基于極大似然法的高速無人艇操縱響應(yīng)模型參數(shù)辨識

褚式新，茅云生，董早鵬，楊鑫

(1.武漢理工大學(xué) 高性能船舶技術(shù)教育部重點實驗室, 湖北 武漢 430063；2.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院, 湖北 武漢 430063)

0 引言

近年來，由于海洋資源開發(fā)的蓬勃發(fā)展，各類智能化海洋裝備都備受關(guān)注，各學(xué)者關(guān)于此類海洋裝備的研究也層出不窮[1-2]，其中關(guān)于無人海洋運載器(UMV)的研究最為廣泛[3]，UMV包括無人波浪滑翔機(UWG)[4]、水下自主航行器(AUV)[5-6]、無人水下機器人(UUV)和水面無人艇(USV)等[7-8]，其中USV由于其船型輕巧、智能化等特點廣泛應(yīng)用在軍事和商業(yè)等各個方面，各個國家非常重視USV的研究和發(fā)展[9-11]。良好的操縱性是USV智能化的基礎(chǔ)，而操縱性的預(yù)報精度與操縱響應(yīng)模型參數(shù)的精度相關(guān)。隨著系統(tǒng)辨識學(xué)科的發(fā)展，系統(tǒng)辨識的方法被廣泛應(yīng)用在各種模型參數(shù)的辨識上，改變了以往通過實驗獲取模型參數(shù)的現(xiàn)狀，節(jié)約了實驗成本。而在船舶方面的研究，各種辨識方法層出不窮，對操縱模型參數(shù)的辨識精度也越來越高，對船舶的操縱性預(yù)報也越來越精確[12]。

眾多學(xué)者采用辨識的方法對船舶的操縱性進(jìn)行了研究：Luo等[13]、張心光等[14]研究了支持向量機(SVM)在船舶操縱模型中的辨識效果，并在船模實驗中得到了驗證；Zhu等[15]通過人工蜂群算法對SVM進(jìn)行優(yōu)化，辨識了大型集裝箱船的運動模型；Xu等[16]和謝朔等[17]將最小二乘法與SVM結(jié)合運用，實現(xiàn)了參數(shù)的在線辨識；文獻(xiàn)[18-22]介紹了卡爾曼濾波在船舶運動模型參數(shù)辨識方面的應(yīng)用，包括擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)和無跡卡爾曼濾波(UKF)。

但是目前所使用的辨識算法在獲取USV操縱響應(yīng)模型參數(shù)方面的研究較少，且算法存在精度不高的問題，USV一般體型較小，需要較精確的操縱性預(yù)報，因此需要一種精度較高的辨識算法獲取響應(yīng)模型參數(shù)。極大似然(ML)算法是系統(tǒng)辨識中一種常見的辨識算法，已經(jīng)應(yīng)用在很多領(lǐng)域內(nèi)的參數(shù)獲取上[23-26],具有簡單、方便、精度高等特點，但是目前應(yīng)用在USV運動模型上的研究比較少見，本文基于ML算法，結(jié)合高速USV的2階非線性運動模型展開研究。

1 高速USV操縱數(shù)學(xué)模型

隨著海洋資源開發(fā)效率的提升，對USV航速的要求越來越高，隨著航速的提升，對USV的操縱性要求越來越高。描述USV運動模型又分為MMG(由日本Maneuvering Modeling Group提出，簡稱MMG)模型、Abkowitz模型和響應(yīng)型模型，其中MMG分離模型與Abkowitz整體模型因為分析了USV的水動力受力，從根本上得到USV的運動機理，使USV的運動得到精確的預(yù)報。但是由于模型中含有眾多水動力導(dǎo)數(shù)，求解起來比較困難，難以普遍使用。相對來說響應(yīng)型模型用簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式反映了操縱舵角與艏向角的關(guān)系式，因此在預(yù)報USV操縱性上被廣泛使用。響應(yīng)型模型分為1階線性、1階非線性、2階線性和2階非線性模型。由于2階線性模型受小擾動限制，當(dāng)USV運動幅度較大時，線性響應(yīng)模型已經(jīng)不再適用，其運動模型中的非線性項值不能忽略，在高速USV操縱響應(yīng)模型中必須要加上非線性項，才能滿足其操縱響應(yīng)變化，由文獻(xiàn)[27]得高速USV 2階非線性操縱響應(yīng)方程為

