圓錐曲線專題強化

張婧

某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時間共60個月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤函數(shù)f（x）=1,1≤x≤20(x∈N*),

110x,21≤x≤60(x∈N*)（單位：萬元）．為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤再投入到次月的經(jīng)營中．記第x個月的利潤率為g(x)=第x個月的利潤第x個月的資金總和，例如g（3）=f（3）81+f（1）+f（2）．

（1） 求g（10）；

（2） 求第x個月的當(dāng)月利潤率；

（3） 求該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪一個月的當(dāng)月利潤率最大，并求出該月的當(dāng)月利潤率．18． （本小題滿分16分）

如圖，A,B是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右頂點，M是橢圓上異于A,B的任意一點，若橢圓C的離心率為12，且右準線l的方程為x=4．

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交直線MB于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求出R點的坐標(biāo)．

綜合測試(二)第3頁19． （本小題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=t(Sn－an+1)（t為常數(shù)，且t≠0,t≠1）．

（1） 求{an}的通項公式；

（2） 設(shè)bn=a2n+Sn?an，若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求t的值；

（3） 在滿足條件（2）的情形下，設(shè)cn=4an+1，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若不等式12k4+n－Tn≥2n－7對任意的n∈N*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

20． （本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=－x3+x2+b，g（x）=alnx．

（1） 若f（x）在x∈－12,1上的最大值為38，求實數(shù)b的值；

（2） 若存在x∈［1,e］，使得g（x）≤－x2+(a+2)x成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3） 在（1）的條件下，設(shè)F（x）=f（x）,x<1，

g（x）,x≥1,對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P,Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．綜合測試(二)第4頁通性通法Tong Xing Tong Fa通性通法Tong Xing Tong Fa

以圓錐曲線的定義、方程、基本量為命題的基本元素，在與圓錐曲線自身多知識點的綜合、或與向量、導(dǎo)數(shù)、立體幾何、函數(shù)、三角、不等式等內(nèi)容的交會處設(shè)置的有關(guān)求參數(shù)范圍、最值、過定點、求面積或存在性問題成為數(shù)學(xué)高考命題的主流。常見的有以下三種考查類型：

一、 圓錐曲線的基本量的計算

圓錐曲線基本量的計算是高考填空題必考題型，重點是求離心率問題。

【例1】設(shè)F是雙曲線x2a2－y2b2=1的右焦點，雙曲線的兩漸近線分別為l1、l2，過F作直線l1的垂線，分別交l1、l2于A,B兩點.若OA,AB,OB成等差數(shù)列，且向量BF與FA同向，則雙曲線的離心率e=.

分析本題綜合了向量與數(shù)列知識，關(guān)鍵是尋求a,c的等量關(guān)系，直接解A,B坐標(biāo)求解顯然運算量太大。若能抓住直角三角形三邊成等差數(shù)列，再結(jié)合圖形特征∠AOB=2∠AOF就解決問題了。

解由題意得：l1:bx－ay=0,

∴FA=bca2+b2=b.

設(shè)OA=m,AB=m+d,OB=m+2d，

在Rt△OAB中(m+2d)2=m2+(m+d)2，則m=3d.即OA=3d,AB=4d,OB=5d.

設(shè)∠AOF=α,則∠AOB=2α,

∴tan2α=ABOA=4d3d=43,

又tan2α=2tanα1－tan2α,∴tanα=12=ba.

∴a=2b,∴e=52.

點撥若能結(jié)合圖形特征利用等積法可使問題更簡化?！逽△AOB=S△AOF+S△BOF,即12AB?a=12OA?b+12OB?b=12(OA+OB)?b=AB?b，∴a=2b,∴e=52。

二、 最值問題

最值問題常采用設(shè)好自變量，建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值的方法。涉及最值問題，解決此類問題一般利用三角函數(shù)有界性、函數(shù)單調(diào)性及基本不等式等知識求解，有時也利用圖形幾何意義求解。

【例2】如圖，已知A是拋物線y2=2x上的動點，過A作圓(x－1)2+y2=1的兩條切線分別切圓于E、F兩點，交y軸于B、C兩點.

（1） 當(dāng)A點坐標(biāo)為（8,4）時，求直線EF的方程；

（2） 當(dāng)A點的橫坐標(biāo)大于2時，求△ABC面積的最小值.

分析問題(1)可利用圓的切線方程給出直線AE，AF的方程后，從這兩個式子的結(jié)構(gòu)的共同性，得到“(x1,y1)，(x2,y2)是方程7(x－1)+4y=1的解”，從而使問題迎刃而解；

問題(2)的關(guān)鍵是利用直線和圓相切的條件得出“|k1(1-a)+b|1+k21=1和k2(1-a)+b1+k22=1”，通過對式子整理，再從式子結(jié)構(gòu)的共同性，構(gòu)建一元二次方程，問題就很容易解決了。

解（1） 設(shè)切點E,F的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則切線AE的方程為：(x1－1)(x－1)+y1y=1，切線AF的方程為：(x2－1)(x－1)+y2y=1.

因為點A的坐標(biāo)為(8,4)，所以7(x1－1)+4y1=1,7(x2－1)+4y2=1.

由此可知，(x1,y1)，(x2,y2)是方程7(x－1)+4y=1的解，

所以過點E,F的直線方程為7(x－1)+4y=1，即7x+4y－8=0.

