直線與圓專題強(qiáng)化

陳勇軍

直線與圓是高考的熱點(diǎn)，也是高考的難點(diǎn)，對這塊內(nèi)容復(fù)習(xí)切不可只是下苦功夫，要多動腦筋、勤施小計，才能使問題得以迎刃而解。本文就直線與圓的問題舉數(shù)例說明。

【例1】如圖1，一根棒AB長為2米，斜靠在墻壁AC上，∠ABC=60°，如果棒的兩端A,B分別沿AC、CB方向滑動到A′B′，且AA′=(3－2)米，問棒的中點(diǎn)D運(yùn)動的路程是米.

分析目標(biāo)需要求棒的中點(diǎn)D運(yùn)動的路程，就必須知道點(diǎn)D的運(yùn)動變化軌跡；在棒運(yùn)動過程中，點(diǎn)A、B、D的位置發(fā)生變化，哪些量沒有發(fā)生改變呢？——線段AB的長度及∠C=π2是定值，進(jìn)一步可知，△ABC始終是直角三角形，同時DC=12AB=1，從而點(diǎn)D的運(yùn)動變化軌跡是單位圓的一部分。

解如圖2，點(diǎn)D,D′分別是線段AB,A′B′的中點(diǎn)，點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是單位圓的一部分弧DD′，∠DCB=∠DBC=π3，因?yàn)锳A′=(3－2)，所以A′C=AC－AA′=3－(3－2)=2，又A′B′=2，從而△A′CB′是等腰直角三角形，所以∠D′CB′=π4，進(jìn)而∠DCD′=π3－π4=π12，所以弧DD′的長度為π12×1=π12米.

點(diǎn)撥探求動點(diǎn)軌跡問題時，需要理清“動”與“定”，從“動”“定”中需求解題方法。

總結(jié)：（1） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這一結(jié)論是處理圓軌跡問題的常用方法。

（2） 圓弧l=Rθ（R為半徑，θ為圓弧所對的圓心角）。

【例2】點(diǎn)P(1,0)在直線l:ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)M，其中a,b,c是滿足2b=c－a的任意三個實(shí)數(shù)，定點(diǎn)N(－3,2)，則|MN|的取值范圍是.

分析（1） 直線l有沒有什么性質(zhì)呢？其中系數(shù)滿足2b=c－a。消去b，直線l可化為ax－12y+c12y+1=0，令x－12y=0,12y+1=0，得x=－1,y=－2，從而直線l過定點(diǎn)Q(－1,－2)。

（2） 射影點(diǎn)M在哪里？始終保持∠PMQ=π2，且PQ=22，從而點(diǎn)M在以線段PQ為直徑的圓上，問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上動點(diǎn)M的距離的最值問題。

解如圖3，根據(jù)分析可得|NA－AM|≤|MN|≤|NA+AM|，從而22≤|MN|≤42，即|MN|的取值范圍是［22,42］.

點(diǎn)撥注意隱含條件直線過定點(diǎn)。

總結(jié)：（1） 直線m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n∈R,A1B2≠A2B1)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為方程A1x+B1y+C1=0,

A2x+B2y+C2=0的解。

（2） 直徑所對圓周角為直角。

【例3】過圓C:(x－6)2+(y－4)2=8上一點(diǎn)A(4，6)作圓的一條動弦AB，點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn).

（1） 求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2） 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D(9，0)的對稱點(diǎn)為E，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段OP繞原點(diǎn)O依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，所得線段為OF，求|EF|的取值范圍.

分析易知，第一問P的軌跡方程是(x－5)2+(y－5)2=2(x≠4且y≠6)，第二問關(guān)鍵是點(diǎn)E、F的變化是根據(jù)點(diǎn)P的變化而變化，從而設(shè)點(diǎn)P(x,y)，接下來的任務(wù)是求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。

解（1） 連接PC，由垂徑分弦定理知，PC⊥AB，所以點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除去點(diǎn)A).

因?yàn)辄c(diǎn)A(4，6)，C(6，4)，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為(5，5)，又圓半徑r=|AC|2=2.

故點(diǎn)P的軌跡方程是(x－5)2+(y－5)2=2(x≠4且y≠6).

（2） 如圖4，因?yàn)辄c(diǎn)P、E關(guān)于點(diǎn)D(9，0)對稱，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)E(18－x,－y).

設(shè)點(diǎn)F(x1,y1)，因?yàn)榫€段OF由OP繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，

則OF⊥OP，且|OF|＝|OP|，即

yx?y1x1=－1，且x2+y2=x21+y21.

由yx?y1x1=－1，得yx=－x1y1.令y=－tx1,x=ty1(t>0)，

則t2(x21+y21)=x21+y21(t>0)，所以t＝1.

因此點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－y,x).

