空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學價值

袁銘芳

摘 ?要：隨著新課程改革工作的逐步深入，空間向量在立體幾何之中得到了廣泛應(yīng)用，而且也展示出較強的施工優(yōu)勢，為此，相關(guān)教育工作者應(yīng)提升對空間向量應(yīng)用的重視程度。該文根據(jù)以往工作經(jīng)驗，對向量在立體幾何中的作用進行總結(jié)，并從理解好新課標對空間向量的應(yīng)用教學要求、強化學生空間想象能力、傳遞良好的幾何圖形思維方式3個方面，論述了空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學價值。

關(guān)鍵詞：空間向量 ?立體幾何 ?教學價值 ?圖形思維

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2020）12（c）-0166-03

Teaching Value of Space Vector in Solid Geometry

YUAN Mingfang

（Jilin Normal University， Changchun， Jilin Province， 130012 ?China）

Abstract： With the deepening of the new curriculum reform， space vector has been widely used in solid geometry， and it also shows a strong construction advantage. Therefore， relevant educators should pay more attention to the application of space vector. Based on the previous work experience， this paper summarizes the function of vector in solid geometry， and discusses the teaching value of space vector application in solid geometry from three aspects： understanding the teaching requirements of space vector application in the new curriculum standard， strengthening students' spatial imagination ability and transmitting good geometric thinking mode.

Key Words： Space vector; Solid geometry; Teaching value; Graphic thinking

從現(xiàn)階段教學工作開展中能夠看出，有關(guān)于空間向量和應(yīng)用的教學，往往都是將空間向量作為解決線線、線面和面面等夾角計算問題的解決手段，并沒有將其在立體幾何中的作用呈現(xiàn)出來。近年來，我國教育部門大力推進新課標的實施，這也讓高中數(shù)學內(nèi)容出現(xiàn)了很大變化，“向量”屬于是重要的數(shù)學概念，引起了很多學者的關(guān)注，而且還為數(shù)學課程提供新的生命力，優(yōu)化解決問題的方法。

1 ?向量在立體幾何中的作用

空間向量屬于是高中數(shù)學教材之中新添加的內(nèi)容，從目前教學工作中能夠看出，所呈現(xiàn)出的作用存在于多個方面，如垂直問題、角度問題等，這其中還涉及了法向量之間的計算應(yīng)用問題。

1.1 空間向量的作用

首先，能夠證明垂直，在解決線面垂直和面面垂直問題時，主要以法向量為基礎(chǔ)，借助于證明直線平行于法向量，便可以得出最終結(jié)論。另外就是將面面垂直結(jié)論展示處理，確保兩平面的法向量始終處于垂直狀態(tài)最終得出結(jié)論。其次，站在計算角度來說，實際二面角問題的解答關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)換兩個法向量之間的角度，從而完成計算操作。從實際立體幾何平行問題解決中能夠看出，人們可以借助于向量基本定理完成驗證操作，為后續(xù)教學工作的執(zhí)行創(chuàng)造有利條件。

1.2 平面法向量

首先，法向量，該向量主要指與已知平面處于垂直狀態(tài)的向量值，該向量可以根據(jù)實際坐標位置，呈現(xiàn)出多個數(shù)值，此時，教育工作者需要引導學生學會選擇最為方便的向量進行操作。其次，在法向量計算過程中，可以根據(jù)具體情況，建立起合適的平面直角坐標軸，并將所知平面的法向量m（a，b，c）呈現(xiàn)出來，在平面內(nèi)確定兩個相交的直線位置，用S和T進行表示，之后利用法向量對其進行定義。一般來說，法向量與平面處于垂直狀態(tài)，所以也會與S和T保持垂直，此時，人們可以借助于垂直箱梁點乘為零形式，確定方程組。由于該方程之中未知數(shù)有3個，為了將問題解決，人們通常會架設(shè)3個數(shù)值之中有一個是特殊值，之后對另外兩個數(shù)值進行求解。