（2） 設(shè)A點坐標(biāo)為（a,b),則b2=2a.設(shè)切線AE,AF的方程分別為y－b=k1(x－a)，y－b=k2(x－a)，即k1x－y+b－k1a=0，k2x－y+b－k2a=0.

由題意得|k1(1-a)+b|1+k21=1，

整理得(a2-2a)k21+2b(1-a)k1+b2-1=0.

同理得(a2-2a)k22+2b(1-a)k2+b2-1=0.

由此可知，k1和k2是方程(a2－2a)k2+2b(1－a)k+b2－1=0的兩個不同實根，

所以k1+k2=－2b(1－a)a2－2a，k1k2=b2－1a2－2a.

由k1x－y+b－k1a=0知yB=b－ak1，

由k2x－y+b－k2a=0知yC=b－ak2，

所以S△ABC=12|BC|?a=12|yB－yC|?a

=a22|k1－k2|=a22(k1+k2)2－4k1k2

=a222b(1－a)a2－2a2－4b2－1a2－2a.

將b2=2a代入上式得，

S△ABC=a2a－2=(a－2)+4a－2+4≥8.

當(dāng)且僅當(dāng)a=4∈(2,+∞)，△ABC的面積取最小值8，此時b=±22.

（經(jīng)檢驗方程(a2－2a)k2+2b(1－a)k+b2－1=0有兩個不同實根）.

點撥在解題過程中，靈活抓住信息特征，利用出現(xiàn)的兩組數(shù)所滿足的式子的相同特征來構(gòu)建二元一次方程，或者利用出現(xiàn)的兩個數(shù)的和與積來構(gòu)建一元二次方程，靈活解決圓錐曲線中的綜合性問題。

三、 存在性問題

為考查學(xué)生的猜想，推理和探索能力，近幾年全國各地的數(shù)學(xué)高考試卷在圓錐曲線這部分內(nèi)容上設(shè)置了一系列的存在性問題，給原本靜態(tài)的問題賦予了動態(tài)活力，使問題更具開放性，對考生的考查更直觀，區(qū)分度更大。

【例3】設(shè)b>0，橢圓方程為x22b2+y2b2=1，拋物線方程為x2=8(y－b).如圖所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

(1) 求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

(2) 設(shè)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）.

分析本題主要考查直線、橢圓、拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理的運算能力和解決問題的能力。第一問運用代數(shù)方法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；第二問直角三角形的直角頂點未知，需分類討論，再結(jié)合向量知識得出等量關(guān)系。

解(1) 解方程組y=b+2，

x2=8(y－b),(x>0)得x=4，

y=b+2，∴點G的坐標(biāo)為(4,b+2)，由y=18x2+b，得y′=14x，∴在點G的切線l的斜率為k=y′|x=4=14×4=1，∴切線方程為y=x+b－2.令y=0，得x=2-b.又由橢圓方程得F1（b,0），∴2－b=b,得b=1.即橢圓方程和拋物線方程分別為x22+y21=1和x2=8(y－1).

(2) 分別過點A、B做y軸的平行線，分別交拋物線于M、N點，∠MAB=90°，∠NBA=90°,得△ABM,△ABN為直角三角形.

若以∠APB為直角，設(shè)P點坐標(biāo)為x,18x2+1，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(－2,0)和(2,0)，PA?PB=x2－2+18x2+12=164x4+54x2－1=0.關(guān)于x2的二次方程有一正解，∴x有兩解，即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個，

綜上所述，滿足條件的點共有4個.

點撥第（1）問求橢圓與拋物線的方程是解析幾何考查的“熱點”，利用代數(shù)法去解決幾何問題的思想方法，利用導(dǎo)數(shù)的運算工具就能求得，難度系數(shù)不大；

第（2）的設(shè)計是本題的亮點，通過一個開放性問題，考查學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，在考慮∠APB為直角時，考查了學(xué)生利用向量的工具性作用的能力以及關(guān)于一元二次方程根的特征判別的能力。

牛刀小試

1. 雙曲線C:x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的右準線l2與一條漸近線交于點P,F是與l2相應(yīng)的焦點.延長FP分別交左準線l1和左支于Q,R,若Q為RP的中點，則雙曲線的離心率e=.

2. P、Q、M、N四點都在橢圓x2+y22=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點．已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF?MF=0．求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

3. 橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e為22，右焦點為F，右準線l交x軸于T，過橢圓上頂點A作右準線l的垂線，垂足為D，線段DF與橢圓的交點是M.試問：是否存在λ使TA=λTM成立？若存在，求出λ的值；若不存在，試說明理由.

【參考答案】

1. 易得Pa2c,abc,Q－a2c,a(a2+c2)bc,由中點坐標(biāo)公式得，R－3a2c,a(3a2+c2)bc，將其代入雙曲線的方程得9a2c2－a2c23a2+c2b22=1,即9e2－1e2e2+3e2－12=1.令1e2=t,得25t2－10t+1=0,解得t=15,得e=5.

2. 如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點F(0,1)，

故PQ的方程為y=kx+1.

將此式代入橢圓方程得(2+k2)x2+2kx－1=0.

設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，

則x1=－k－2k2+22+k2,x2=－k+2k2+22+k2.

從而|PQ|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=8(1+k2)2(2+k2)2,

亦即|PQ|=22(1+k2)2+k2.

①當(dāng)k≠0時，MN的斜率為－1k，

同上可得：|MN|=221+－1k22+－1k2.

(下轉(zhuǎn)第46頁)