深化建模教學(xué) 凸顯模型價(jià)值

費(fèi)云杰

[摘 要]模型思想是三個(gè)數(shù)學(xué)基本思想之一，在數(shù)學(xué)思想方法中有著非常重要的地位。立足課堂教學(xué)，在實(shí)踐—反思—再實(shí)踐—再反思的基礎(chǔ)上，總結(jié)建模課的共性，提煉出數(shù)學(xué)建模課的一般模式。并在此基礎(chǔ)上，提出建模課教學(xué)的四個(gè)策略，情境創(chuàng)設(shè)、建立關(guān)系、抽象本質(zhì)、辨識(shí)應(yīng)用，從而滲透模型思想，幫助學(xué)生建立和把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞]模型思想;策略;建模

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）35-0031-02

筆者對(duì)模型思想（建模能力）的理解是“重視學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程”。本文借助教材單元編排的特點(diǎn)，整理各年級(jí)數(shù)學(xué)教材，找出小學(xué)數(shù)學(xué)模型的基本類型，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和能力。

一、模型思想教學(xué)的問(wèn)題

（一）緣起練習(xí)

五年級(jí)“簡(jiǎn)易方程”單元有如下兩個(gè)練習(xí)，學(xué)生的回答引發(fā)了筆者的困惑和思考。

1.甲、乙兩數(shù)的和是40，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍。甲數(shù)是多少？

學(xué)生回答：40÷2=20。

2.蘋果有48個(gè)，比香蕉數(shù)量的2倍少26個(gè)，香蕉有多少個(gè)？

學(xué)生回答：48-26=22，22÷2=11。

（二）啟發(fā)思考

1.學(xué)生能力弱

上面的練習(xí)題中，學(xué)生沒(méi)有使用方程解決，而是用原先學(xué)的算式來(lái)解答。由此可以看出，學(xué)生在學(xué)習(xí)了用方程解決問(wèn)題之后，尚未擺脫原先的用算式解答問(wèn)題的慣性思維，沒(méi)有形成建模的意識(shí)?？梢?jiàn)，模型思想在教學(xué)中的滲透不足。

2.教師意識(shí)薄弱

很多教師對(duì)數(shù)學(xué)建模不甚了解，只是單純地教授有關(guān)數(shù)學(xué)模型的知識(shí)，在課堂教學(xué)時(shí)沒(méi)有充分調(diào)動(dòng)好學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也沒(méi)有做到選取合適的、能夠激起學(xué)生興趣的問(wèn)題情境。

二、模型思想教學(xué)的思考

（一）分析教材，確立教學(xué)模式

1.整理建模內(nèi)容

從三至五年級(jí)教材中精心選擇建模教學(xué)內(nèi)容，可以抽象為數(shù)學(xué)模型的課程內(nèi)容如下：

三年級(jí)：估算模型、統(tǒng)籌安排問(wèn)題、“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”模型、周長(zhǎng)公式、周長(zhǎng)最短模型、同分母分?jǐn)?shù)計(jì)算模型、平均分模型、韋恩圖。

四年級(jí)：三線角模型、乘積最大問(wèn)題、“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”模型、“速度×?xí)r間=路程”模型、平行與垂直模型、烙餅問(wèn)題。

五年級(jí)：小數(shù)乘法模型、乘積變化問(wèn)題、稱水問(wèn)題、估價(jià)問(wèn)題、收費(fèi)模型、進(jìn)一去尾問(wèn)題、方程模型、相遇問(wèn)題、追擊問(wèn)題、面積計(jì)算模型、堆圓木問(wèn)題、數(shù)方格問(wèn)題、植樹問(wèn)題。

2.深挖建模共性

通過(guò)對(duì)建模素材的多方位挖掘，筆者發(fā)現(xiàn)可作為建模課程內(nèi)容的素材都有以下四個(gè)共同特點(diǎn)：生活化情境、關(guān)系思考、模型建立、應(yīng)用推廣。

3.確立建?？蚣?/p>

根據(jù)研究所得的建模素材的共同特點(diǎn)，我們可以這樣表示小學(xué)階段數(shù)學(xué)建模的模式：模型準(zhǔn)備→模型假設(shè)→模型建立→模型應(yīng)用。

模型準(zhǔn)備階段：情境引入，初步感知。關(guān)鍵在于情境設(shè)計(jì)生活化。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)能激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)的各種情境，促使學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑問(wèn)題、探索求解的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。模型假設(shè)階段：簡(jiǎn)化背景，提煉問(wèn)題。將生活化的語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)化加工，從而使“生活”上升為“模型”。模型建立階段：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建模型。在建模過(guò)程中，為了找到解決問(wèn)題的途徑，就要在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡(jiǎn)，也就是學(xué)生的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn)。模型應(yīng)用階段：運(yùn)用模型，解決問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步組織深層探究，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。

（二）調(diào)整策略，經(jīng)歷建模過(guò)程

1.精選問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

教師可以創(chuàng)設(shè)游戲情境、生活情境、競(jìng)賽情境、實(shí)驗(yàn)情境等，以生為本，讓學(xué)生自主參與、全身心投入，快樂(lè)地參與其中。 情境創(chuàng)設(shè)下，教師恰當(dāng)預(yù)設(shè)，科學(xué)點(diǎn)撥與指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生找到模型的特征，奠定建模的基礎(chǔ)。