2 ?空間向量在立體幾何應(yīng)用的教學價值定位對課堂教學的影響

從實際教學工作執(zhí)行上能夠看出，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，與解析幾何問題解決思路幾乎相同，首先，借助于箱梁語言對立體幾何中的基本對象進行合理描述，即點、直線和平面，最終將幾何問題轉(zhuǎn)變成向量問題。其次，建立起點、線和面的位置關(guān)系以及向量運算聯(lián)系，強化向量運算的準確性。最后，將最終的向量運算結(jié)果轉(zhuǎn)變成立體幾何結(jié)果。近年來，很多教師便意識到之前立體幾何教學方法的局限性所在，相比于傳統(tǒng)方式，向量工具的實施，可以引導學生對幾何圖形中的位置關(guān)系進行深入性構(gòu)想和分析，在該種教學意識之下，教師的教學重點也會向“用向量算”方面傾斜。反觀應(yīng)用向量解決線線、線面和面面平行等問題，往往也伴隨著很多反復性訓練內(nèi)容。但從實際工作之中能夠看出。該類計算涉及大量的反復性訓練，但向量與點、直線和平面之間的聯(lián)系，并沒有在教學之中呈現(xiàn)出來，進而對學生思維產(chǎn)生了極大的限制。該種教學在客觀上并沒有將立體幾何問題解決，進而導致學生在平時訓練過程中，不能對新的問題進行描述，讓解題過程變得更加困難。為此，空間向量在立體幾何應(yīng)用的教學價值呈現(xiàn)顯得尤為重要。

從現(xiàn)有教材應(yīng)用中能夠看出，空間向量已經(jīng)成為了一個獨立的知識體系，主要涉及的內(nèi)容有線性運算、基本定理以及直角坐標運算等。通過對上述內(nèi)容的學習，能夠幫助學生全面地掌握空間向量知識，相比于傳統(tǒng)教學，教學內(nèi)容明顯增加。但站在整體教學角度來說，空間向量雖然屬于是新內(nèi)容，但對于學生來說，并不陌生，空間向量并不是單純的解題手段，而且還能將很多學科聯(lián)系在一起。為此，教師們需要讓學生了解到空間向量的具體作用和價值，將他們的內(nèi)在學習動力激發(fā)出來。

3 ?空間向量在立體幾何中應(yīng)用的教學價值

向量在立體幾何之中應(yīng)用教學價值研究，除了關(guān)注其降低立體幾何問題解決難度之外，也要明確其推理論證和求角算法，該種學習內(nèi)容有助于程式化算法的提供，賦予學生新的思維，這對于后續(xù)數(shù)學學習能夠產(chǎn)生積極影響。

3.1 理解好新課標對空間向量的應(yīng)用教學要求

從高中數(shù)學課程標準中能夠了解到，對于空間向量應(yīng)用的要求主要涉及以下內(nèi)容：第一，了解直線方向向量和平面的法向量;第二，借助于向量語言對面面垂直、線面垂直等關(guān)系進行合理表述;第三，通過對能量向量法的應(yīng)用，證明面位置關(guān)系;第四，通過向量方式，將線線、線面和面面間的夾角計算問題解決，最終將向量方法在幾何問題解決中的作用和價值呈現(xiàn)出來。實際教學工作執(zhí)行上，教育工作者應(yīng)提升對第四點的關(guān)注度，以理解為基礎(chǔ)，確保直線平面向量和平面法向量基礎(chǔ)概念保持同步，并建立起良好的基本圖形位置關(guān)系，進而將具體的位置關(guān)系刻畫出來。總體來說，運用向量解決立體幾何問題的思維活動過程并不是機械性過程，教師需要展示出靈活性特點，強化教學效率。

3.2 強化學生空間想象能力

利用向量法來解決立體幾何問題，對立體幾何圖形的分析顯得十分重要。從實際角度來說，向量法和綜合法需要展示出“你中有我、我中有你”的關(guān)系，這也是對幾何圖形進行綜合分析的基本過程。需要注意的是，學生不能將全部關(guān)注點集中在向量身上，要想將向量在立體幾何中的作用呈現(xiàn)出來，學生需要將幾何位置關(guān)系和向量運算聯(lián)系在一起，做好對立體幾何問題的描述操作。例如，在二面角問題解答上，應(yīng)將法向量和二面角之間的平面角關(guān)系呈現(xiàn)出來，該要求與線面角不同，此時，法向量的數(shù)量表達也是證明法向量的具體位置，以原點為起點，則可根據(jù)其橫、縱、豎坐標的正負判斷其終點所在空間直角坐標系的卦限，從而確定其方向。

