還原法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用探究

牛德福

摘 要：還原法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一種方法，對(duì)幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的作用。運(yùn)用還原法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要針對(duì)不同類型的問題使用不同的方法：?jiǎn)蝹€(gè)對(duì)象——循序漸進(jìn)，多個(gè)對(duì)象——明確關(guān)系，對(duì)象有定有變——確定核心，再次還原——驗(yàn)證答案。

關(guān)鍵詞：還原法;數(shù)學(xué)教學(xué);應(yīng)用;教學(xué)效果;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2020）02-0038-02

根據(jù)新課標(biāo)要求，數(shù)學(xué)教師要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生從多個(gè)角度分析問題，在解決問題的過程中提高學(xué)生的邏輯思維能力和發(fā)散思維能力，最終達(dá)到提高學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求。所以，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中可以運(yùn)用還原法來實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解決問題的方法多種多樣，一般來說都是“前推后”，即通過已知條件向后推算出結(jié)果。而很多問題的解答，需要學(xué)生從最后的結(jié)果出發(fā)，利用互逆的關(guān)系，從后向前推算出結(jié)果，從而解決問題，這就是還原法，也叫逆推法。還原法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一種方法，對(duì)幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的作用。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)還原法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探究。

一、單個(gè)對(duì)象——循序漸進(jìn)

所謂單個(gè)對(duì)象是指在數(shù)學(xué)問題中，題目的題干中只有一個(gè)主語，這個(gè)主語本身及其數(shù)量經(jīng)過一些相應(yīng)的變化后，最后求的仍然是主語的總量，如比較常見的“批發(fā)一些圖書”和“購買一些文具、水果”等。在這樣的問題中，主語都是一個(gè)，也就是說，只需要對(duì)這個(gè)單個(gè)對(duì)象進(jìn)行問題的分析和計(jì)算。比如，有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“一個(gè)書店的老板采購了一批圖書。第一次，老板將圖書的一半賣給客戶;第二次，老板把剩下圖書的一半和另外20本賣給客戶;第三次，老板把剩余的圖書的一半少了5本賣給顧客。最后，書店一共剩30本書。求這批圖書采購進(jìn)來的時(shí)候一共有多少本？”解決這個(gè)問題時(shí)，教師首先要讓學(xué)生分析題干。學(xué)生通過分析題干發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題中只有一個(gè)主語，就是圖書，而且不管圖書的量如何變化，最終要求的仍然是圖書的總量。所以，為了解決這個(gè)問題，教師可以先讓學(xué)生循序漸進(jìn)地了解賣圖書的整個(gè)流程。教師引導(dǎo)學(xué)生分析整個(gè)流程時(shí)，可以讓學(xué)生畫出圖書數(shù)量具體變化的流程圖：總的書的量除以2→余下的書的量除以2→減去另外的20本→剩下的書的量除以2→加上少給的5本→書店剩余書的數(shù)目是30本。然后，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)此流程圖，根據(jù)已知結(jié)果和變化量進(jìn)行逆向倒退，從而求解。教師引導(dǎo)學(xué)生畫出流程圖之后，要讓學(xué)生使用還原法對(duì)流程圖進(jìn)行倒推，即從最后的結(jié)果出發(fā)往前倒推。一般來說，就是加法變減法或減法變加法，乘法變除法或除法變乘法，一步步地進(jìn)行推算，最終得到答案。另外，在解決問題的過程中，教師要告訴學(xué)生注意題目中出現(xiàn)的混合運(yùn)算，在必要時(shí)可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，以避免出現(xiàn)運(yùn)算順序上的失誤。

二、多個(gè)對(duì)象——明確關(guān)系

題目中有多個(gè)主語而且數(shù)量均發(fā)生變化的題目稱為多個(gè)對(duì)象問題。解決這類問題時(shí)，需要明確每個(gè)對(duì)象和相應(yīng)的變化數(shù)，并確定這些對(duì)象之間的關(guān)系。比如，有這樣一道題目：“豬大和豬二各有一些白菜，豬大把它的一半白菜給了豬二，結(jié)果豬大有10棵白菜，豬二有30棵白菜。那么，豬大和豬二最開始分別有多少棵白菜呢？”在這個(gè)問題中，題目中的主語包含豬大和豬二，而且豬大和豬二的白菜數(shù)量均發(fā)生了變化，需要解答的問題是兩人各自的白菜總量。要想解決這個(gè)問題，應(yīng)該考慮對(duì)兩個(gè)對(duì)象分別進(jìn)行倒推：豬大的白菜減少一半后是10棵，也就是：豬大的白菜÷2=10（棵），而豬二的白菜+豬大的白菜的一半=30（棵）。根據(jù)此列式，可以算出豬大之前的白菜是20棵，可是豬二的白菜數(shù)量沒法通過倒推的方式算出來，但豬大和豬二的白菜的總數(shù)沒有變，所以可以用40減去20，算出豬二之前有20棵白菜。