如教學(xué)“速度×?xí)r間=路程”問(wèn)題時(shí)， 創(chuàng)設(shè)趕火車的情境：現(xiàn)有10名旅客要趕往30千米遠(yuǎn)的一個(gè)火車站去乘火車，離開(kāi)車時(shí)間只有3小時(shí)了，他們步行的速度為每小時(shí)3千米，還可以用的交通工具是一輛小汽車，但這輛小汽車連司機(jī)在內(nèi)至多只能乘坐5人，汽車的速度為每小時(shí)60千米。問(wèn)：這10名旅客能趕上火車嗎？

又如教學(xué)“平行四邊形的面積”問(wèn)題時(shí)， 創(chuàng)設(shè)分地的情境：以前有個(gè)地主，他給兩個(gè)兒子分地，給大兒子分長(zhǎng)方形的地，給小兒子分平行四邊形的地，如右圖所示，你覺(jué)得公平嗎？

2.充分感知，建立關(guān)系

建立數(shù)學(xué)關(guān)系是建模的起始階段，用數(shù)字、圖表、算式、方程等符號(hào)來(lái)表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，形成模型的基礎(chǔ)框架，便于更深入地思考與建立模型。以上述中“速度×?xí)r間=路程”模型為例：

師：這個(gè)問(wèn)題中，每個(gè)數(shù)量表示什么？

生1：

師：你能找到這些數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

生2：總路程、步行速度可以求出步行時(shí)間。

生3：總路程、汽車速度可以求出行駛時(shí)間。

生4：總?cè)藬?shù)、一次能載人數(shù)可以求出載幾次。

通過(guò)活動(dòng)，學(xué)生分析問(wèn)題中存在的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘，建立數(shù)學(xué)關(guān)系，這就是建模過(guò)程。

3.合作探究，抽象本質(zhì)

解決過(guò)初級(jí)問(wèn)題后，學(xué)生有了初步解決問(wèn)題的方法，但還沒(méi)有形成解決一類問(wèn)題的模型。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生類比、分析，抽象出問(wèn)題的特點(diǎn)與解決思路，能培養(yǎng)起學(xué)生建模素養(yǎng)。以“烙餅問(wèn)題”模型為例，當(dāng)已經(jīng)建立“同時(shí)烙”模型后，讓學(xué)生合作探究“交替烙”模型。

師：小紅一家3口人，如果媽媽要烙3張餅，怎樣烙才能讓大家盡快吃上餅？我們來(lái)幫小紅想想辦法吧。要求：（1）想一想，3張餅怎樣烙最節(jié)省時(shí)間;（2）同桌交流，擺一擺，畫一畫;（3）將方案記錄在練習(xí)紙上。

生1：我們用了12分鐘。先用同時(shí)烙法烙第1、2張餅，再用1張餅的烙法烙第3張餅。

生2：我們用了9分鐘。先烙第1、2張餅的正面，然后烙第1張餅的反面和第3張餅的正面，最后烙第2、3張餅的反面。

生3：按照生2的烙法，每次鍋里都有兩張餅在烙，只需要烙3次，所以節(jié)省了時(shí)間。

師：看來(lái)要想節(jié)約時(shí)間，就必須保證每次鍋里都有2張餅，我們把這種省時(shí)的烙法叫作“交替烙”。

師：烙2張餅的最佳方法是“同時(shí)烙”，烙3張餅的最佳方法是“交替烙”。

4.回歸生活，辨識(shí)應(yīng)用

將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感知的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題并不是數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的終結(jié)，而是利用建模過(guò)程中所采用的策略，對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整、修正，或能正確區(qū)分不同模型，從而解決問(wèn)題。

師：美味餐廳只有2名廚師，餐廳里來(lái)了3位客人，每人都點(diǎn)了1個(gè)菜，假設(shè)每名廚師炒每個(gè)菜的時(shí)間為5分鐘，客人等待的總時(shí)間最少是多少分鐘？

生1：這個(gè)問(wèn)題與“烙餅問(wèn)題”類似。2名廚師相當(dāng)于鍋里最多同時(shí)烙2張餅，3位客人相當(dāng)于3張餅，3個(gè)菜相當(dāng)于餅的正反兩面，炒一個(gè)菜的時(shí)間相當(dāng)于烙一面的時(shí)間，等待的時(shí)間相當(dāng)于烙餅的時(shí)間。

生2：烙餅的最短時(shí)間=餅的張數(shù)×每面的時(shí)間

等待的總時(shí)間=人數(shù) ×炒每個(gè)菜的時(shí)間

所以等待的總時(shí)間=3×5=15（分）。

學(xué)生運(yùn)用新學(xué)習(xí)到的“烙餅問(wèn)題”模型，解決關(guān)于炒菜的問(wèn)題，并遷移延伸到其他情境方面，開(kāi)拓了思維，發(fā)展了建模素養(yǎng)。

總之，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建、模型思想的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)都具有重要教學(xué)價(jià)值，教師在實(shí)際教學(xué)中要不斷探索建模教學(xué)的有效實(shí)施策略，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)教學(xué)改革取得實(shí)效。

（責(zé)編 吳美玲）