3.3 傳遞良好的幾何圖形思維方式

直線方向向量和平面法向量屬于是基本概念范疇，能夠為直線和平面提供一個新視角，這也是對立體幾何圖形關(guān)系分析的根本所在。一般來說，直線和平面基本幾何能夠用“方向和一個點”進行表示，但其中提到的“方向”存在明顯差異。站在直線角度來說，代表的是直線的方向向量，對于平面，則代表的是法向量。從具體高中數(shù)學課程內(nèi)容中能夠看出，立體幾何研究的主要內(nèi)容以平面的平面和直線及垂直關(guān)系為主，這些問題能夠統(tǒng)一看作是“角”的度量過程。對于直線和平面之間的關(guān)系研究，同樣可以轉(zhuǎn)化為對向向量，此時，與立體幾何相關(guān)的研究也會變得更加簡單化。總體來說，向量方法在思維上能夠呈現(xiàn)出明顯的簡約性特點，尤其是在直線與直線、直線與平面以及平面與平面成角研究時，并不需要對向量所在位置進行考慮，讓整個問題的解決變得更加靈活和自由。

4 ?空間向量在立體幾何中的教學建議

4.1 開展探究式教學

首先，各個教育工作者們應(yīng)采取有效的教學手段。在空間向量引入之后，不但能夠開闊學生的視野，還能為學生帶來一些新的解決方法，降低學生們學習立體幾何的難度，但從學生空間想象力培養(yǎng)過程中能夠看出，所呈現(xiàn)出的效果十分有限。為此，教師們可以將新課標之中的教學理念在數(shù)學知識的形成中體現(xiàn)出來，建立有效的問題庫情境，借助于拓寬與創(chuàng)造的探究式教學法，讓學生在情境之中學會如何解決空間向量問題。在該種教學方式的幫助之下，學生們能夠掌握更多的數(shù)學知識，教師也能形成良好的教學思維，利用數(shù)學教學為學生們帶來更多樂趣。但從具體空間向量在立體幾何中的應(yīng)用能夠看出，探究教學方式在實施過程中也存在一些不足之處，要花費很長的教學時間，很難經(jīng)常在課堂教學中進行應(yīng)用，部分教學內(nèi)容也不適合應(yīng)用該種教學模式。

4.2 實施談話式教學

在實際課堂教學之中，讓每個學生都發(fā)言并不代表其真正參與到課堂互動，這里所提到的“參與”主要指在學生思維活躍的時候，參與問題的解答過程，在提出問題的時候，學生們也會認真思考。除此之外，在實際空間向量教學過程中，教師還要看學生是不是主動參與到課堂學習之中，考察其獨立思考能力，以及當時的思維狀態(tài)。更為重要的是，教師也要創(chuàng)建一些合適的教學情境，巧妙地提出一些問題，讓學生之間進行空間向量知識交流，為學生個體提供更多發(fā)展機會。

4.3 重視利用空間向量表示幾何元素和關(guān)系

在立體幾何之中，點、線、面屬于是最基本的元素內(nèi)容，如何應(yīng)用向量來表示之間的幾何關(guān)系，是解決立體幾何問題的關(guān)鍵所在。為此，教師可以引導學生建立恰當?shù)淖鴺讼担x擇合適的向量來表示問題之中的幾何元素，并通過向量運算，將幾何元素關(guān)系呈現(xiàn)出來，這也是立體幾何問題解決的常見方式，在實際教學過程中，教師應(yīng)提升對該類問題的重視程度。更為重要的是，平面向量在空間內(nèi)部的拓寬，所涉及的內(nèi)容和平面向量十分接近。所以說，在執(zhí)行空間向量教學時，教師可以采用類比法進行教學，復習好之前與平面向量相關(guān)的知識內(nèi)容，從中確定平面向量和空間向量之間存在的區(qū)別和聯(lián)系。例如，空間向量的加法能夠轉(zhuǎn)化成平面向量的加法，空間首尾相接時的兩個向量也可以應(yīng)用三角形法則，在3個或者是3個以上的空間向量相加時，與平面向量存在很大區(qū)別，更為重要的是，這些向量有可能不共面，卻可以借助于平移操作，實現(xiàn)逐個相加，幫助學生掌握空間向量在立體幾何中的應(yīng)用價值。

5 ?結(jié)語

綜上所述，將空間向量方式與高中數(shù)學教學工作相結(jié)合，不僅能夠激發(fā)出學生的想象力，同時也能降低學生的學習難度，強化其思維能力。更為重要的是，通過空間向量法可以將傳統(tǒng)功利化教學系統(tǒng)向程序化方向轉(zhuǎn)變，讓學生解題思路越來越順暢，同時也能將空間向量和其他數(shù)學知識聯(lián)系到一起，進而解答更多的抽象化問題。

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