復(fù)雜不確定系統(tǒng)可靠性分析的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法

王海朋，段富海

(大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

現(xiàn)代可靠性工程研究對象已發(fā)生從簡單到復(fù)雜、從組件到系統(tǒng)、從單狀態(tài)到多狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，呈現(xiàn)出復(fù)雜性、不確定性、集成性和多態(tài)性等新特點。在實際工況中，由結(jié)構(gòu)復(fù)雜、可靠性數(shù)據(jù)不足等因素導(dǎo)致的復(fù)雜多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析不確定性問題，引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。隨之發(fā)展起來的系統(tǒng)可靠性分析方法有：模糊故障樹[1-2]、Takagi-Sugeno(T-S)模糊故障樹[3-4]、模糊Petri網(wǎng)[5-6]、生成函數(shù)法[7-8]和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(BN)方法[9-10]等，其中BN不僅能夠清晰、有效地表達多態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜邏輯關(guān)系，而且具有獨特的雙向推理機制，特別適合于高可靠性、小子樣復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性分析，已應(yīng)用于可靠性分析[11-12]、風(fēng)險評估[13-14]、故障診斷[15]等領(lǐng)域。

模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論是目前最活躍的兩種不確定性系統(tǒng)理論[16]，為基于BN的不確性分析提供了重要理論依據(jù)。文獻[4]針對BN方法和T-S故障樹方法的不足，結(jié)合模糊數(shù)學(xué)，將T-S故障樹引入BN中，構(gòu)建出一種模糊可靠性評估模型，并對巷道運輸車液壓系統(tǒng)進行了可靠性評估。文獻[17]將直覺模糊集應(yīng)用到BN中，提出一種能夠精確確定BN各根節(jié)點狀態(tài)發(fā)生概率的方法。文獻[18]將灰色系統(tǒng)理論引入BN模型中，解決了組件之間故障狀態(tài)難以界定的問題。文獻[19]用模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論對油輪設(shè)備進行了故障模式和影響分析。文獻[20]將模糊技術(shù)引入BN可靠性模型中，賦予BN解決不確定信息的能力，并以液壓系統(tǒng)驗證所提模型有效。

基于BN的不確定分析，或引入灰色系統(tǒng)理論，或引入模糊技術(shù)，雖然取得了較好的研究成果，但對現(xiàn)代系統(tǒng)的復(fù)雜性、不確定性及多態(tài)性考慮仍不完善，存在問題有：1)對故障狀態(tài)描述的隸屬度函數(shù)的模糊支撐半徑都為定值，如文獻[4,18]等，這雖然能解決某些不確定性條件下的多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析問題，但難免在隸屬度函數(shù)的構(gòu)建過程中引入過多主觀信息，導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果出現(xiàn)偏差；2)將系統(tǒng)與組件間的故障邏輯關(guān)系假設(shè)為確定的，如文獻[10,20]等，這忽略了由于可靠性數(shù)據(jù)不足、運行環(huán)境復(fù)雜多變等因素導(dǎo)致的組件和系統(tǒng)間邏輯關(guān)系的不確定性，難以滿足對復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析的要求。

本文針對以上問題，將模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論引入多態(tài)BN的可靠性分析模型中，提出一種基于不確定隸屬度函數(shù)和區(qū)間特征量的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析方法。用含變量的隸屬度函數(shù)來表征組件故障狀態(tài)，不僅避免了人為主觀因素對隸屬度函數(shù)選擇的影響，而且將組件故障狀態(tài)的不確定性有效量化；用區(qū)間灰數(shù)描述條件概率表(CPT)中的確定值，有效表達了組件和系統(tǒng)間不確定的故障邏輯關(guān)系；構(gòu)建出含模糊支撐變量的系統(tǒng)可靠性特征量參數(shù)規(guī)劃模型，將可靠性特征量的不確定性量化，并表示為區(qū)間；最后以衛(wèi)星推進系統(tǒng)為例，驗證了所提方法的有效性。

