求三角函數(shù)值的多種途徑

陳德前

在歷年的中考試題中，求三角函數(shù)值是一個(gè)熱點(diǎn)，現(xiàn)以中考試題為例，說(shuō)明求三角函數(shù)值的常用方法，

一、運(yùn)用定義求三角函數(shù)值

例1 （2019.眉山）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE.使得點(diǎn)D落在AC上，則tan∠LECD的值為

.

解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=13.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=13，AD=5，DE=12.

∴ CD=8.

∴tanLECD= DE/DC=12/8=3/2.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用定義求三角函數(shù)值，一般先用勾股定理求出直角三角形的相應(yīng)邊長(zhǎng)，再求銳角三角函數(shù)的值，

二、構(gòu)造贏角三角形求三角函數(shù)值

例2 （2019.宜昌）如圖2，在5x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（

）.

點(diǎn)評(píng)：在非直角三角形中求銳角三角函數(shù)值，要先作高線，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的組合.解答網(wǎng)格問(wèn)題，要充分利用網(wǎng)格的特點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：引進(jìn)參數(shù)求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般先設(shè)一個(gè)參數(shù)（比如本例設(shè)AB=x），再用含參數(shù)的代數(shù)式表示出直角三角形其他各邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義來(lái)求解.

點(diǎn)評(píng)：求解這類問(wèn)題時(shí)要熟記特殊角的三角函數(shù)值，有時(shí)需要借助三角形的內(nèi)角和定理求出未知的特殊角的度數(shù)，再利用特殊角的三角函數(shù)值得到答案.本題也可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)要求的角不在直角三角形中時(shí)，除了可以通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形，也可以利用等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行四邊形、圓的性質(zhì)等知識(shí)，將所要求的三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，再利用等角的三角函數(shù)值來(lái)獲得答案.

點(diǎn)評(píng)：本題的解法比較多，這里從整體出發(fā)，通過(guò)求相似三角形的相似比求出直角三角形兩直角邊的比，顯得簡(jiǎn)單快捷.

2.整體處理兩角的和

例7 （2019.自貢）如圖5.在由10個(gè)完全相同的等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，α、β如圖所示，則cos（α+β）=____.

點(diǎn)評(píng)：本題考查銳角三角函數(shù)、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形變化規(guī)律等知識(shí)，構(gòu)造出一個(gè)內(nèi)角等于a+p的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.整體求三角函數(shù)和（差）的值

例8 （2019.綿陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖6所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形的面積是125，小正方形的面積是25，則（sinθ-cosθ）2=（

）.

點(diǎn)評(píng)：直接求出cos0或sin0的值是比較困難的，這里利用“趙爽弦圖”中小正方形的邊長(zhǎng)等于直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的差，再將直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)用大正方形的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，進(jìn)而整體求出了cosθ-sinθ的值.