所以|EF|=(18－x+y)2+(－y－x)2=2?(x－9)2+(y+9)2.

設(shè)點(diǎn)M(9，－9)，則|EF|=2|PM|.

因?yàn)辄c(diǎn)P為圓(x－5)2+(y－5)2=2上的點(diǎn)，設(shè)圓心為N(5，5)，則

|PM|min=|MN|－2

=(9－5)2+(－9－5)2－2

=253－2，

|PM|max=|MN|+2=253+2.

故|EF|的取值范圍是［2106－2,2106+2］.

點(diǎn)撥向量性質(zhì)：（1） 若向a=(x,y)，則與它共線且長度相等的向量b=(x,y)或b=(－x,－y)；（2） 若向a=(x,y)，則與它垂直且長度相等的向量b=(－y,x)或b=(y,－x)，從而點(diǎn)F的坐標(biāo)可以根據(jù)向量性質(zhì)直接得到OF=(－y,x)，即F(－y,x)。

總結(jié)：（1） 點(diǎn)A(x,y)關(guān)于點(diǎn)M(m,n)對稱點(diǎn)為A′(2m－x,2n－y)。

（2） 點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線x=m對稱點(diǎn)為A′(2m－x,y)；點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線y=n對稱點(diǎn)為A′(x,2n－y)。

(3) 點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線y=x+b對稱點(diǎn)為A′(y－b,x+b)；點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線y=－x+b對稱點(diǎn)為A′(b－y,b－x)。

(4) 點(diǎn)A(x,y)繞原點(diǎn)O依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得A′(－y,x)；點(diǎn)A(x,y)繞原點(diǎn)O依順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得A′(y,－x)。

【例4】如圖5，已知圓O：x2+y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動時，C點(diǎn)的軌跡為E．

（1） 求軌跡E的方程；

（2） 過軌跡E上一定點(diǎn)P(x0,y0)作相互垂直的兩條直線l1,l2，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設(shè)l1被圓O截得的弦長為a，設(shè)l2被軌跡E截得的弦長為b，求a+b的最大值．

分析條件l1⊥l2如何應(yīng)用成為解題的關(guān)鍵！

解（1） 連接OB，OA，因?yàn)镺A=OB=1，AB=2，所以O(shè)A2+OB2=AB2，

所以∠OBA=π4，所以∠OBC=3π4，

在△OBC中，OC2=OB2+BC2－2OB?BC=5，

所以軌跡E是以O(shè)為圓心，5為半徑的圓，

即軌跡E的方程為x2+y2=5.

（2） 設(shè)點(diǎn)O到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，

因?yàn)閘1⊥l2，

所以d21+d22=OP2=x20+y20=5，

則a+b=21-d21+25-d22，則

(a+b)2=4［6-(d12+d22)+2(1-d21)(5-d22)］

≤46-(d21+d22)+2?6-d21-d222

=4［12-2(d21+d22)］=4(12－10)

=8，

當(dāng)且僅當(dāng)d21+d22=5,

1-d21=5-d22,

即d22=92,

d21=12,時取“=”，

所以a+b的最大值為22.

點(diǎn)撥關(guān)注圖形中隱含的幾何條件d21+d22=OP2=5。

總結(jié)：考察直線與圓位置關(guān)系時，通?？紤]圓心到直線的距離。

牛刀小試

1. 如圖,在長方形ABCD中，AB=3,BC=1，E為線段DC上一動點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起,使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動到C，則K所形成軌跡的長度為.

2. 當(dāng)θ取遍所有值時，直線x?cosθ+y?sinθ=4+2sinθ+π4所圍成的圖形面積為.

3. 已知圓O：x2+y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值．

【參考答案】

1. 點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，則D1K⊥平面ABC，從而D1K⊥AE，在翻折過程中，∠AKD始終保持直角，從而點(diǎn)K的軌跡在以AD為直徑的圓上，如圖.點(diǎn)K在矩形的內(nèi)部及線段AC的上方，從而點(diǎn)K的軌跡為弧DKF，設(shè)線段AD的中點(diǎn)為O，則∠DOF=2∠DAF=2∠DAC=2π3，又半徑R=12，所以弧DKF的長度為π3.

2. 如圖，點(diǎn)(1,1)到直線的距離為d=4，直線始終與定圓(x－1)2+(y－1)2=16相切,從而動直線所圍成的圖形為圓，其面積為16π.

3. 設(shè)正方形邊長為a，∠OBA=θ，則cosθ=a2，θ∈0,π2．

當(dāng)A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在△OBC中，

a2+1－2acosπ2+θ=OC2，

即OC=(2cosθ)2+1+2?2cosθ?sinθ

=4cos2θ+1+2sin2θ

=2cos2θ+2sin2θ+3

=22sin2θ+π4+3，

(下轉(zhuǎn)第55頁)