1 灰色模糊BN方法

1.1 可靠性建模與分析的灰色模糊BN方法

BN由有向無環(huán)圖(DAG)和CPT組成，是一種概率圖型模型。DAG由節(jié)點和有向邊組成。節(jié)點可表示故障狀態(tài)、故障模式等變量。根節(jié)點為不具有父節(jié)點的節(jié)點；葉節(jié)點為不具有子節(jié)點的節(jié)點；其他節(jié)點為中間節(jié)點[20]。有向邊由父節(jié)點指向子節(jié)點。CPT表示節(jié)點間因果故障邏輯關(guān)系，即組件和子系統(tǒng)、系統(tǒng)間故障邏輯關(guān)系。

模糊數(shù)學(xué)借助隸屬度函數(shù)研究不確定性問題，本文構(gòu)建含模糊支撐半徑變量r的梯形模糊數(shù)(TrFN)來描述組件和系統(tǒng)在故障演化過程中某時刻故障狀態(tài)的模糊不確定性，主要包括兩方面：1)人為主觀因素選擇隸屬度函數(shù)引起的不確定性(將描述故障狀態(tài)隸屬度函數(shù)的模糊支撐半徑設(shè)定為定值引起的不確定性)；2)各故障狀態(tài)間的模糊不確定性。

灰數(shù)是灰色系統(tǒng)基本單元，是描述只知取值范圍而不知其確切值的數(shù)；區(qū)間灰數(shù)是灰數(shù)的一類，是指既有下界a、又有上界b的灰數(shù)，記為?∈[a,b],其中a,b∈R,且滿足a

基于傳統(tǒng)BN，系統(tǒng)可靠性建模與分析的灰色模糊BN方法步驟框圖如圖1所示。

圖1 可靠性建模與分析的灰色模糊BN方法

圖1所示方法將傳統(tǒng)節(jié)點變量推廣到灰色模糊BN節(jié)點，表達組件和系統(tǒng)在故障演化過程中某時刻故障狀態(tài)的模糊不確定性；將傳統(tǒng)的CPT推廣到含區(qū)間灰數(shù)的CPT，表達組件和系統(tǒng)間具有灰色系統(tǒng)信息特征的不確定故障邏輯關(guān)系。步驟如下：

1)分析系統(tǒng)基本原理，明確各組件、系統(tǒng)的故障狀態(tài)和故障模式，建立系統(tǒng)BN模型的DAG；

2)根據(jù)組件的故障狀態(tài)和故障模式，引入含變量r的TrFN描述組件和系統(tǒng)在故障演化過程中某時刻故障狀態(tài)的模糊不確定性，見1.2.1節(jié)；

3)構(gòu)建含區(qū)間灰數(shù)?的CPT描述組件和系統(tǒng)間具有灰色系統(tǒng)信息特征的故障邏輯關(guān)系，見1.2.2節(jié)；

4)根據(jù)步驟1～步驟3和相應(yīng)的系統(tǒng)可靠性特征量定義，得出相應(yīng)的系統(tǒng)可靠性特征函數(shù)，見1.2.3節(jié)；

5)以系統(tǒng)可靠性特征函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，以區(qū)間灰數(shù)?的取值區(qū)間為約束條件，構(gòu)建出可靠性特征量參數(shù)規(guī)劃模型，用優(yōu)化算法分別進行葉節(jié)點可靠性分析和根節(jié)點重要度分析，根據(jù)分析結(jié)果評估系統(tǒng)可靠性和組件重要度，見1.2.4節(jié)。

1.2 灰色模糊BN方法詳細步驟

1.2.1 灰色模糊BN節(jié)點的故障狀態(tài)描述

實際工程中，組件和系統(tǒng)從正常工作到完全故障的演化過程中往往會表現(xiàn)出多種故障模式和多種故障狀態(tài)，且各故障狀態(tài)間沒有嚴格界限，具有一定的模糊不確定性。不失一般性，本文構(gòu)建含模糊支撐半徑變量的梯形隸屬度函數(shù)來表征組件和系統(tǒng)的故障狀態(tài)。