(1)

式中：T1、T2、T3為時間常數(shù)(s)，表示應(yīng)舵性和航向穩(wěn)定性；r為艏向角速度；α為非線性項系數(shù)(s2/rad2)；K為舵角增益(s-1)；δ為舵角；δr表示壓舵角(rad)。

2 響應(yīng)模型參數(shù)辨識

2.1 ML算法

ML算法是Fisher等在1912年提出的一種辨識算法。它根據(jù)觀測輸出量的條件概率分布構(gòu)造以觀測數(shù)據(jù)和未知參數(shù)為自變量的似然函數(shù)，當(dāng)似然函數(shù)取最大值時，自變量的值即為模型參數(shù)的辨識值。ML算法是系統(tǒng)辨識中一種比較常用的辨識方法，具有簡單和高精度等優(yōu)點。對于一個形如(2)式的模型：

Yt=Htθ，

(2)

式中：Yt為輸出量矩陣，包含從開始到t時刻的所有輸出量；Ht為輸入量矩陣，包含從開始到t時刻的所有輸入量；θ為參數(shù)矩陣。定義似然函數(shù)為

L(Yt|θ)=f(y1|θ)f(y2|θ)…f(yt|θ)，

(3)

式中：f(yt|θ)表示t時刻的觀測值概率分布密度。似然函數(shù)就是從1到t時刻的所有觀測值概率分布密度的乘積。

為了方便求出似然函數(shù)的極大值，將其變換為

(4)

對參數(shù)θ求導(dǎo)，得

(5)

可推得參數(shù)θ的ML估計為

(6)

由此即可得到基于ML算法對形如(2)式模型的參數(shù)辨識結(jié)果。

2.2 數(shù)據(jù)采集

Z形實驗是一種常見的USV操縱運動，目前基于船舶操縱性的研究大部分以此展開。本文基于數(shù)學(xué)分析軟件MATLAB開展Z形半物理仿真操縱實驗，以獲取辨識所需實驗數(shù)據(jù)。選取文獻(xiàn)[28]中參數(shù)，如表1中所示。

表1 USV 2階非線性操縱響應(yīng)模型參數(shù)

基于上述響應(yīng)模型參數(shù)，應(yīng)用工程上常用的4階龍格- 庫塔法進(jìn)行計算，以MATLAB 2018a軟件為仿真計算平臺，進(jìn)行了20° Z形仿真操縱實驗。為擬合真實實驗，仿真采樣時間間隔取1 s，采樣時間為500 s，各項數(shù)據(jù)如圖1所示，圖中ψ為艏向角。

圖1 20° Z形實驗仿真數(shù)據(jù)

2.3 Z形實驗參數(shù)辨識

為了滿足基于ML算法辨識需求，需要構(gòu)造形如(2)式的辨識模型，因此需要將待辨識模型(1)式轉(zhuǎn)化為(2)式。由于(1)式為連續(xù)模型，需要使用差分法對其進(jìn)行離散處理，考慮到實際實驗中艏向角比其他參數(shù)容易測量獲取，將(1)式中各物理量使用前向差分法差分到艏向角，具體差分過程為

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：Δt為時間間隔。

將(7)式～(10)式代入(1)式中，令y(t)=ψ(t+1)-ψ(t)，得

(11)

將(11)式寫成矩陣形式，即可得到Y(jié)t=Htθ的辨識模型，矩陣的具體表達(dá)式為：

輸入矩陣

Ht=[(Δt)3δ(t) (Δt)3(Δt)2[δ(t+1)-δ(t)]

-Δt[y(t+1)-y(t)] -(Δt)2y(t) -y3(t)]；

(12)

參數(shù)矩陣

(13)

輸出矩陣

Yt=[y(t+2)-2y(t+1)+y(t)].

