融入數(shù)學(xué)建模思想的線性代數(shù)案例教學(xué)研究

劉敬剛 郭燕

摘 要：針對(duì)線性代數(shù)課程傳統(tǒng)教學(xué)方法中存在的不足，提出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)案例教學(xué)過(guò)程的新思路.通過(guò)具體例子表明，在案例教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)建模思想，可以使抽象的線性代數(shù)理論、方法變得具體、形象、直觀，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，保證教學(xué)質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;線性代數(shù);教學(xué)方法;案例教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2020）01-0015-03

1 前言

線性代數(shù)作為理工科大學(xué)生的一門(mén)必修數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)等方面具有廣泛應(yīng)用[1].隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的日益普及和廣泛應(yīng)用，現(xiàn)代工程問(wèn)題的解決最終都轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的求解問(wèn)題，因此線性代數(shù)的理論和方法在大學(xué)生走上工作崗位后，有著十分廣泛的應(yīng)用.線性代數(shù)的核心內(nèi)容是以矩陣為工具研究向量、向量空間、線性變換和線性方程組，這些內(nèi)容比較抽象且理論性強(qiáng)，對(duì)于剛跨進(jìn)大學(xué)校門(mén)的學(xué)生而言學(xué)習(xí)難度較大[2].同時(shí)由于線性代數(shù)課程設(shè)立之初，以介紹理論為主，教學(xué)實(shí)踐中偏重自身理論體系的完備，強(qiáng)調(diào)定義、定理、性質(zhì)等理論內(nèi)容，而對(duì)線性代數(shù)的方法和具體應(yīng)用不夠重視，很少涉及具體應(yīng)用實(shí)例，增加了大學(xué)生理解線性代數(shù)理論方法的難度.隨著廣大教育工作者通過(guò)線性代數(shù)課程的教學(xué)研究和教學(xué)改革，人們逐步認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)理論方法和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的重要性，但是在課堂教學(xué)中普遍存在以教師為主導(dǎo)的案例講解僅僅說(shuō)明線性代數(shù)有用，并沒(méi)有讓抽象的理論內(nèi)容變得直觀[3-5].當(dāng)前“新工科”理念要求，課堂教學(xué)既能發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又能充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的“去中心化”[6].針對(duì)這種現(xiàn)狀，本文提出將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)應(yīng)用案例教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)“教師引導(dǎo)、學(xué)生主導(dǎo)”重現(xiàn)問(wèn)題分析、問(wèn)題簡(jiǎn)化、建立模型、求解模型、結(jié)果解釋和驗(yàn)證整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生看到線性代數(shù)理論方法“有用”，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，也為理解線性代數(shù)的抽象概念和方法提供有效途徑.

2 數(shù)學(xué)建模思想融入案例教學(xué)的方法

面向?qū)嶋H問(wèn)題，融合數(shù)學(xué)建模思想，依據(jù)線性代數(shù)有關(guān)理論建立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用線性代數(shù)方法進(jìn)行求解，使原本抽象的理論、方法變得生動(dòng)有趣，可以有效激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)效率.眾所周知，數(shù)學(xué)建模的基本步驟為：分析問(wèn)題、模型假設(shè)、符號(hào)說(shuō)明、建立模型、求解模型、結(jié)果分析、模型檢驗(yàn)等，下面以飲料配制問(wèn)題為例介紹數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)案例教學(xué)的設(shè)計(jì)方法.

例：飲料配制問(wèn)題

某飲料廠用原料A、B、C、D，按不同配比制成五種飲料（編號(hào)為1-5），具體原料配比見(jiàn)表1.某日，飲料廠第4號(hào)和第5號(hào)飲料售罄.問(wèn)題：能否用其他飲料配制出這兩種脫銷的飲料？若可以，應(yīng)該如何配制？

對(duì)于這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，一定會(huì)引起同學(xué)們的興趣，可以極大地調(diào)動(dòng)同學(xué)們對(duì)問(wèn)題的探知欲望.依托數(shù)學(xué)建模思想，將數(shù)學(xué)建?；静襟E和線性代數(shù)理論方法有機(jī)結(jié)合在一起，具體分為七個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的有效解決.為了敘述方便，首先考慮4號(hào)飲料的配制問(wèn)題，5號(hào)飲料類似進(jìn)行討論.

1.問(wèn)題分析

要配制出4號(hào)飲料，只需要討論1、2、3號(hào)飲料，能否按某種比例混合后，滿足4號(hào)飲料對(duì)四種原料的配比要求.

2.數(shù)據(jù)處理并提出具體問(wèn)題

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，首先求出五種飲料在配比表中的列和，如表2所示.從而可以提出如下具體問(wèn)題：假設(shè)要配制133單位的4號(hào)飲料，能否由1、2、3號(hào)飲料混合達(dá)到4號(hào)飲料的配比要求，如果能求出混合比例.

3.模型假設(shè)

假設(shè)原料可分.

4.符號(hào)說(shuō)明

規(guī)定五種飲料在表2中的原料配比列和所示容量為一份飲料.設(shè)配制1份即133單位的4號(hào)飲料，需要飲料1、2、3分別為x1份、x2份、x3份.

5.模型建立

由已知信息建立如下數(shù)學(xué)模型

x1+3x3=87x1+25x2=604x1+12x2+2x3=34x1+25x2+x3=31? （1）

從而將4號(hào)飲料能否配制的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組（1）是否有解的問(wèn)題.

6.模型求解

由線性代數(shù)關(guān)于線性方程組解的存在性判定有關(guān)方法和結(jié)論，首先利用矩陣的初等行變換將線性方程組的增廣矩陣化為行階梯形矩陣，

因?yàn)镽（A）=R（A，b）=3，所以有唯一解，即4號(hào)飲料可以由1、2、3號(hào)飲料配制且配制方法唯一.

