走進(jìn)數(shù)學(xué)“精神實(shí)體”培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)科素養(yǎng)”

周浩

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，需引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”。引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)思維的“精神實(shí)體”是踐行這—理念的重要抓手。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);精神實(shí)體;學(xué)科;核心素養(yǎng)

荷蘭數(shù)學(xué)家、教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)一個(gè)是“精神實(shí)體”，一個(gè)是“實(shí)體”?！熬駥?shí)體”是數(shù)學(xué)的根本，是數(shù)學(xué)的靈魂。通過(guò)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容這些“實(shí)體”走進(jìn)數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)才能真正形成。

一、“結(jié)構(gòu)-解構(gòu)-建構(gòu)”——引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)知識(shí)的“精神實(shí)體”

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前，總有一個(gè)屬于他自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)驗(yàn)。教學(xué)中，我們一方面要幫助學(xué)生提高原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與清晰度，另一方面，要讓兒童真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，擴(kuò)充原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，或?qū)⒃薪Y(jié)構(gòu)打破，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的再建構(gòu)，進(jìn)入知識(shí)的“精神實(shí)體”，將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)落到實(shí)處。

【案例1】“平均數(shù)”

平均數(shù)既有它的算法意義，又有它的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，新課程特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度引領(lǐng)學(xué)生理解平均數(shù)。在教學(xué)中如何落實(shí)這一理念呢？一位老師通過(guò)創(chuàng)設(shè)1分鐘投籃比賽的情境，從以下三個(gè)層次進(jìn)行落實(shí)。

（1）創(chuàng)設(shè)特殊數(shù)據(jù)—一喚起生活經(jīng)驗(yàn)

師：小華投了3次：5、5、5。用哪個(gè)數(shù)表示小華1分鐘投中的個(gè)數(shù)比較合適？

（2）引發(fā)矛盾沖突——感悟移多補(bǔ)少

師：小軍出場(chǎng)了，他也投了3次：3、4、5。表示小軍投籃的水平用哪個(gè)數(shù)比較合適呢？

（3）精心設(shè)計(jì)懸念——理解概念特性

師：老師想考考小強(qiáng)投籃到底怎么樣，讓他投四次，小強(qiáng)前3次投籃的情況：4、6、50從目前看，他平均1分鐘投中幾個(gè)？小強(qiáng)一定贏嗎？小強(qiáng)第4次投籃的成績(jī)是——1。小強(qiáng)是贏了還是輸了？

生：輸了，最后一次投得太少了，把前面投得多的個(gè)數(shù)拉下來(lái)了！

師：估—估，小強(qiáng)現(xiàn)在的平均成績(jī)大約是幾個(gè)？

生：大約是4個(gè)。

師：為什么不估計(jì)平均成績(jī)是6個(gè)？

生：6個(gè)是最多的，它還要移一些補(bǔ)給少的，所以不可能是6個(gè)。

師：那為什么不估計(jì)平均成績(jī)是1個(gè)呢？最后一次只投1個(gè)呀！

生：其他幾次都比1多，移一些給它后，就比1多了。

師：平均成績(jī)比最好的成績(jī)一

生：小一些。

生：還要比最小的數(shù)大一些。

生：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

通過(guò)以上幾個(gè)層次的教學(xué)，平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)（雖然有時(shí)可能等于某個(gè)原始數(shù)據(jù)），但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，平均數(shù)能刻畫(huà)、代表一組數(shù)組的整體水平，深入學(xué)生心田;用移多補(bǔ)少和除法計(jì)算平均數(shù)的方法也是在學(xué)生感悟中所得。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)入了平均數(shù)的“精神實(shí)體”，統(tǒng)計(jì)觀念得以落實(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)自然得以提升。

二、“猜想-驗(yàn)證-探究”——引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)過(guò)程的“精神實(shí)體”

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中，我們要讓學(xué)生體驗(yàn)過(guò)程中的價(jià)值，感受過(guò)程中所蘊(yùn)含的精神價(jià)值。

【案例2】“平行四邊形的面積”