(1)

(2)

圖2 含變量r的組件故障狀態(tài)的隸屬度函數(shù)

由圖2可知，梯形隸屬度函數(shù)的確定性區(qū)域和不確性區(qū)域隨變量r的變化而變化。由圖2得節(jié)點各故障狀態(tài)隸屬度的計算公式如表1所示。

1.2.2 灰色模糊BN的CPT描述

復(fù)雜系統(tǒng)擁有大量交互成分，內(nèi)部關(guān)系復(fù)雜，且運行環(huán)境復(fù)雜多樣，導(dǎo)致其故障模式和故障機理復(fù)雜多變，使得組件對系統(tǒng)可靠性影響具有不確性；且受到研制成本和研制周期等影響，系統(tǒng)可靠性特點和規(guī)律的全部信息，難以在預(yù)定的時間內(nèi)獲得，這都導(dǎo)致組件和系統(tǒng)間的故障邏輯關(guān)系具有灰色系統(tǒng)信息特征，使得組件和系統(tǒng)間的故障邏輯關(guān)系難以用確定值描述。為準(zhǔn)確描述組件和系統(tǒng)間故障邏輯關(guān)系，用區(qū)間灰數(shù)描述BN中條件概率數(shù)值，n個包含m種狀態(tài)節(jié)點的灰色模糊BN的CPT，如表2所示。

表1 組件故障狀態(tài)的隸屬度

表2 灰色模糊BN的CPT

表2中每行代表當(dāng)父節(jié)點不同故障狀態(tài)時，子節(jié)點為某故障狀態(tài)的條件概率，如P(y=i|x1,x2,…,xn)=?1,1,…,1,i表示在節(jié)點x1～xn故障狀態(tài)都為0時，節(jié)點y為故障狀態(tài)i的概率等于區(qū)間灰數(shù)?1,1,…,1,i，?1,1,…,1,i∈[0, 1]，且滿足?1,1,…,1,1+…+?1,1,…,1,i+…+?1,1,…,1,m=1.

1.2.3 灰色模糊BN的多態(tài)系統(tǒng)可靠性分析

灰色模糊BN不僅能夠表征和量化組件和系統(tǒng)不確定的故障狀態(tài)，還能表達組件和系統(tǒng)間復(fù)雜多變的邏輯關(guān)系。此外，利用BN獨特的雙向推理能力，可有效分析系統(tǒng)葉節(jié)點可靠性、系統(tǒng)根節(jié)點的重要度等系統(tǒng)可靠性特征量。

灰色模糊BN用含有變量的隸屬度函數(shù)來描述節(jié)點的故障狀態(tài)，并不是用簡單的隸屬度函數(shù)來描述；用區(qū)間灰數(shù)來表達組件和系統(tǒng)間不確定性的故障邏輯關(guān)系，并不是用確定值來表達。為區(qū)別傳統(tǒng)BN定義，在灰色模糊BN中將可能性、發(fā)生概率、狀態(tài)重要度、關(guān)鍵重要度拓展定義為灰色模糊可能性、灰色模糊概率、灰色模糊狀態(tài)重要度、灰色模糊關(guān)鍵重要度，詳見1.2.3.1節(jié)和1.2.3.2節(jié)。

1.2.3.1 灰色模糊BN葉節(jié)點可靠性分析

1.2.3.1.1 葉節(jié)點各故障狀態(tài)分析

設(shè)灰色模糊BN根節(jié)點為xi(i=1,2,…,n)，中間節(jié)點為yj(j=1,2,…,n)，葉節(jié)點為T；若各根節(jié)點當(dāng)前故障狀態(tài)為x′1,…,x′n，則葉節(jié)點T處于故障狀態(tài)Tq的灰色模糊可能性為P?(T=Tq)，應(yīng)用桶消元法計算過程為

P?(T=Tq)=

(3)

1.2.3.1.2 葉節(jié)點各故障狀態(tài)的故障概率分析

(4)

