“相交線與平行線”學習指導

王宗信

數(shù)學里圖形的學習是非常有趣的，同時也是有規(guī)律的.通過數(shù)量關系可以判斷圖形的位置關系，反之，通過圖形的位置關系也可以確定相應的數(shù)量關系，要做到這些，需要通過必要的推理.

一、認識相交線 （一）兩條直線相交產生的四個角之間的關系

1.鄰補角.

如圖1，畫一個平角，則∠AOB=180°.接著畫射線OC，如圖2，則∠AOB被分割為∠AOC與∠BOC，∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=1800.像∠AOC與∠BOC這樣的兩個角互為鄰補角.兩個角互為鄰補角要滿足兩個條件：（1）有一條邊互相重合（OC為兩個角的公共邊）;（2）另外一條邊互為反向延長線，

還可以通過另外的作圖來理解鄰補角.如圖3，已知∠AOC，反向延長射線OA，得到射線OB與∠BOC（如圖4），∠AOC與∠BOC互為鄰補角：或者在圖3中，反向延長射線OC，得到射線OD與∠AOD（如圖5），∠AOC與∠AOD互為鄰補角.

2.對頂角.

通過作圖我們得到：∠AOC小于180°，可以畫出它的兩個鄰補角（∠BOC與∠AOD），如圖6.而且我們知道，∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB=180°，∠AOC+ ∠AOD=∠COD=180°，根據“同角的補角相等”，可以得到∠BOC= ∠AOD.從圖6中，我們可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠A OD不僅在數(shù)量上相等，而且這兩個角還有特殊的位置關系：這兩個角有公共的頂點，∠BOC的兩邊分別是∠AOD兩邊的反向延長線.像∠BOC與∠AOD這樣的兩個角，有公共頂點，其中一個角的兩邊是另外一個角的兩邊的反向延長線，我們稱之為對頂角，圖6中還有一對對頂角：∠AOC與∠BOD.在上述探究的過程中，我們得到對頂角的性質：對頂角相等，

在圖6中，我們還可以發(fā)現(xiàn)，直線AB與CD相交于點O.一個周角被分割成四個小于180°的角：∠AOD，∠AOC.∠BOC.∠BOD.這四個角有公共頂點O，它們有兩種位置關系.（1）有一條公共邊，它們互為鄰補角，共有四對角：①∠AOD與∠AOC;②∠AOC與∠BOC;③∠BOD與∠BOC;④∠BOD與∠A OD. （2）無公共邊，它們互為對頂角，共有兩對角：①∠AOC與∠BOD;②∠BOC與∠AOD.把∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD分別標記為∠1，∠2，∠3，∠4（如圖7），四個角兩兩之間有：兩對對頂角（∠1與∠3，∠2與∠4）;四對鄰補角（∠1與∠2，∠3與∠4，它們的和是∠COD，∠2與∠3，∠1與∠4，它們的和是∠AOB）.

在圖8的∠1，∠2，∠3，∠4四個角中，只要有一個為900，則其兩個鄰補角都是90°.根據對頂角相等，它的對頂角也是90°，也就是說這四個角中，只要有一個角是直角，其他的三個角也都是90°.當兩條直線相交時，只要有一個夾角為90°，我們就說這兩條直線互相垂直.

（二）認識一條直線分別與兩條直線相交產生的八個角之間的關系

一條直線與兩條直線分別相交，或者說兩條直線被第三條直線所截，會產生如圖9所示的八個角，為了便于表述，我們把直線EF稱為截線，把直線AB.CD稱為被截線.其中直線EF與直線AB相交產生四個角∠1.∠2，∠3，∠4，這四個角之間只有兩種位置關系：鄰補角或對頂角.它們有公共頂點，同樣直線EF與直線CD相交產生四個角∠5.∠6，∠7，∠8，這四個角之間也只有兩種位置關系：鄰補角或對頂角.這四個角也有公共頂點.我們研究直線AB，CD被第三條直線EF所截得到的八個角中沒有公共頂點的兩個角之間的關系，即∠1，∠2，∠3，∠4這四個角中的一個角與∠5，∠6，∠7，∠8這四個角中的一個角之間的關系.

