一道等差數(shù)陣題的暢想曲

馬思琪

高一下學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了《必修5》中的數(shù)列知識(shí)，在做練習(xí)作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這道題：

下面給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：

圖1

其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．

（1）寫(xiě)出a45的值；

（2）寫(xiě)出aij的計(jì)算公式，以及2 017這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置．

認(rèn)真做完題目，我掩卷沉思，不禁思緒翩翩．這樣根據(jù)已知數(shù)據(jù)，尋找恰當(dāng)規(guī)律，填數(shù)的數(shù)陣，在小學(xué)也見(jiàn)過(guò)．現(xiàn)在我是高中生，長(zhǎng)大了，問(wèn)題也升級(jí)了，這個(gè)有意思．我就以這道題為契機(jī)，自主設(shè)置問(wèn)題進(jìn)行探索求解——進(jìn)行一番數(shù)學(xué)暢想．

為了完成第（1）小題和找規(guī)律，我一定要不辭辛勞地多寫(xiě)一些項(xiàng)，如圖2．這樣就輕松得到第（1）小題答案49．

第（2）小題要求解aij的通項(xiàng)公式．平時(shí)學(xué)的數(shù)列通項(xiàng)，只有一個(gè)變量，這個(gè)題目搞事情呀，怎么是雙變量呢？看著圖2中大量的數(shù)據(jù)和省略號(hào)，我心中不覺(jué)陣陣發(fā)毛，想必難寫(xiě)！怎么辦？

不過(guò)要找出2 017在等差數(shù)陣中的一個(gè)位置，可以在較小的行列中進(jìn)行試探．觀察數(shù)陣發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)陣的數(shù)關(guān)于aii成對(duì)稱排列，即第一行的數(shù)和第一列的數(shù)一樣，第i行和第i列的數(shù)一樣，那么某數(shù)在aij位置出現(xiàn)，就必在aji位置出現(xiàn)．如果2 017出現(xiàn)在第一行，必有2 017=4+3（j-1），解得j=672，故2 017出現(xiàn)在第1行第672列中，當(dāng)然也出現(xiàn)在第672行第1列中．它還會(huì)出現(xiàn)在別的位置嗎？繼續(xù)用這個(gè)辦法試探所有的，哦，NO，饒了我吧，這一定不是明智的想法，它定會(huì)有規(guī)律可循的，我得慢慢研究它．

圖2

暢想一：方陣暢想曲

我仔細(xì)觀察這些數(shù)據(jù)，嘿嘿，有了．從圖2中選取n行n列的方陣，對(duì)角線上行和列是相同的，相當(dāng)于一個(gè)變量，應(yīng)該簡(jiǎn)單得多，我先來(lái)解決它．

問(wèn)題1 在這個(gè)數(shù)據(jù)表中，畫(huà)出數(shù)據(jù)方陣，觀察對(duì)角線有什么變化規(guī)律？

分析 從圖2中發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線所在數(shù)據(jù)依次為：4，12，24，40，60，84…找出關(guān)系式：an，n-an-1，n-1=4n．

問(wèn)題2 根據(jù)上式關(guān)系，可以求出｛an，n｝的通項(xiàng)嗎？

分析 這個(gè)問(wèn)題，就是老師講得爛熟的累加法，也是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一種求解方法．于是：

an，n=（an，n-an-1，n-1）+（an-1，n-1-an-2，n-2）+…+（a2，2-a1，1）+a1，1=4n+4（n-1）+4（n-2）+…+4×2+4=4（1+

分析 先來(lái)變形該數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式，再?zèng)Q定使用什么方法求解．于是有這個(gè)通項(xiàng)被裂開(kāi)成兩項(xiàng)，且恰好前一項(xiàng)和后一項(xiàng)相加，能夠抵消掉兩項(xiàng)，依此類推，就可以求得前n項(xiàng)和的前n項(xiàng)求和，運(yùn)用了裂項(xiàng)法，其實(shí)質(zhì)和問(wèn)題2的累加法一樣的．記得老師還形象地形容說(shuō)：這是一種自殺式的求法，它們相互干仗，直到消滅得只剩一頭一尾，不過(guò)，要弄清除頭和尾外到底還剩余多少項(xiàng)．

完成了對(duì)角線的通項(xiàng)，我們把目光再次轉(zhuǎn)移到任意方陣中來(lái)：任意一項(xiàng)的通項(xiàng)如何表示？如何判定任給一個(gè)數(shù)是否在這個(gè)方陣中？如果在，會(huì)出現(xiàn)多少次呢？