在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)，多種版本的教材都有“你能把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形嗎”這樣的提示語(yǔ)。而為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形這一本質(zhì)學(xué)生心中無(wú)數(shù)，—位老師從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行引導(dǎo)。

（1）引導(dǎo)猜想，驗(yàn)證聚焦

師：下面這個(gè)平行四邊形的面積是多少，你能猜一猜怎樣計(jì)算嗎？

生1：9×5=45（平方厘米）

生2：5×4=20（平方厘米）

生3：9×4=36（平方厘米）

師：怎樣證明大家的猜想是否正確呢？

生：可以用數(shù)方格有方法進(jìn)行驗(yàn)證。

師：我們先來(lái)驗(yàn)證第—種。9×5——這是用“底×鄰邊”的，（驗(yàn)證的過(guò)程中滲透轉(zhuǎn)化思想）你發(fā)現(xiàn)什么？

生：比平行四邊形的實(shí)際面積大！用“底×鄰邊”計(jì)算平行四邊形的面積是錯(cuò)誤的。

師：猜想二中，5×4——這是用“鄰邊×高”的，是否正確呢？

生：也不正確，比平行四邊形的面積??！

師：我們來(lái)繼續(xù)驗(yàn)證猜想三，9×4——這是用“底×高”的，是否正確呢？

生：用“9×4=36”個(gè)面積單位去鋪這個(gè)平行四邊形，正好鋪滿。因此用“底×高”計(jì)算平行四邊形的面積是正確的。

（2）引領(lǐng)方法，自主探索

師：這個(gè)平行四邊形的面積可以用“底×高”來(lái)計(jì)算。這到底是巧合還是普遍適用的方法呢？我們還可以用什么方法去推導(dǎo)出平行四邊形的面積呢？

生：我們可以把平行四邊形剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，通過(guò)研究平行四邊形和長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，得出平行四邊形面積的計(jì)算方法。

在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上通過(guò)驗(yàn)證聚焦到平行四邊形的面積可以用“底×高”來(lái)計(jì)算。把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形去探索，是學(xué)生的感悟所得，是學(xué)生的內(nèi)心需求，學(xué)生進(jìn)入轉(zhuǎn)化的“精神實(shí)體”，轉(zhuǎn)化思想進(jìn)入學(xué)生心田，操作價(jià)值得以彰顯，素養(yǎng)得以提升。

三、“平衡-失衡-平衡”——引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)方法的“精神實(shí)體”

圖式理論啟示我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的過(guò)程是不斷調(diào)用頭腦中已有圖式、不斷豐富原有圖式、不斷構(gòu)建新圖式的過(guò)程。對(duì)學(xué)生來(lái)講，數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得必須經(jīng)歷“平衡-失衡-再平衡”的過(guò)程。教學(xué)中，讓學(xué)生進(jìn)入知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的“精神實(shí)體”，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能自然萌生。

【案例3】“異分母分?jǐn)?shù)加減法”

一位老師通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生列出算式：1/2+1/4。如何計(jì)算結(jié)果呢？學(xué)生中出現(xiàn)了三種方法：一是將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算，結(jié)果是0.75;二是通過(guò)畫(huà)圖得到結(jié)果是3/4;三是先通分，1/2+1/4=2/4+1/4=3/4。在學(xué)生理解了這三種方法的基礎(chǔ)上，教師出示了5/6-1/3讓學(xué)生繼續(xù)探索。在分享階段，學(xué)生沒(méi)有用小數(shù)解決（無(wú)法轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)），少數(shù)人用畫(huà)圖的方法解決（比較麻煩），絕大多數(shù)人均運(yùn)用通分的方法計(jì)算。教師在引導(dǎo)學(xué)生比較中懂得：異分母分?jǐn)?shù)加減法，運(yùn)用通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算具有普遍性。

