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    外角和為360°

    2020-02-04 06:37:30張景中
    關(guān)鍵詞:陳省身五邊形邊形

    張景中

    美籍華人陳省身教授是當(dāng)代舉世聞名的數(shù)學(xué)家,他十分關(guān)心祖國數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展.人們稱贊他是“中國青年數(shù)學(xué)學(xué)子的總教練”.

    1980年,陳省身教授在北京大學(xué)的一次講學(xué)中語驚四座:“人們常說,三角形內(nèi)角和等于1800.但是,這是不對的!”

    大家愕然,怎么回事?三角形內(nèi)角和是1800.這不是數(shù)學(xué)常識嗎?

    接著,這位老教授對大家的疑問作了精辟的解答:

    說“三角形內(nèi)角和為180°”不對,不是說這個(gè)事實(shí)不對,而是說這種看問題的方法不對,應(yīng)當(dāng)說“三角形外角和是360°”!

    把眼光盯住內(nèi)角,只能看到:

    三角形內(nèi)角和是180°:

    四邊形內(nèi)角和是360°;

    五邊形內(nèi)角和是540°;

    ……

    n邊形內(nèi)角和是(n-2)x180°.

    這就找到了一個(gè)計(jì)算多邊形內(nèi)角和的公式.公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n.

    如果看外角呢?

    三角形的外角和是360°;

    四邊形的外角和是360°;

    五邊形的外角和是360°;

    ……

    任意n邊形的外角和都是360°.

    這就把多種情形用一個(gè)十分簡單的結(jié)論概論起來了,用一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式,找到了更一般的規(guī)律.

    設(shè)想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子(如圖1).每經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn),它前進(jìn)的方向就要改變一次,改變的角度恰好是這個(gè)頂點(diǎn)處的外角.爬了一圈,回到原處,方向和出發(fā)時(shí)一致了,角度改變量之和當(dāng)然恰好是360°.

    這樣看問題,不但給“多邊形的外角和等于360°”這條普遍規(guī)律找到了直觀上的解釋,而且立刻把我們的眼光引向了更寬廣的天地.

    一條凸的閉曲線——卵形線,談不上什么內(nèi)角和與外角和.可是螞蟻在上面爬的時(shí)候,它的方向也在時(shí)時(shí)改變.它爬一圈,角度改變量之和仍是360°(如圖2).

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