暢想二：矩陣暢想曲

用i，j直接表示aij的通項(xiàng)有困難，考慮到題目說(shuō)每行、每列都是等差數(shù)列，我是不是可以采用迂回的方法，先表示每行或者每列的通項(xiàng)，再進(jìn)行觀察呢？說(shuō)干就干．

問(wèn)題4 用j來(lái) 表 示a1，j，a2，j，a3，j，a4，j，a5，j的通項(xiàng)，從而能得出aij的表達(dá)式嗎？

分析 其實(shí)就是要將各行的通項(xiàng)表達(dá)出來(lái)，再歸納得出aij的通項(xiàng)．觀察圖2，得到各行的公差是3，5，7，9，11，…等依次增加的奇數(shù)．于是有：a1，j=3j+1；a2，j=5j+2；a3，j=7j+3；a4，j=9j+4；a5，j=11j+5，…由這一些式子，可 以歸納出ai，j=（2i+1）j+i=2ij+i+j．

由此表達(dá)式可以得到：

1．a(chǎn)i，j=aj，i；

2．當(dāng)i=j時(shí)，ai，i=2i（i+1），此數(shù)為4的倍數(shù)．

問(wèn)題5 還能有別的方法求出aij的表達(dá)式嗎？

分析 因?yàn)檫@個(gè)數(shù)陣是每行每列都為等差數(shù)列的數(shù)陣，所以只要算出aij所在行或者列的第一個(gè)數(shù)，再運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式就可以算出aij的通項(xiàng)．我選擇先計(jì)算ai，1，即第一列的第i個(gè)數(shù)，ai，1=4+3（i-1）=3i+1，又因?yàn)榈谝恍?、第二行、第三行……的公差依次?，5，7，…，可以得到第i行的公差為2i+1，于是有：ai，j=3i+1+（2i+1）（j-1）=2ij+i+j．

問(wèn)題6 根據(jù)所得表達(dá)式，找出原題中的2 017這個(gè)數(shù)在這個(gè)數(shù)陣中的位置；2 018這個(gè)數(shù)在數(shù)陣中嗎？出現(xiàn)多少次？

分析 要求解2 017在這個(gè)數(shù)陣中的位置，就是解出i和j．a(chǎn)i，j=2ij+i+j=2 017，整理得到：因?yàn)閕和j都是正整數(shù)，故4 035必是2i+1的倍數(shù)．又因?yàn)? 035=3×5×269，所以4 035的因數(shù)有1，3，5，15，269，807，1 345，4 035共8個(gè)．因此解的情況列表為：

表1

舍去使i或j為0的解，共得到6組滿足條件的i和j，因此2 017在數(shù)陣中出現(xiàn)了6次．按（i，j）的這個(gè)數(shù)對(duì)形式依次是（1，672），（672，1），（2，403），（403，2），（7，134），（134，7）．

同理可解得2 018在這個(gè)數(shù)陣中出現(xiàn)2次，對(duì)應(yīng)位置是（5，183），（183，5）．

分析 由ai，j=2ij+i+j，可以得到an，1=3n+1，an+1，1=3n+4，因此裂項(xiàng)后，就可以輕松解得前n項(xiàng)和為

根據(jù)此問(wèn)題，進(jìn)行聯(lián)想，還可以設(shè)置一些類似的題目，進(jìn)行練習(xí)，如：

暢想三：多媒體暢想曲

問(wèn)題8 借用Excel表格，如何尋找規(guī)律呢？

分析 Excel有強(qiáng)大的運(yùn)算與分析能力，豐富的功能區(qū)菜單，面對(duì)大數(shù)據(jù)工作表的時(shí)候，進(jìn)行數(shù)據(jù)整理、計(jì)算、匯總、查詢、分析等處理，簡(jiǎn)直無(wú)所不能，太贊了！

我運(yùn)用Excel表格，查找2 017這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置，使用了如下方法．

借用Excel的妙算暢想曲．

步驟1：由通項(xiàng)ai，j=2ij+i+j=2 017，得到

步驟2：打開(kāi)Excel表格，在A1、B1、A2、A3中輸入i，j，1，2，選中A2和A3，向下拉復(fù)制句柄，直到達(dá)到數(shù)字不超過(guò)2 017的最大行Int（（2 017-4）／3+1）=672為止．

步驟3：在B2中輸入“=（2 017-A2）／（2*A2+1）”，雙擊單元格B2右下角的復(fù)制句柄，得到i所對(duì)應(yīng)的j值，j值為正整數(shù)的即為滿足條件的解．

