防錯糾錯嚴(yán)謹(jǐn)作答為高考增分

復(fù)習(xí)至今，距高考還有不足兩個月的時間，同學(xué)們的解題能力和水平已逐步定型，如何利用好最后這段時間讓我們在高考中多得分呢？安排專門的時間進(jìn)行解題的規(guī)范性訓(xùn)練是條有效的途徑。事實上，每次考試包括每年的高考，都會有不少同學(xué)因為各種各樣的解題不規(guī)范或是失誤，造成大量非智力因素引起的失分。而這樣的失分，我們在平時的解題中如果多加留心，及時加以糾正，有很多失分都是可以避免的。本文結(jié)合直線與圓這一內(nèi)容，對一些常見的易錯點、致錯因素加以分析，希望同學(xué)們以此為例，在復(fù)習(xí)其他章節(jié)時能類似的針對自身實際將一些失分原因及時加以歸納總結(jié),從而理順解題邏輯，強化答題規(guī)范,避免在高考中出現(xiàn)“會而不對”、“對而不全”等現(xiàn)象。

【例1】已知圓C:x2+(y－2)2=4,過點P（2，5）作直線l.

(1) 若直線l與圓C:x2+(y－2)2=4相切，求直線l的方程；

(2) 若直線l與圓C:x2+(y－2)2=4相交于A,B兩點，且AB≤23，求直線l斜率的取值范圍.

錯解（1） 設(shè)直線l的方程為：

y－5=k(x－2)，即kx－y－2k+5=0.

由題意，圓心C(0,2)到直線l的距離為

d=|－2－2k+5|k2+1=2,

∴k=512,

∴直線l的方程為:5x－12y+50=0.

(2) ∵AB=2r2－d2=24－d2≤23,

∴d≥1，即|－2－2k+5|k2+1≥1,

∴3k2－12k+8≥0,

∴k≤6－233或k≥6+233.

錯因分析這位同學(xué)在(1)中設(shè)直線方程時沒有注意考慮斜率是否存在，而設(shè)出了點斜式方程就默認(rèn)了直線的斜率是存在的，從而忽視了直線與x軸垂直的情形，導(dǎo)致漏解。發(fā)生這種錯誤的根源在于對直線方程的五種基本形式的局限性的理解還不是很深刻；(2)中的錯誤主要是忽視了“直線l與圓C:x2+(y－2)2=4相交于A,B兩點”這一隱含條件對結(jié)果的影響。

正確解法（1） 10若直線l⊥x軸,則其方程為:x=2,易知符合題意;

20若直線l不與x軸垂直,設(shè)直線l的方程為：y－5=k(x－2)，即kx－y－2k+5=0.

由題意，圓心C(0,2)到直線l的距離為

d=|－2－2k+5|k2+1=2,

∴k=512，

∴直線l的方程為:

5x－12y+50=0.

綜上，所求直線l的方程為:

x=2或5x－12y+50=0.

(2) ∵AB=2r2－d2=24－d2≤23,

∴d≥1.

又直線l與圓C:x2+(y－2)2=4相交，∴d<2,

∴1≤d<2，即1≤|－2－2k+5|k2+1<2,

∴3k2－12k+8≥0且k>512,

∴512

防錯機制本題中的錯誤可以從這兩個方面去加以防范：（1） 鞏固基礎(chǔ)知識，強化對易錯題型的印象，并找到錯誤的根源；（2） 對于解析幾何題要養(yǎng)成作圖、用圖的習(xí)慣。如（1）中由圓外一點向圓引切線，必有兩條，而（2）中由圖形也很容易發(fā)現(xiàn)直線的斜率為負(fù)時也是明顯不適合的。

【例2】如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，其右準(zhǔn)線l與x軸的交點為T，過橢圓的上頂點A作橢圓的右準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，四邊形AF1F2D為平行四邊形.

(1) 求橢圓的離心率；

(2) 設(shè)線段F2D與橢圓交于點M，是否存在實數(shù)λ，使TA=λTM?若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由；

(3) 若B是直線l上一動點，且△AF2B外接圓面積的最小值是4π，求橢圓的方程.

錯解（1） e=22(解法略).

（2） λ=3(解法略).

（3） 由（1）知b=c，故可設(shè)A(0,c)，F(xiàn)2(c,0)，B(2c,t)，

由題意，要使△AF2B外接圓的面積最小，則圓與右準(zhǔn)線l相切，

∴B為切點,∴t=c.

∴圓心為AD的中點(c,c)，半徑r=c.

