環(huán)境污染下具有密度制約的兩種群競爭模型穩(wěn)定性分析

楊 秀 香

(渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 渭南 714099)

0 引言

生活在一個自然環(huán)境中的兩種生物x和y，由于在生態(tài)系統(tǒng)中的生態(tài)位重疊發(fā)生爭奪生態(tài)資源而進行斗爭的現(xiàn)象即為兩種群的競爭。設(shè)x(t)、y(t)表示兩個種群在t時刻的數(shù)量，假設(shè)兩種群在獨立生存條件下其增長方式符合Logistic方式增長，則Lotka-Volteera競爭模型為

其中：β11、β12、β21、β22為非負(fù)常數(shù)，模型表明了x和y種群是密度制約的，且兩種群是相互競爭的。

隨著科技的發(fā)展，環(huán)境污染日益嚴(yán)重，大量的有害物質(zhì)排放到自然環(huán)境中，對生物體的生長發(fā)育和繁殖等都有著較明顯的影響。目前研究環(huán)境污染影響生物種群發(fā)展規(guī)律的成果已有很多：文獻[1]是環(huán)境污染與自然資源耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型性分析；文獻[2-6]通過數(shù)學(xué)模型研究環(huán)境污染對人類的危害；具有環(huán)境污染的兩種群互惠模型的穩(wěn)定性分析；生態(tài)環(huán)境受污染的單種群持續(xù)生存的研究；大氣污染下具有HollingⅡ功能性反應(yīng)的種群生存條件。

本文在文獻[3]的基礎(chǔ)上研究一類具有環(huán)境污染的兩種群競爭模型，假設(shè)種群的密度制約均勻，結(jié)合生物動力學(xué)原理和生態(tài)毒理學(xué)原理，建立具有密度制約和毒物影響、一種群具有階段結(jié)構(gòu)、成年才具有競爭能力的模型：

(1)

其中：d1、d3分別表示x種群、y種群的自然增長率,d2表示x種群由幼年轉(zhuǎn)化為成年的轉(zhuǎn)化率；m1、m2、m3分別表示x種群的兩個階段以及y種群的密度制約系數(shù)；α、β表示兩種群競爭關(guān)系中相互間的干擾系數(shù)，y種群只捕獲成年的x種群，只有成年的x種群才捕獲y種群；c1、c2、c3分別表示x種群不同階段以及y種群受毒物影響的消耗率；r1、r2、r3分別表示x種群不同階段以及y種群的自然死亡率。這些系數(shù)均為正常數(shù)，基于實際意義，d1>c1,d2>c2,d3>c3，否則兩種群受環(huán)境污染下負(fù)增長而消亡。我們在R={(x,y)|x≥0,y≥0}內(nèi)討論模型(1)的穩(wěn)定性態(tài)。該模型的一切解在R內(nèi)正向有界。記n1=r1+c1+d2;n2=r2+c2;n3=d3-r3-c3，模型變?yōu)?/p>

(2)

1 定義與引理

定義1 方程組

X′=f(t,X),G={(t,X)|t≥T,X∈D?Rn},

(3)

引理1 赫爾維茲判別方法：設(shè)一元常系數(shù)n次代數(shù)方程

a0λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an=0，

(4)

2 模型正平衡點分析

(5)

(1)當(dāng)m2m3-αβ<0,K1>K2時，L1,L2在第一象限有唯一的交點。

(2)當(dāng)m2m3-αβ>0,K1

(3)m2m3-αβ=0,n2m3-αn3>0，L1,L2在第一象限有唯一的交點。

3 模型正平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

(6)

系統(tǒng)(6)在平衡點(0,0,0)處的雅克比行列式為

系統(tǒng)(6)的特征方程為λ3+a1λ2+a2λ+a3=0。

其中：a1=H1+H2+H3,

λ1,λ2,λ3具有負(fù)實部，由引理1(赫爾維茲(Hurwitz))必須有a1>0,a2>0,a1a2>a3，此時

4 模型正平衡點的全局穩(wěn)定性分析

證明 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

其中：ω1、ω2為正常數(shù)，V沿模型(6)的導(dǎo)數(shù)為

(7)

代入

V函數(shù)(7)變?yōu)?/p>

5 生物學(xué)解釋