三、對(duì)象有定有變——確定核心

當(dāng)題目中的多個(gè)對(duì)象既有定量又有變量時(shí)，教師要帶領(lǐng)學(xué)生多次推敲，找出定量與變量之間的關(guān)系，發(fā)掘題干中所隱藏的信息，避免無關(guān)信息的干擾，確定核心對(duì)象，使問題解決的思路有跡可循。所以，解決這類問題時(shí)，教師務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題干，吃透題目中的已知條件，發(fā)掘隱藏信息，選擇合適的解題方法。比如，有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“超市昨天采購了一箱蘋果，蘋果和箱子共重102千克，今天上午賣出一半蘋果，今天下午又賣出剩下蘋果的一半，最后蘋果和箱子的總量是27千克，請(qǐng)求出這箱蘋果最初的重量及箱子的重量?！苯獯疬@個(gè)問題時(shí)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析題干：蘋果是主語，但最終的主語其實(shí)是蘋果的重量及箱子的重量的總和。其中，蘋果的重量屬于變量，箱子的重量屬于定量。然后，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生選取第一未知量——一箱蘋果，并分析這箱蘋果的重量的變化，先求這箱蘋果的重量。具體求解過程：已知蘋果和箱子共重102千克，賣出后，剩下的蘋果和箱子總共有27千克。由于箱子重量不變，所以重量的變化是蘋果引起的，也就是說蘋果被賣掉了75千克。同時(shí)，根據(jù)題意可知，75千克是蘋果總量的3/4，通過這個(gè)比例可以算出蘋果最初有100千克。那么根據(jù)已知條件，箱子的重量則是用102減去100，即2千克。

四、再次還原——驗(yàn)證答案

當(dāng)未知對(duì)象求解完畢后，由于對(duì)象符合題目的已知變化的關(guān)系，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生再次利用還原法對(duì)所求答案進(jìn)行驗(yàn)證。比如，有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“新華書店購進(jìn)一批圖書，第一季度賣給顧客的量比總量的1/2少15本，第二季度賣給顧客的量比第一季度余下的總量的1/2多10本，目前還剩30本，請(qǐng)求出新華書店購進(jìn)這批圖書的總量。”在這一問題中，圖書是主語，圖書總量是未知量，根據(jù)關(guān)系可得[（30+10）×2-15]×2=130。在獲得這一答案之后，教師應(yīng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)，即采用還原法進(jìn)行倒推。這種逆向思維屬于發(fā)散思維的一種，能夠提高學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。運(yùn)用這樣的逆向思維對(duì)答案進(jìn)行檢驗(yàn)，既可以確保答案的準(zhǔn)確性，還可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

五、結(jié)束語

總而言之，在新課改背景下以及人才發(fā)展需求下，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)教給學(xué)生一些具體解決問題的方法，應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。尤其現(xiàn)在很多數(shù)學(xué)問題都存在一定的難度，如果從正面入手解決會(huì)比較困難，不妨轉(zhuǎn)換思考角度，找到新的思路和方法，開拓新的知識(shí)領(lǐng)域，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師可以積極采用還原法，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生真實(shí)感受解決問題的過程。采用還原法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，因?yàn)轭}目中往往包含不斷改變的主語，而且主語的數(shù)量也會(huì)發(fā)生變化，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)其進(jìn)行分類，還可以適當(dāng)?shù)禺媹D，起到輔助解答的作用，從而提高解題效率。作為數(shù)學(xué)教師，要對(duì)每一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行透徹的分析和研究，不斷提高自己的教學(xué)水平。只有這樣，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得很好的體驗(yàn)，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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Exploration of the Application of Reduction Method in ?Mathematical Problem-solving Teaching

Niu Defu

（Yigangchuan Primary School， Tongwei County， Dingxi， Gansu Province， Tongwei 743322， China）

Abstract： Reduction method is a very important method in mathematics learning， which plays a very important role in helping students master mathematics thought and improving their mathematics accomplishment. When using reduction method to solve mathematical problems， different methods should be used for different types of problems as follows： single object——step by step， multiple objects——define the relationship， object defined and changed——determine the core， reduction again —— verify the answer.

Key words： reduction method; mathematics teaching; application; teaching effect; competence in mathematics