分類討論思想在熱學(xué)解題中的應(yīng)用

陳宏 曹少平

分類討論是指在原問題包含多種情形，不能一概而論的情況下，將確定的同一標(biāo)準(zhǔn)所研究的問題劃分成若干不同的情形，并把每一種情形毫無遺漏地劃分到某一類中去，再進(jìn)一步討論每一種情形的特性，最后綜合這些子問題的解答，得到對(duì)整個(gè)原問題的解答。分類討論思想實(shí)際上是一種化整為零、分別對(duì)待、各個(gè)擊破的思維方式在解題中的具體體現(xiàn)。下面結(jié)合實(shí)例談?wù)劮诸愑懻撍枷朐跓釋W(xué)解題中的應(yīng)用。

一，活塞或汽缸分“動(dòng)”和“不動(dòng)”兩種情況討論

例1，如圖1所示，長為2L的圓筒狀汽缸可沿動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平地面滑動(dòng)，在汽缸中央有一個(gè)橫截面積為S的活塞（汽缸與活塞之間的摩擦不計(jì)），汽缸中封閉的理想氣體溫度為T0，壓強(qiáng)等于外界大氣壓強(qiáng)P0。汽缸和活塞的總質(zhì)量為m，在固定墻壁與活塞之間連有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧（處于自然長度狀態(tài)），現(xiàn)對(duì)氣體緩慢加熱（設(shè)汽缸與地面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），求當(dāng)氣體體積變?yōu)樵瓉淼膬杀稌r(shí)的溫度。

解析：本題是氣體性質(zhì)和力學(xué)綜合題，仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，汽缸與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)大小不同，會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果。在氣體受熱膨脹的過程中汽缸始終靜止不動(dòng)是一種結(jié)果，在氣體受熱膨脹的過程中汽缸發(fā)生移動(dòng)將是另一種結(jié)果。下面分兩種情況討論。

（2）在μmg

點(diǎn)評(píng)：本題中給出的已知條件不明確，即汽缸是否發(fā)生移動(dòng)不明確，要求考生先補(bǔ)充必要的條件，再針對(duì)補(bǔ)充的不同條件進(jìn)行求解，且不同的補(bǔ)充條件會(huì)產(chǎn)生不同的計(jì)算結(jié)果，對(duì)應(yīng)不同的物理情景。求解本題的關(guān)鍵是要注意分析汽缸的運(yùn)動(dòng)過程，當(dāng)溫度緩慢升高時(shí)，氣體的壓強(qiáng)逐漸增大，彈簧被壓縮，彈力逐漸增大，當(dāng)彈簧的彈力與汽缸受到地面的最大靜摩擦力相等時(shí)，汽缸開始向左移動(dòng)，氣體的壓強(qiáng)不變。

二，細(xì)線分“松弛”和“張緊”兩種情況討論

例2 如圖2所示，在大氣中有一水平放置的固定圓筒，它由a、b和c三個(gè)粗細(xì)不同的部分連接而成的，各部分的橫截面積分別為2S、1/2s和s。已知大氣壓強(qiáng)為p0，溫度為T0。兩活塞A和B用一根長為4l的不可伸長的輕線相連，把溫度為T0的空氣密封在兩活塞之間，此時(shí)兩活塞的位置如圖所示?，F(xiàn)對(duì)被密封氣體加熱，使其溫度緩慢上升到T0若活塞與圓筒壁之間的摩擦可忽略不計(jì)，則此時(shí)兩活塞之間氣體的壓強(qiáng)可能為多少？

點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)被密封氣體加熱使其溫度緩慢上升到T，輕線是“松弛”還是“張緊”是不確定的，因此要分兩種情況討論。

