也談巧用隱形圓解題

郭敏

摘? 要：在近幾年初中數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題中，常涉及到隱形圓，這些題目難度較大，得分率低。本文通過(guò)歸納了能構(gòu)造隱形圓的三個(gè)條件，使學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題找到突破口，從而提升數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

關(guān)鍵詞：定點(diǎn);定長(zhǎng);定角;構(gòu)造;隱形圓;四點(diǎn)共圓

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）35-045-02

在近幾年不少地區(qū)的初中數(shù)學(xué)中考題中，有一些壓軸題，呈現(xiàn)方式多樣、入手較難、得分率低，但深入挖掘題目中的隱含條件或潛在信息，通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化或變形，反而可以轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問(wèn)題，最終利用圓的知識(shí)來(lái)解決，我們稱這類問(wèn)題為隱形圓問(wèn)題。因此，為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧，在第二輪中考復(fù)習(xí)中，筆者在講隱形圓這個(gè)專題時(shí)，給學(xué)生歸納了構(gòu)造隱形圓解題的三種思路。

一、由定長(zhǎng)構(gòu)造隱形圓

當(dāng)題目中的條件出現(xiàn)“定長(zhǎng)”這個(gè)條件時(shí)，可考慮作隱形圓，然后利用圓中相關(guān)性質(zhì)來(lái)解題，達(dá)到化難為易、事半功倍的解題效果。

分析：觀察題目中的條件EA=EB=EC，既A、B、C三點(diǎn)到點(diǎn)E的距離相等，這就聯(lián)想到圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的組成的圖形叫做圓。則以點(diǎn)E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑作出隱形圓，如圖2，由圓的性質(zhì)：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，可求得∠AEC=2∠ABC=140°，然后再通過(guò)四邊形內(nèi)角和，就可以得到∠DAE+∠DCE=360°-∠AEC-∠ADC=360°-140°-70°=150°.

該題的難度不大，比較容易從條件EA=EB=EC中構(gòu)造出隱形圓，先讓學(xué)生進(jìn)行一個(gè)熱身，再進(jìn)入難度稍大的題目，這樣學(xué)生就比較容易理解了。

分析：由條件AC = BC = DC，可以構(gòu)造出以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑的隱形圓，如圖4.再延長(zhǎng)AC交⊙C于E，連接DE.因?yàn)锳C = BC = DC= 4，所以AE=2AC=8，又因?yàn)锳C=DC，所以∠DAC=∠ADC.又因?yàn)锳B∥CD，則∠BAD=∠ADC，所以∠DAC=∠BAD.根據(jù)在同圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，可得弧BD=弧ED，所以BD=ED.又因?yàn)锳E是直徑，由直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以∠ADE=90°。在Rt△ADE中，由勾股定理可得ED=? 82-62 =2? 7，所以BD=2? 7 .

學(xué)生在理解了例1后，做這題時(shí)可以很快構(gòu)造出隱形圓，再利用圓的相關(guān)性質(zhì)就可以求出BD的長(zhǎng)了。

歸納：當(dāng)題目條件中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，并能找到這個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的這些條件時(shí)，就可以根據(jù)圓的定義構(gòu)造出隱形圓，再結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合思維和解題能力。

二、由定角構(gòu)造隱形圓

當(dāng)題目中出現(xiàn) “定角”這個(gè)條件時(shí)，可考慮構(gòu)造隱形圓來(lái)解題。這是根據(jù)圓中的任意一條弦長(zhǎng)確定后，則所對(duì)的圓周角也確定而來(lái)的。

例3：如圖5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=90°，求線段CP的最小值。

分析：由P是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=90°，這個(gè)條件中可以看到：P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠APB=90°。因此，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，作出此圓，圓心為O，如圖6.連接OC，交⊙O于點(diǎn)P，由“兩點(diǎn)之間線段最短”就可以得知此時(shí)的CP長(zhǎng)度最小。因?yàn)锳B=6，所以O(shè)B=OP=? ? AB=3.在Rt△OBC中，由勾股定理可得OC=? 32+42? =5，所以CP=OC-OP=5-3=2.

本題由“P是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=90°”可知∠APB是一個(gè)定角，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB為直徑的圓弧上，從而構(gòu)造出隱形圓。

例4：如圖7，在四邊形ABCD中，∠B=60，∠D=30，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度數(shù)

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AE2=BE2+CE2。求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度。

歸納：根據(jù)定理“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”，當(dāng)題目條件中存在“定角”時(shí)，可知這些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓上，從而構(gòu)造出隱形圓，使問(wèn)題中隱晦不清的關(guān)系清晰展現(xiàn)出來(lái)。

三、由四點(diǎn)共圓構(gòu)造隱形圓

當(dāng)題目中的條件有“對(duì)角互補(bǔ)”這樣的條件時(shí)，可考慮構(gòu)造隱形圓來(lái)解題。

分析：由條件∠ACB=∠ADB=90°，則可由四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)可證得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而構(gòu)造出隱形圓，如圖11，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得∠ADC=∠ABC=25°。

例6：已知四邊形ABCD是正方形，AB=4，點(diǎn)E在AD邊上，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，∠DCE=∠BCF，AE= 1 . 求：tan∠ACE.

分析：由正方形ABCD可得∠DAB=∠DCB=∠D=∠ABC

筆者在講隱形圓專題時(shí)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際能力，設(shè)計(jì)的習(xí)題由淺入深，逐步鞏固強(qiáng)化。使學(xué)生對(duì)存在類似這三種條件的題目，知道入手方向，更好地借助圓的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造隱形圓來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種廣泛的解題技巧。解題時(shí)，需要我們通過(guò)分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱形圓，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、特殊與一般結(jié)合等思想方法。這也要求在平時(shí)的教學(xué)中教師多引導(dǎo)學(xué)生善于從復(fù)雜的幾何圖形中抓住圖形的本質(zhì)特征，抽象出常用的數(shù)學(xué)模型，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而不斷提高數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

參考文獻(xiàn)：

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[3]王運(yùn)思.圖中無(wú)圓，心中有圓，“圓”來(lái)真好 [J] .數(shù)理化學(xué)習(xí)，2018（5）：3—4.

（作者單位：廣州市花都區(qū)新華街云山學(xué)校，廣東? ?廣州? ?510000）