求值如添“翼”平行“牽”相似

王鋒

在人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章“相似三角形的判定”一節(jié)中，有一個(gè)三角形相似的判定定理——“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”.與此判定定理相關(guān)的習(xí)題“占據(jù)”了相似圖形問(wèn)題的“半壁江山”，因此我們透徹理解這個(gè)定理的內(nèi)涵，掌握這個(gè)定理所蘊(yùn)涵的基本的相似圖形，對(duì)解決與此相關(guān)的相似問(wèn)題具有非常重要的作用.

如圖1、圖2，DE//BC，△ADE∽△ABC.

為了在解決問(wèn)題時(shí)敘述方便，我們把上述兩個(gè)圖形稱為一對(duì)平行線型的相似圖形.

在解決相似圖形中求線段的比值及成比例線段這類問(wèn)題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題中根據(jù)題目的條件無(wú)法直接獲取成比例的線段，常常需添加平行線構(gòu)造相似三角形來(lái)轉(zhuǎn)移比例線段.平行線位置的選擇，不僅關(guān)系到求解的繁簡(jiǎn)，而且決定解題的成敗，怎樣作平行線才能獲得最佳的解題途徑呢？下面舉例說(shuō)明.

解法8：過(guò)點(diǎn)E作EF//BC交AD于點(diǎn)F，則△AEF∽△ACD，△EFG∽△BDG.解法略，請(qǐng)讀者朋友類比以上解法給出問(wèn)題的解答過(guò)程.

解法9：過(guò)點(diǎn)E作EF//AD交BC于點(diǎn)F，則△CEF∽△CAD，△BGD∽△BEF解法略，請(qǐng)讀者朋友類比以上解法給出問(wèn)題的解答過(guò)程，

反思上面證明的探索過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)：我們選取了過(guò)△ABC的各個(gè)頂點(diǎn)作AD或BE或此頂點(diǎn)所在角的對(duì)邊的平行線，或過(guò)兩邊上的分點(diǎn)作平行線，來(lái)構(gòu)造出兩組平行線型的相似三角形，從而利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，結(jié)合比例的性質(zhì)，通過(guò)比例線段之間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)獲取線段長(zhǎng)度的比值.從解題過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)：由作出的平行線能夠得到兩個(gè)“A”型或兩個(gè)“X”型或一個(gè)“A”型一個(gè)“X”型的相似三角形，這樣將它們得到的比例線段根據(jù)目標(biāo)相互代換“融合”在一起，便可以打通探究線段長(zhǎng)度比值之間的“脈絡(luò)”.