證明。對(duì)任意的A→B∈,令P={A1→B1∈L|A1?A},因?yàn)閷?duì)于任意的A1→B1∈P,都有A1?A和B1?B?B1,所以可使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到A→B1?B,進(jìn)而可推理得到集合P1={A→B1?B|A1→B1∈P} 此時(shí),根據(jù)LA的定義有P1?LA。

    接下來(lái)證明B=?{B1?B|A1→B1∈P}。

    根據(jù)定義7可知AL=?{B1|A1→B1∈P} 因?yàn)榍褹→B∈根據(jù)定理1可知B?AL即B??{B1|A1→B1∈P} 則B?{B1|A1→B1∈P}=B而根據(jù)集合的分配律有B?(?{B1|A1→B1∈P})=?{B?B1|A1→B1∈P} 因此有?{B?B1|A1→B1∈P}=B此時(shí),使用后件合并推理規(guī)則可以將P1中所有的決策蘊(yùn)涵合并為A→B因而有A→B∈又因?yàn)镻1?LA所以A→B∈。

    綜上所述,對(duì)任意的A→B∈有A→B∈,因此。 □

    性質(zhì)5表明了生成封閉集不僅可以通過(guò)交替使用這兩條推理規(guī)則,也可以先使用擴(kuò)增推理規(guī)則得到LA再對(duì)LA使用后件合并推理規(guī)則得到封閉集。

    定理8令為封閉的決策蘊(yùn)涵集且,則。

    證明根據(jù)性質(zhì)3可知LA=LA,因此

    定理8在性質(zhì)5的基礎(chǔ)上又進(jìn)一步簡(jiǎn)化了生成封閉集的過(guò)程,在推導(dǎo)過(guò)程中,僅對(duì)決策蘊(yùn)涵集中所有的決策蘊(yùn)涵應(yīng)用一次擴(kuò)增推理規(guī)則即可。

    5 結(jié)論與展望

    本文基于已有的擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則,提出了后件合并推理規(guī)則。該推理規(guī)則不僅簡(jiǎn)化了合并推理規(guī)則,而且具有合理性,與擴(kuò)增推理規(guī)則組成的推理規(guī)則集也具有完備性和無(wú)冗余性;在此基礎(chǔ)上,研究了擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則的性質(zhì),并應(yīng)用于推導(dǎo)過(guò)程,提出具體的推導(dǎo)方法。在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)遇到各種不同的需求,而不同的推導(dǎo)方法有可能滿足不同的需求,因此也豐富了從決策蘊(yùn)涵集得到封閉集的方法理論。

    另外,這一研究也引出了一些新的問(wèn)題,例如:不論使用擴(kuò)增推理規(guī)則和合并推理規(guī)則,還是使用擴(kuò)增推理規(guī)則和后件合并推理規(guī)則,都需要交替使用才能推導(dǎo)出所有的決策蘊(yùn)涵,這樣勢(shì)必會(huì)增加推理的復(fù)雜度,因此是否存在更簡(jiǎn)單有效的推理規(guī)則,即只需一條推理規(guī)則便足以完成該推理過(guò)程?是否可以將本文的工作推廣到可變決策蘊(yùn)涵[31]和模糊決策蘊(yùn)涵[20,32]上?這也是接下來(lái)需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

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