∴(πr2)min=c2π=4π，則c2=4，故橢圓的方程為x28+y24=1．

錯因分析這是典型的解題不夠嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致的錯誤，這種錯誤普遍存在于我們同學(xué)的解題過程中。本題中由于點A、F2和準(zhǔn)線l都是隨著基本量a,b的變化而變化的，故不能直接認(rèn)為圓與右準(zhǔn)線l相切時△AF2B外接圓的面積最小，而要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f理與推演過程,通過建立半徑的目標(biāo)函數(shù)式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。

正確解法（1） e=22(解法略).

（2） λ=3(解法略).

（3） 解法一：由題可知圓心N在直線y=x上，設(shè)圓心N的坐標(biāo)為(n,n)，

因圓過準(zhǔn)線上一點B，則圓與準(zhǔn)線有公共點，

設(shè)圓心N到準(zhǔn)線的距離為d，則NF2≥d，

即(n－c)2+n2≥|n－2c|，

解得：n≤－3c或n≥c，又r2=(n－c)2+n2=2n－c22+c22∈［c2,+∞).

由題可知，(πr2)min=c2π=4π，則c2=4，故橢圓的方程為x28+y24=1．

解法二：設(shè)A(0,c)，F(xiàn)2(c,0)，B(2c,t)，

設(shè)△AF2B外接圓的方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則c2+cD+F=0,

c2+cE+F=0,

4c2+t2+2cD+tE+F=0，

解得D=E=－3c2+t2c+t.

所以圓心－D2,－E2，即3c2+t22(c+t),3c2+t22(c+t),

則r2=3c2+t22(c+t)－c2+3c2+t22(c+t)2.

令m=3c2+t22(c+t)=2c2c+t+c+t2－c∈(－∞,－3c］∪［c,+∞)，

r2=(n－c)2+n2=2n－c22+c22∈［c2,+∞).

由題可知，πr2min=c2π=4π，則c2=4，故橢圓的方程為x28+y24=1．

解法三：設(shè)A(0,c)，F(xiàn)2(c,0)，B(2c,t)，

設(shè)△AF2B外接圓的方程是：

x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則c2+cD+F=0,

c2+cE+F=0,

4c2+t2+2cD+tE+F=0,

解得D=E=－c－Fc，

∴r2=14(D2+E2－4F)=12c2+F22c2.

由4c2+t2+2cD+tE+F=0,

得4c2+t2+(2c+t)－c－Fc+F=0.

∴4c2+t2－2c2－ct－2F－tFc+F=0,

∴2c2－ct+t2－(t+c)Fc=0,

∴F=c(t+c)+4c2t+c－3c,

∴F≥c2或F≤－7c2,

∴r2=12c2+F2c2≥c2,∴c2=4,

∴所求橢圓方程是x28+y24=1．

防錯機制在解答題的答題過程中要寫出必要的推理過程和文字?jǐn)⑹?，避免出現(xiàn)一些“想當(dāng)然”的不嚴(yán)謹(jǐn)做法。當(dāng)然要使你在考試時解題更有邏輯、思維更嚴(yán)謹(jǐn)，這都離不開平時的解題積累，在做完一道題后多進(jìn)行解題反思，及時的總結(jié)解題規(guī)律，提煉數(shù)學(xué)思想，定會使你的解題過程更有序、更完美。

牛刀小試

1. 直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點，若MN≥23，則k的取值范圍是.

2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1、A2，上、下頂點分別為B1、B2．設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為13，圓C與以線段OA2為直徑的圓關(guān)于直線A1B1對稱．

（1） 求橢圓E的離心率；

（2） 判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；

（3） 若圓C的面積為π，求圓C的方程．

【參考答案】

1. －34≤k≤0.

2. （1） 設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），

因為直線A1B1的傾斜角的正弦值為13，

所以ba2+b2=13，

于是a2=8b2，即a2=8(a2－c2)，

所以橢圓E的離心率e=c2a2=78=144.

（2） 由e=144可設(shè)a=4k(k>0)，c=14k，則b=2k，

于是A1B1的方程為：x－22y+4k=0，

故OA2的中點(2k,0)到A1B1的距離

d=|2k+4k|3=2k，

又以O(shè)A2為直徑的圓的半徑r=2k，即有d=r，所以直線A1B1與圓C相切．

（3） 由圓C的面積為π知圓的半徑為1，從而k=12，

設(shè)OA2的中點(1,0)關(guān)于直線A1B1：x－22y+2=0的對稱點為(m,n)，

則nm－1?24=－1,

m+12－22?n2+2=0．

解得m=13，n=423．

所以圓C的方程為x－132+y－4232=1．

(作者:陸王華,江蘇省西亭高級中學(xué))