步驟4：對(duì)第二列數(shù)進(jìn)行取余數(shù)，并把結(jié)果放在第3列中，在第3列中進(jìn)行升序或者篩選出余數(shù)為0，就得到所求的i和j了，如圖3．當(dāng)然也可以采用別的辦法選出滿足條件的i和j．

圖3

問(wèn)題9 運(yùn)用編程的方式解決問(wèn)題，會(huì)否更方便呢？

我們現(xiàn)在正在學(xué)習(xí)Visual Basic語(yǔ)言編程，這道題目也符合編程的要求，不妨小試一下牛刀，從兩個(gè)不同角度編寫(xiě)一下查找某數(shù)在等差數(shù)陣中的位置的程序，編寫(xiě)的程序及結(jié)果如圖4和圖5所示．

運(yùn)行該程序，只要在方框內(nèi)輸入你想查找的數(shù)字，單擊查找，在窗體上就會(huì)列出該數(shù)字對(duì)應(yīng)的i，j的值，從而得出該數(shù)在數(shù)陣表格中的位置．

圖4是運(yùn)用了已經(jīng)算出的aij=2ij+i+j這個(gè)通式，運(yùn)用二維數(shù)組進(jìn)行編程設(shè)計(jì)的．圖5是運(yùn)用了表格中給出的4個(gè)數(shù)字4，7，7，12，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，先算出第一行和第二行的各數(shù)，即i=1，2時(shí)，用公式a（i，j）=2*a（i，j-1）-a（i，j-2）計(jì)算出第一、二行．對(duì)于給定的數(shù)M，第一行可能出現(xiàn)的最大的列數(shù)是Int（（m-4）／3+1），下一列的數(shù)就超出M了．這個(gè)數(shù)就是最大的列數(shù)和行數(shù)．然后再利用a（i，j）=2*a（i-1，j）-a（i-2，j）計(jì)算其余的各行，直到最大的行．

圖4

圖5

暢想四：數(shù)陣變奏曲

對(duì)上面的表格進(jìn)行改編，一定可以得到一些有趣的規(guī)律．

改編一：使每行的公差始終為3，每列公差為5．除了前面的問(wèn)題，還可以提出如下問(wèn)題．

1．哪些數(shù)會(huì)在這個(gè)數(shù)陣中出現(xiàn)，哪些數(shù)不會(huì)出現(xiàn)？有規(guī)律可循嗎？

2．哪些數(shù)會(huì)出現(xiàn)兩次？三次？甚至無(wú)數(shù)多次？有規(guī)律或者公式嗎？

………

改編二：n2（n≥4）個(gè)正數(shù)排成n行n列的方陣：

a 11 a 12 a 13 a 14…a 1n a 21 a 22 a 23 a 24…a 2n a 31 a 32 a 33 a 34…a 3n a 41 a 42 a 43 a 44…a 4n………………a n 1 a n 2 a n 3 a n 4…a nn

其中第一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列中的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比都相等，已知

2．計(jì)算對(duì)角線所在數(shù)列ann｛ ｝的前n項(xiàng)和．

3．寫(xiě)出aij的計(jì)算公式，以及這個(gè)數(shù)在此數(shù)陣中所在的一個(gè)位置．（注：aij表示位于第i行第j列的數(shù)）

……

數(shù)字構(gòu)成的數(shù)陣，千變?nèi)f化，只要你開(kāi)洞大腦，不斷思考，你就可以收獲一片旖旎，欣賞無(wú)限絢麗的風(fēng)光，奏響一段愜意的暢想曲．

【指導(dǎo)老師點(diǎn)評(píng)】

馬思琪同學(xué)在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)了一道有趣的等差數(shù)陣問(wèn)題，循著問(wèn)題的腳步，不斷探究，運(yùn)用代數(shù)、Excel、編程三種辦法找出2017在等差數(shù)陣的位置，而且通過(guò)ai，j的通項(xiàng)設(shè)置出裂項(xiàng)求和等數(shù)列問(wèn)題．善于學(xué)習(xí)思考和運(yùn)用多媒體工具解決問(wèn)題是本文的一大特色，盡管學(xué)校學(xué)了一些VB編程語(yǔ)言，但要完成沒(méi)有學(xué)過(guò)的二維數(shù)組隨變量而精確定義，以及For語(yǔ)句與IF語(yǔ)句的嵌套運(yùn)用，還是困難不小，學(xué)習(xí)就是在這種自發(fā)的“嘗試與錯(cuò)誤”過(guò)程中完成的．