(14)

基于圖1中的仿真數(shù)據(jù)，可依次計算輸入矩陣和輸出矩陣的各值，然后根據(jù)ML算法的辨識結(jié)果(6)式可得到USV 2階非線性響應(yīng)模型的參數(shù)辨識結(jié)果。

為充分體現(xiàn)ML算法在辨識模型參數(shù)上的精確性，將ML算法與目前參數(shù)辨識中常用的EKF算法在20° Z形仿真實驗數(shù)據(jù)的情況下展開辨識，并對比其辨識結(jié)果，辨識結(jié)果如表2所示。

表2 20° Z形仿真辨識結(jié)果

由表2可以看出，ML算法在辨識高速USV操縱響應(yīng)模型參數(shù)時，T1、K、α、δr參數(shù)辨識精度均較EKF算法有所提高，但T2、T3參數(shù)辨識精度誤差很大，且同時向大于原始值的方向偏移，故認(rèn)為此辨識結(jié)果產(chǎn)生了參數(shù)漂移。

參數(shù)漂移現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是在設(shè)計辨識模型時，使用了前向差分法離散角速度和舵角變化率等物理量。由圖1可知，艏向角的變化曲線很光滑，用差分法處理時誤差很小，但是舵角的變化曲線卻不光滑，使用差分法處理時誤差很大，導(dǎo)致了T2、T3的漂移。鑒于目前的操縱運動中只有正弦實驗舵角變化曲線比較光滑，使用差分法處理時誤差較小，將采用正弦仿真數(shù)據(jù)開展辨識。

2.4 正弦實驗參數(shù)辨識

(15)

辨識數(shù)據(jù)的采集改用20°正弦仿真實驗，與Z形仿真實驗相同，采樣時間間隔取1 s，采樣時間取500 s.仿真數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 20°正弦實驗仿真數(shù)據(jù)

辨識過程與Z形實驗相同，與Z形實驗對比結(jié)果如表3所示。

表3 20°正弦和Z形實驗辨識結(jié)果對比

由表3可知：基于正弦仿真數(shù)據(jù)下辨識，在其他參數(shù)辨識精度變化不大的情況下，T2、T3整體參數(shù)辨識精度有較大改善；改善后T2辨識結(jié)果小于真實值，T3辨識結(jié)果大于真實值，說明了此方法對改善響應(yīng)模型辨識中參數(shù)漂移的有效性。同時也通過此方法使辨識結(jié)果精度得到進(jìn)一步的提升，從而最大程度提高USV的操縱性預(yù)報精度。

3 仿真實驗

為了將USV 2階非線性響應(yīng)模型參數(shù)辨識結(jié)果與具體的USV操縱運動預(yù)報相對應(yīng)，本文基于表2的ML算法與EKF算法的辨識結(jié)果開展了5°、10°、20°和30°正弦和Z形半物理仿真操縱實驗，以分析本文所提ML算法和EKF算法，基于Z形仿真數(shù)據(jù)下的辨識參數(shù)結(jié)果，在USV操縱性預(yù)報上的預(yù)報精度。

因為在USV運動時，容易觀測艏向角，所以只繪制了艏向角的變化曲線，為符合實際情況，均將艏向角值限制在[0 rad,2π rad]范圍內(nèi)，實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 操縱運動仿真實驗驗證圖

由圖3可以看出，與EKF算法辨識結(jié)果對操縱性實驗的預(yù)報相比，基于ML算法的辨識結(jié)果顯然與真實操縱運動艏向角的變化更加擬合，且在不同角度與不同類型實驗下都非常接近真實值，證明了ML算法的辨識結(jié)果精度優(yōu)于EKF算法，且算法具有很高的泛化性。圖3(e)與其他Z形實驗艏向角變化形狀不同的原因在于EKF算法辨識的δr值較大，5°的Z形實驗不能使舵角左右偏移，舵角一直在一邊，所以呈現(xiàn)的艏向角變化是一直增大的。