1.2.3.2 灰色模糊BN根節(jié)點重要度分析

1.2.3.2.1 灰色模糊狀態(tài)重要度

P?(T=Tq|xi=0)],0}，

(5)

式中：P?(T=Tq|xi=x′i)表示節(jié)點xi故障狀態(tài)為x′i時，葉節(jié)點T故障狀態(tài)為Tq的灰色模糊可能性；P?(T=Tq|xi=0)表示根節(jié)點xi故障狀態(tài)為0時，葉節(jié)點T故障狀態(tài)為Tq的灰色模糊可能性。

1.2.3.2.2 灰色模糊關(guān)鍵重要度

在故障樹分析中，關(guān)鍵重要度是一個變化率的比，表征底事件故障概率的變化率引起頂事件故障概率的變化率。借鑒此思想，在多態(tài)系統(tǒng)中，關(guān)鍵重要度是指某一組件發(fā)生可靠性退化的變化率引起系統(tǒng)可靠性退化的變化率[22]，因此可給出灰色模糊多態(tài)BN中根節(jié)點xi的關(guān)鍵重要度定義：

(6)

1.2.4 系統(tǒng)可靠性特征量的求解算法

用含有模糊支撐半徑變量的梯形隸屬函數(shù)表征系統(tǒng)組件故障狀態(tài)，用含區(qū)間灰數(shù)的CPT描述組件和系統(tǒng)間不確定的故障邏輯關(guān)系時，構(gòu)造出如(7)式所示的參數(shù)規(guī)劃模型，以(3)式～(6)式中某個系統(tǒng)可靠性特征量的表達式為目標(biāo)函數(shù)，可對其進行求解。

max(min)f(?1,?2,…,?n)，

(7)

式中：ai和bi表征CPT中當(dāng)父節(jié)點不同故障狀態(tài)時，子節(jié)點處于某故障狀態(tài)條件概率的最小值和最大值。

該參數(shù)規(guī)劃本質(zhì)是由一系列區(qū)間灰數(shù)?i在確定的區(qū)間[ai,bi]內(nèi)求解函數(shù)極值的問題，可用商業(yè)優(yōu)化軟件(如MATLAB、Isight等)求解。

另外，大型復(fù)雜多態(tài)系統(tǒng)，組件的數(shù)量多，組件和系統(tǒng)間不確定的故障邏輯關(guān)系更加復(fù)雜，這使得(7)式中的目標(biāo)函數(shù)變復(fù)雜，以及約束條件的數(shù)量增加，可借助Lingo、Gurobi、CPLEX等專業(yè)求解器來求解，計算量可控。對節(jié)點間可靠性特征量的大小比較，可根據(jù)Nakahara等[23]提出的區(qū)間大小比較規(guī)則，來評判特征量大小。

2 衛(wèi)星推進系統(tǒng)可靠性分析

衛(wèi)星推進系統(tǒng)是實現(xiàn)衛(wèi)星變軌、姿態(tài)控制、軌道保持、定位和離軌等任務(wù)的動力系統(tǒng)，其性能的好壞直接影響衛(wèi)星的控制精度和壽命。據(jù)統(tǒng)計，受外太空惡劣環(huán)境的影響，衛(wèi)星推進系統(tǒng)故障概率相對較高，分析其可靠性非常必要。為驗證所提灰色模糊BN方法的有效性，本節(jié)以衛(wèi)星推進系統(tǒng)為案例，進行演示驗證，并與文獻[4,24]中的方法進行對比。

2.1 系統(tǒng)建模

單組元推進系統(tǒng)結(jié)構(gòu)小巧緊湊，是中低軌衛(wèi)星領(lǐng)域最常用的一種推進系統(tǒng)，主要包括貯箱、加排閥、過濾器、自鎖閥、壓力傳感器和推力器，如圖3所示。貯箱為推力器提供推進劑；加排閥為貯箱加排增壓氣體和推進劑；過濾器用于過濾掉推進劑中的雜質(zhì)，防止堵塞管道系統(tǒng)；自鎖閥用來控制管路開關(guān)；壓力傳感器實時監(jiān)測管道壓力；推力器為系統(tǒng)提供推進力。