進(jìn)一步，用初等行變換將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形，

解得x1=5，x2=1，x3=1.

7.結(jié)果解釋

要配制133單位的4號(hào)飲料，分別需要1、2、3號(hào)飲料5份、1份、1份，即5份13單位的1號(hào)飲料、1份62單位的2號(hào)飲料、1份6單位的3號(hào)飲料混合可得133單位的4號(hào)飲料.

8.應(yīng)用

綜上，可知配制1單位的4號(hào)飲料，1、2、3號(hào)飲料分別需要，從而得1、2、3號(hào)飲料的混合比例為65：62：6.

以上過(guò)程針對(duì)4號(hào)飲料的配制問(wèn)題，在數(shù)學(xué)建模思想指導(dǎo)下完成了對(duì)問(wèn)題的求解.同理，假設(shè)要配制出一份即69單位的5號(hào)飲料，需要飲料1、2、3分別為y1份、y2份、y3份，建立如下數(shù)學(xué)模型

x1+3y3=37y1+25y2=254y1+12y2+2y3=14y1+25y2+y3=27? （4）

用矩陣初等行變換化增廣矩陣為行階梯形，可得

因?yàn)镽（A）

飲料配制問(wèn)題的求解過(guò)程中，教師用數(shù)學(xué)建模思想方法引導(dǎo)學(xué)生，應(yīng)用線性方程組有關(guān)理論和方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，突出了學(xué)生的主體地位.整個(gè)過(guò)程類似中學(xué)解應(yīng)用題，大學(xué)一年級(jí)同學(xué)接受起來(lái)比較容易，但是其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)建模思想，具體有以下幾個(gè)方面：

1.對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，由已知數(shù)據(jù)信息求表1中原料配比的列和，豐富完善數(shù)據(jù)信息;

2.對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的合理假設(shè)，即假設(shè)配料可分，該假設(shè)既符合實(shí)際又方便求解;

3.為了建模直觀、方便起見(jiàn)，假設(shè)需要配制的飲料總量為1份，即表2所示飲料在原料配比表中的列和，從而得到簡(jiǎn)化的具體問(wèn)題;

4.數(shù)學(xué)模型就是由賦予特定含義的數(shù)學(xué)符號(hào)，給出的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

5.結(jié)果解釋中，準(zhǔn)確解釋了的求解結(jié)果的具體含義，并且為了配制方便，將配比轉(zhuǎn)化為在同一度量單位下飲料的混合比例.

依托數(shù)學(xué)建模思想方法，搭建了連接線性代數(shù)和實(shí)際問(wèn)題的橋梁，將學(xué)和用自然結(jié)合、相輔相成，學(xué)為用作必要準(zhǔn)備，用體現(xiàn)學(xué)的價(jià)值，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性和主動(dòng)性，提高了對(duì)線性代數(shù)理論方法的學(xué)習(xí)熱情.

3 教學(xué)案例賦予抽象概念直觀解釋

線性代數(shù)中的向量、向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)性和向量空間等概念比較抽象，當(dāng)向量維數(shù)較高時(shí)沒(méi)有相應(yīng)的幾何解釋，給學(xué)習(xí)和理解有關(guān)定義、結(jié)論和方法造成了很大困擾.注意到飲料配制問(wèn)題中五種飲料的配比都是有序數(shù)組，因此可以用向量來(lái)表示，記為

由（6）式可以看出，4號(hào)飲料能否由1、2、3號(hào)飲料配制的問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為向量？琢4能否由向量組？琢1，？琢2，？琢3線性表示的問(wèn)題.換言之，就是？琢4是否屬于？琢1，？琢2，？琢3生成的向量空間

又由于R（？琢1，？琢2，？琢3）=R（A）=3，所以向量組？琢1，？琢2，？琢3線性無(wú)關(guān)，是向量空間L（？琢1，？琢2，？琢3）的一組基.由問(wèn)題（1）的求解結(jié)果可知？琢4可由向量組？琢1，？琢2，？琢3線性表，即？琢4∈L（？琢1，？琢2，？琢3），或者說(shuō)？琢1，？琢2，？琢3，？琢4線性相關(guān).同理分析可得，？琢5不能由向量組？琢1，？琢2，？琢3線性表，即？琢5？埸L（？琢1，？琢2，？琢3），或者說(shuō)？琢1，？琢2，？琢3，？琢5線性無(wú)關(guān).

總之，通過(guò)將飲料配制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型寫(xiě)成向量形式，賦予向量、線性表示、線性相關(guān)性和向量空間等抽象概念具體的實(shí)際含義，對(duì)于抽象內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解提供了幫助.

4 結(jié)論

在線性代數(shù)課程教學(xué)中開(kāi)展融入數(shù)學(xué)建模思想的案例教學(xué)，有利于將線性代數(shù)理論方法和實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合起來(lái)，有利于將線性代數(shù)知識(shí)的“學(xué)”和“用”有機(jī)結(jié)合起來(lái)，有利于將專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)教育和學(xué)生綜合素質(zhì)、創(chuàng)新實(shí)踐能力培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái).通過(guò)案例教學(xué)，使線性代數(shù)理論方法在數(shù)學(xué)建模思想方法指導(dǎo)下成為解決實(shí)際問(wèn)題的有效工具，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，更教給學(xué)生一種解決實(shí)際問(wèn)題的方法，使學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題習(xí)慣，掌握開(kāi)啟成功大門(mén)的鑰匙.

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