1.同位角.

同位角，顧名思義是同樣位置的角，同樣位置是指兩個角位于截線的同一側，同時也要在兩條被截線的同一側，觀察圖9中的∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7.∠4與∠8.

從圖10、圖11、圖12、圖13四個圖中我們可以發(fā)現(xiàn)互為同位角的兩個角組成的圖形形狀特別像字母“F”或者字母“F”旋轉、翻折之后的樣子，并且可以得到這樣一個結論：兩條直線被第三條直線所截，產生的八個角中有四對同位角.

2.內錯角.

兩條直線被第三條直線所截，產生的八個角中，夾在兩條被截線之間（稱之為“內”）并且在截線的兩側（稱之為“錯”）成交錯狀的兩個角為內錯角.觀察圖9中∠3與∠5，∠4與∠6.

內錯角，形象地說就是夾在兩條被截線之間，并且被截線錯開來的兩個角，那么八個角中符合條件的角只有兩對.我們可以發(fā)現(xiàn)互為內錯角的兩個角組成的圖形形狀像字母“Z”或者字母“Z”旋轉、翻折之后的樣子.

3.同旁內角.

兩條直線被第三條直線所截，產生的八個角中，夾在兩條被截線之間（稱之為“內”）并且在截線的同側的兩個角為同旁內角，觀察圖9中∠3與∠6，∠4與∠5.

同旁內角，形象地說就是夾在兩條被截線之間，并且在截線同旁的兩個角，那么八個角中符合條件的角只有兩對.我們可以發(fā)現(xiàn)互為同旁內角的兩個角組成的圖形形狀像字母“U”或者字母“U”旋轉、翻折之后的樣子.

三、認識平行線

在同一平面內，兩條不重合的直線只能有兩種位置關系：相交或者不相交，平面內兩條直線不相交，我們說這兩條直線平行，直線a與直線b平行，記作a//b.

如何判定兩條直線互相平行呢？

同學們在小學學過利用直尺和三角尺畫平行線.這種作圖實際上就是把三角尺的600的角進行平移，通過保證同位角相等，畫出了兩條平行線.我們認可這個做法，作為一個基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

這可以引發(fā)我們思考：內錯角、同旁內角是否可以幫助我們判定兩條直線平行？

圖18中，直線AB，CD被直線EF所截，同位角有四對：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8.這四對同位角只要有一對相等，就可以判定直線AB//CD.

圖中內錯角有兩對：∠3與∠5，∠4與∠6.我們鎖定∠3與∠5，猜想：若∠3=∠5，則直線AB與CD平行.我們應想辦法把內錯角轉移到同位角上，∠3有沒有同位角？有，∠3的同位角是∠7，∠7與∠5有沒有關系？∠7與∠5是對頂角，對頂角有何關系？對頂角相等！所以∠7=∠5，又因為∠3=∠5，所以∠7=∠3，我們推出了同位角∠7與∠3相等，那么AB//CD.

剛才的推理過程用數(shù)學的符號語言這樣寫：

已知：如上頁圖18，直線AB，CD被直線EF所截，∠3=∠5.

求證：AB//CD.

證明：根據對頂角相等，所以∠7=∠5.

又因為∠3=∠5（已知），所以∠7=∠3（等量代換）.

又因為∠7與∠3是同位角，根據“同位角相等，兩直線平行”，所以AB//CD.

根據上面的探究，我們得到：

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.

同學們可以用同樣的思路與方法來探究：同旁內角互補，兩直線平行.

這就是通過數(shù)量關系判定圖形的位置關系的應用.反過來，通過兩條直線平行也可以確定同位角的關系、內錯角的關系、同旁內角的關系，