圖3 單組元推進系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

單組元推進系統(tǒng)采用雙備份結(jié)構(gòu)，推力器1支路和推力器2支路只要有一個正常工作，系統(tǒng)就能正常工作；如果兩支路都發(fā)生故障，則系統(tǒng)處于故障狀態(tài)；由于組件與系統(tǒng)間不確定性的故障邏輯關(guān)系，當(dāng)任一支路故障，另一支路半故障時，系統(tǒng)可能故障，可能半故障，也有可能正常工作。根據(jù)圖3構(gòu)造單組元推進系統(tǒng)BN，如圖4所示。

圖4 單組元推進系統(tǒng)BN

表3 節(jié)點y1的CPT

表4 節(jié)點y2的CPT

2.2 系統(tǒng)葉節(jié)點可靠性分析

2.2.1 葉節(jié)點故障狀態(tài)分析

已知各根節(jié)點當(dāng)前故障狀態(tài)為x′1=0.3，x′2=0.4，x′3=0.2，x′4=0.6，x′5=0.3,x′6=0.7，x′7=0.1，x′8=0.7，x′9=0.3，x′10=0.4，x′11=0.2，x′12=0.8.由表1可知各根節(jié)點故障狀態(tài)的隸屬度，如表6和表7所示。根據(jù)表6和表7，由(3)式和(7)式，運用MATLAB軟件優(yōu)化工具箱提供的fmincon函數(shù)，可求出葉節(jié)點T在不同故障狀態(tài)下的模糊可能性，即葉節(jié)點T灰色模糊可能性的極值隨變量r的變化曲線，如圖5所示。由圖5可知：

表5 節(jié)點T的CPT

1)從系統(tǒng)可靠性的角度分析，在已知組件當(dāng)前故障狀態(tài)條件下，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、可靠性數(shù)據(jù)不足等原因?qū)е碌牟淮_定性，葉節(jié)點T灰色模糊可能性(系統(tǒng)可靠度)可能在兩條曲線和兩條曲線間區(qū)域的任一點取值，顯然，由不確性問題導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果的差別較大。

2)當(dāng)0≤r<0.2時，隨著變量r增大，根節(jié)點的不確性減小，葉節(jié)點T各故障狀態(tài)灰色模糊可能性上、下限值的差值總體呈現(xiàn)減小趨勢。以葉節(jié)點T=0的灰色模糊可能性為例，如表8所示。

3)當(dāng)0.2≤r≤0.25時，由各根節(jié)點求出節(jié)點y3不確定性為0，求出葉節(jié)點T各故障狀態(tài)灰色模糊可能性均是一條與變量r值無關(guān)的直線。

表6 二態(tài)根節(jié)點故障狀態(tài)的隸屬度

表7 三態(tài)根節(jié)點故障狀態(tài)的隸屬度

圖5 葉節(jié)點T的灰色模糊可能性

表8 葉節(jié)點T=0的灰色模糊可能性

表9 葉節(jié)點T處于不同故障狀態(tài)的灰色模糊可能性

由表9可知:

1)灰色模糊BN方法得到的結(jié)果包含文獻[4]中的結(jié)果，驗證了所提方法的有效性。

2)區(qū)間大小比較規(guī)則，得P(T=1)>P(T=0)>P(T=0.5)，表征在當(dāng)前故障狀態(tài)下，推進系統(tǒng)出現(xiàn)故障的可能性和無故障的可能性均高于半故障的可能性，且系統(tǒng)發(fā)生故障的可能性最大。

2.2.2 葉節(jié)點故障概率分析

根據(jù)工程實際和文獻[25-26]，各組件故障狀態(tài)為1的故障率如表10所示，并假設(shè)過濾器和推力器組件故障狀態(tài)為0.5與故障狀態(tài)為1的故障率相同。