通過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生充分理解了異分母加減法“先通分，再計(jì)算”的道理，學(xué)生通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的反思與比較，在“掌握了方法-感悟某些方法的局限性-理解通分方法的普適性”中，進(jìn)入異分母加減法背后的數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化：新舊知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化、分?jǐn)?shù)小數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、數(shù)與圖形之間的轉(zhuǎn)化等）和基本方法（異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù);計(jì)算單位不統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為計(jì)算單位統(tǒng)一）的“精神實(shí)體”，課堂的教學(xué)有了寬度、廣度與深度。

四、“鋪墊-創(chuàng)造-延伸”——引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)思維的“精神實(shí)體”

數(shù)學(xué)知識(shí)的前后聯(lián)系較強(qiáng)，在教學(xué)新知之前，教師要通過(guò)不同的方式，暴露學(xué)生的思維，讓學(xué)生的思維看得見(jiàn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思維同行，在思維中體會(huì)數(shù)學(xué)的力量，引向數(shù)學(xué)思維中的“精神實(shí)體”。

【案例4】“整萬(wàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)”

師：老師報(bào)數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谟?jì)算器上撥數(shù)。（學(xué)生根據(jù)老師報(bào)的數(shù)在只有四個(gè)位的計(jì)數(shù)器上撥出5、50、500、5000）

師：剛才撥出的四個(gè)數(shù)，它們的大小—樣嗎？

生：不—樣，因?yàn)樗鼈兯诘臄?shù)位不同。

師：同樣是五顆珠子，因?yàn)閾茉诓煌臄?shù)位上，表示的數(shù)的大小不—樣。猜—猜，老師下面要報(bào)哪一個(gè)數(shù)？

生：50000。

師：50000是我們以前沒(méi)有學(xué)過(guò)的大數(shù)。你能想出辦法撥出這個(gè)數(shù)嗎？

生1：50000是五位數(shù)，我們的計(jì)數(shù)器只有四個(gè)數(shù)位，我們把同座兩人的計(jì)數(shù)器拼在一起就有了八個(gè)數(shù)位，在左邊計(jì)數(shù)器的個(gè)位上撥出五個(gè)珠子就是50000。

生2：我有—點(diǎn)建議，在左邊的計(jì)數(shù)器的個(gè)位上撥五顆珠子，表示的是五，不是五萬(wàn)，應(yīng)該把左邊計(jì)數(shù)器上的“個(gè)”改成“萬(wàn)”。

生3：“個(gè)”改成了“萬(wàn)”，“十”“百”“千”也應(yīng)該改一改。

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你是怎么改的嗎？

生4：原來(lái)“十”的位置正好對(duì)著“十萬(wàn)”，只要直接添一個(gè)“萬(wàn)”字，“百萬(wàn)”“千萬(wàn)”也—樣。

師：今天學(xué)習(xí)的計(jì)數(shù)單位千萬(wàn)、百萬(wàn)、十萬(wàn)、萬(wàn)和原來(lái)的計(jì)數(shù)單位千、百、十、個(gè)之間存在一—對(duì)應(yīng)的關(guān)系。正因?yàn)槿绱?，我?guó)的計(jì)數(shù)方法中，把這四個(gè)數(shù)位稱為“萬(wàn)級(jí)”;原先學(xué)習(xí)的千位、百位、十位、個(gè)數(shù)稱為“個(gè)級(jí)”。

位值原理是認(rèn)識(shí)自然數(shù)的核心所在。教師以“你能想出辦法撥出50000嗎？”點(diǎn)燃了學(xué)生創(chuàng)新思維的火花，學(xué)生產(chǎn)生了“把兩個(gè)計(jì)數(shù)器疊起來(lái)變成八位計(jì)數(shù)器”的方法，在交流分享中學(xué)生實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的同化。這樣的教學(xué)充分尊重了兒童的認(rèn)知水平，又培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新能力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維，將思維的觸角指向數(shù)學(xué)的背后，感受到了認(rèn)數(shù)實(shí)體后的“精神實(shí)體”。

讓數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”永存學(xué)生心間，讓數(shù)學(xué)素養(yǎng)在“精神實(shí)體”中自然萌發(fā)，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一個(gè)重要抓手。