三，水銀分“溢出”和“不溢出”兩種情況討論

例3 如圖3所示，有一個(gè)直立的汽缸，汽缸底到汽缸口的距離為L0 cm，用一厚度和質(zhì)量不計(jì)的活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，平衡時(shí)活塞上表面與汽缸口的距離很?。ㄓ?jì)算時(shí)可忽略不計(jì)），周圍大氣的壓強(qiáng)為Ho cmHg。現(xiàn)把盛有水銀的一個(gè)瓶子放在活塞上（瓶子的質(zhì)量可忽略），平衡時(shí)活塞到汽缸底的距離為L cm。若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶內(nèi)水銀緩緩不斷地倒在活塞上方，這時(shí)活塞向下移，壓縮氣體，直到活塞不再下移。求此時(shí)活塞在汽缸內(nèi)可能的位置及與之相對(duì)應(yīng)的條件（題中給出量之

點(diǎn)評(píng)：本題中由于瓶內(nèi)水銀量的不同可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一種是瓶內(nèi)水銀量較少，當(dāng)水銀全部倒在活塞上方時(shí)沒有水銀溢出;另一種是瓶內(nèi)水銀量較多，當(dāng)水銀部分倒在活塞上方時(shí)就會(huì)有水銀溢出。多數(shù)考生會(huì)因?yàn)闆]有注意“把盛有水銀的一個(gè)瓶子放在活塞上”與“把瓶內(nèi)水銀緩緩不斷地倒在活塞上方”的區(qū)別，而不能根據(jù)水銀量的多少分類討論。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖4所示，水平放置的柱形汽缸內(nèi)用活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，初始溫度t0=27℃，體積V0=100cm3，活塞橫截面積S=10 cm2。開始時(shí)容器內(nèi)外壓強(qiáng)均為P0=1×10⁵ Pa，已知活塞與缸壁間的最大靜摩擦力f=5 N，且等于滑動(dòng)摩擦力。

（1）若將溫度升高到t1=37℃時(shí)氣體的體積是多少？

（2）若將溫度升高到t2=127℃時(shí)氣體的體積是多少？

2.如圖5所示，兩端開口的汽缸水平固定，A、B是兩個(gè)厚度不計(jì)的活塞，可在汽缸內(nèi)無摩擦地滑動(dòng)，其橫截面積分別為S1=20 cm2、S2=10 cm2，它們之間用一根細(xì)線連接，活塞B通過水平細(xì)線繞過光滑的定滑輪與質(zhì)量M=2 kg的重物C連接，靜止時(shí)汽缸中氣體的溫度T1 =450 K，汽缸兩部分的氣柱長均為L，已知大氣壓強(qiáng)p0=1×10⁵ Pa.取g=10 m/s2，缸內(nèi)氣體可視為理想氣體。

（1）求活塞靜止時(shí)汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。

（2）若緩慢降低汽缸內(nèi)氣體的溫度，求當(dāng)活塞A、B間細(xì)線的張力剛好減為零時(shí)汽缸內(nèi)氣體的溫度。

3.如圖6所示，橫截面積s=0.1 m2、高H =1.0 m的豎直圓筒，其頂端裝有一光滑緊密配合的活塞，活塞的質(zhì)量和厚度均可忽略不計(jì)，外界大氣壓強(qiáng)P0=75 cmHg。現(xiàn)將一定體積的水銀緩慢注入活塞上面，活塞逐漸下降，壓縮氣體，直到活塞不再下移。（設(shè)氣體的溫度不變）

（1）當(dāng)水銀總體積V1=4.5×10⁴ cm3時(shí)，求最終筒內(nèi)空氣柱的高度h1。

（2）當(dāng)水銀總體積V2=1.5×10² cm3時(shí)，求最終筒內(nèi)空氣柱的高度h2。

參考答案：

1. （l）V1=100 cm2; （2）V2=127 cm3.

2. （1）P1 =1.2×10⁵ Pa; （2） T2 =200 K。

3. （1）h1=75 cm; （2）h2 =83.3 cm。

（責(zé)任編輯 張巧）