表10 組件故障率

表11 各根節(jié)點模糊概率

根據(jù)表11、(4)式和(7)式，計算出葉節(jié)點T處于不同故障狀態(tài)灰色模糊概率(見表12)。用文獻[4]方法來驗證灰色模糊BN方法計算葉節(jié)點T處于不同故障狀態(tài)灰色模糊概率的有效性，結(jié)果如表12所示。

表12 葉節(jié)點T處于不同故障狀態(tài)的灰色模糊概率

由表12知:

1)灰色模糊BN方法得到的結(jié)果包含文獻[4]方法計算得出的結(jié)果，驗證了所提方法的有效性。

2.3 根節(jié)點重要度分析

2.3.1 灰色模糊狀態(tài)重要度

圖6 節(jié)點x1灰色模糊狀態(tài)重要度隨變量r變化的曲線

根節(jié)點狀態(tài)重要度受組件當(dāng)前故障狀態(tài)和變量r的綜合影響，當(dāng)各組件當(dāng)前故障狀態(tài)和變量r不同時，各根節(jié)點狀態(tài)重要度的取值區(qū)間不同，分析得出系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)也不同?？筛鶕?jù)實際工程選擇合適的變量r，當(dāng)r為0.125時各根節(jié)點狀態(tài)重要度的取值區(qū)間(見表13)。用文獻[4]方法來計算根節(jié)點的狀態(tài)重要度，結(jié)果如表13所示。

表13 根節(jié)點灰色模糊狀態(tài)重要度

由表13可知:

2)在已知根節(jié)點當(dāng)前故障狀態(tài)條件下，從節(jié)點的狀態(tài)重要度分析時，對于系統(tǒng)的半故障狀態(tài)，節(jié)點x4為系統(tǒng)最薄弱環(huán)節(jié)；對于系統(tǒng)故障狀態(tài)，節(jié)點x12為系統(tǒng)最薄弱環(huán)節(jié)。

2.3.2 灰色模糊關(guān)鍵重要度

由表14可知:

2)當(dāng)從節(jié)點的關(guān)鍵重要度分析時，對于系統(tǒng)半故障狀態(tài)，節(jié)點x3和x7發(fā)生可靠性退化的變化率引

表14 根節(jié)點灰色模糊關(guān)鍵重要度

起系統(tǒng)可靠性退化的變化率最大；對于系統(tǒng)故障狀態(tài)，節(jié)點x9發(fā)生可靠性退化的變化率引起系統(tǒng)可靠性退化的變化率最大。

上述分析過程是在計算機配置為Window7 64位系統(tǒng)，Intel Core i5-4460處理器，3.2 GHz主頻，4 GB內(nèi)存的MATLAB 2012a軟件平臺上計算所得。借助于軟件平臺，通過該案例可知本文方法編程思路清晰，邏輯清楚，運算效率高，計算量可控。

3 結(jié)論

本文將模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論引入BN中，提出一種基于不確定隸屬度函數(shù)和區(qū)間特征量的復(fù)雜不確定系統(tǒng)可靠性分析灰色模糊BN方法，能夠有效定量分析不確定條件下的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性和組件重要度。得出以下主要結(jié)論：

1)所提方法給出了傳統(tǒng)BN不能反映組件故障狀態(tài)和故障率、不能有效描述組件和系統(tǒng)間不確定故障邏輯關(guān)系等不確定性問題的有效解決方法。

2)所提方法在不需要精確值條件下，能有效表征和量化由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、實驗樣本有限、可靠性數(shù)據(jù)不足等因素導(dǎo)致的不確定性對系統(tǒng)可靠性的影響。

3)用所提方法分析衛(wèi)星推進系統(tǒng)的可靠性，求解出在已知各根節(jié)點當(dāng)前故障狀態(tài)和故障率條件下的系統(tǒng)可靠度；利用BN的雙向推理機制分析了組件的重要度，所求出的系統(tǒng)可靠度及組件重要度等可靠性特征量均以區(qū)間值形式表示，能為復(fù)雜不確定系統(tǒng)的可靠性分析、故障診斷和維修決策提供重要參考依據(jù)。