但是ML算法基于Z形數(shù)據(jù)的辨識結(jié)果在T2、T3參數(shù)處仍有較大誤差，由表3的辨識數(shù)據(jù)可知，ML算法基于正弦實驗數(shù)據(jù)辨識能提高T2、T3參數(shù)辨識精度，消除因參數(shù)漂移所帶來的誤差。為將辨識精度反映到操縱預(yù)報上，將基于表3正弦辨識和Z形辨識結(jié)果開展操縱運動驗證。由圖3可知，基于ML算法的Z形辨識結(jié)果在正弦和Z形操縱仿真實驗中非常接近真實值，因此在這兩種操縱運動中，基于正弦辨識結(jié)果的預(yù)報相對于Z形辨識的提升并不明顯?？紤]用回轉(zhuǎn)運動去驗證基于正弦實驗辨識對操縱性的提升，將基于兩種實驗仿真數(shù)據(jù)辨識結(jié)果開展5°、10°、20°和30°回轉(zhuǎn)運動，對比結(jié)果如圖4所示。

圖4 回轉(zhuǎn)仿真實驗驗證圖

從圖4可以看出，在ML算法對USV 2階非線性響應(yīng)模型參數(shù)辨識過程中，基于正弦仿真實驗數(shù)據(jù)辨識的結(jié)果對回轉(zhuǎn)運動的預(yù)報與真實變化非常擬合，且精度明顯高于Z形實驗的，同樣也驗證了基于正弦實驗數(shù)據(jù)辨識結(jié)果也具有極強的泛化能力。由此可以證明，基于正弦實驗數(shù)據(jù)辨識結(jié)果消除了參數(shù)漂移現(xiàn)象，對參數(shù)T2、T3的辨識精度有很大提升，同時提高了USV的整體辨識精度。綜上所述，基于正弦實驗數(shù)據(jù)辨識能有效消除基于Z形實驗數(shù)據(jù)辨識中的參數(shù)漂移現(xiàn)象，提高了USV的模型參數(shù)整體辨識精度，從而提高USV在各種復(fù)雜操縱運動中的預(yù)報精確度。

4 結(jié)論

針對高速USV操縱性預(yù)報困難與精度不高等問題，本文提出了一種用于獲取高速USV 2階非線性響應(yīng)模型參數(shù)的ML辨識方法，并基于辨識結(jié)果預(yù)報了高速USV的操縱運動。本文從ML算法的辨識模型設(shè)計、辨識過程、辨識結(jié)果分析、辨識結(jié)果對比4個方面展開了研究，并進(jìn)行了泛化性仿真操縱性實驗驗證。主要得到以下結(jié)論：

1)基于USV 2階非線性響應(yīng)模型設(shè)計了ML辨識算法模型，通過仿真采集了Z形實驗數(shù)據(jù)，以此初步辨識了模型參數(shù)，并與EKF算法辨識結(jié)果進(jìn)行了對比，驗證了ML辨識算法是一種精度極高的算法。

2)通過研究發(fā)現(xiàn)，ML算法在辨識USV 2階非線性響應(yīng)模型參數(shù)時，由于使用前向差分法處理舵角變化率會導(dǎo)致T2、T3參數(shù)在辨識過程中的漂移現(xiàn)象，提出采用舵角光順變化的正弦實驗進(jìn)行辨識，且辨識結(jié)果能有效地消除參數(shù)漂移現(xiàn)象。

3)為驗證辨識精度對于操縱性預(yù)報的影響，進(jìn)行了5°、10°、20°及30° Z形、正弦和回轉(zhuǎn)操縱運動仿真實驗。實驗結(jié)果表明：ML算法具有很強的泛化性，無論操縱運動種類和角度的變化，其辨識結(jié)果都能有效地預(yù)報USV的操縱性。