一種新擴(kuò)頻碼的性能分析

馬旭輝，荊文芳

（1.中國(guó)科學(xué)院 國(guó)家授時(shí)中心，西安710600；2.中國(guó)科學(xué)院 精密導(dǎo)航定位與定時(shí)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710600；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049；4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 電子電氣與通信工程學(xué)院，北京101048）

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)大多采用擴(kuò)頻技術(shù)來(lái)傳輸導(dǎo)航信息，因此擴(kuò)頻碼的優(yōu)劣對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的性能有決定性影響。一方面，擴(kuò)頻碼起到區(qū)分導(dǎo)航衛(wèi)星的作用；另一方面，擴(kuò)頻碼用于測(cè)距，其性能的優(yōu)劣直接影響定位精度。此外，擴(kuò)頻碼還影響導(dǎo)航信號(hào)功率譜的起伏。正因?yàn)閿U(kuò)頻碼如此重要，對(duì)擴(kuò)頻碼的研究從未停止過(guò)，并且擴(kuò)頻碼的設(shè)計(jì)思路正變得越來(lái)越寬。傳統(tǒng)的衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)擴(kuò)頻碼采用線性反饋移位寄存器產(chǎn)生，如m序列和Gold碼，這兩種擴(kuò)頻碼存在線性復(fù)雜度低的缺點(diǎn)，保密性受到一定威脅。文獻(xiàn)[1]提出了一種新的混沌序列擴(kuò)頻碼，該擴(kuò)頻碼不僅具有良好的捕獲性能和抗窄帶干擾性能，同時(shí)保持了Gold碼的高跟蹤性能，而且顯著提高了復(fù)雜度，加強(qiáng)了可靠性和安全性。文獻(xiàn)[2]提出一種非等長(zhǎng)的擴(kuò)頻碼設(shè)計(jì)方法，改善了強(qiáng)多址干擾環(huán)境下弱信號(hào)的捕獲性能。文獻(xiàn)[3]提出的正交擴(kuò)頻碼構(gòu)造方法具有很強(qiáng)的普適性，利用該方法生成的擴(kuò)頻碼具有優(yōu)良的相關(guān)性和線性復(fù)雜度。本文借鑒該方法，構(gòu)造了一種全新的擴(kuò)頻碼，并對(duì)新擴(kuò)頻碼的性能進(jìn)行了分析。

本文主要分為3部分，首先分析了新擴(kuò)頻碼的構(gòu)造方法并給出構(gòu)造流程圖，其次在相關(guān)性、平衡性、游程性、線性復(fù)雜度4個(gè)方面與傳統(tǒng)擴(kuò)頻碼進(jìn)行了對(duì)比分析，最后在Matlab中建立多用戶的DS-CDMA模型進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了新擴(kuò)頻碼的可行性和優(yōu)勢(shì)。

1 新擴(kuò)頻碼的構(gòu)造方法

本節(jié)以Kasami序列為切入點(diǎn)展開，首先介紹Kasami序列。

Kasami序列是1966年在評(píng)估線性循環(huán)碼的權(quán)重過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，分為小集合序列和大集合序列，都是在m序列的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。由于Kasami小集合序列的相關(guān)性性能優(yōu)于大集合序列，因此實(shí)際應(yīng)用中多用Kasami小集合序列。Kasami小集合序列是選擇周期為 21n N=-的m序列，因?yàn)榭偸强梢苑殖蓛蓚€(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，即：，所以對(duì)周期為N的m序列每隔抽樣，產(chǎn)生長(zhǎng)度為的序列，將新產(chǎn)生的序列重復(fù)次，得到與m序列長(zhǎng)度相等的新序列，將新序列與選擇的m序列逐位模二加就可以得到Kasami小集合序列。更進(jìn)一步，我們可以發(fā)現(xiàn)一定可以被3整除?？捎脭?shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，N=(21+1)(21+1)=3×1顯然成立；②假設(shè)時(shí)成立，即N=(2k+1)(2k-1)能被3整除；③當(dāng)時(shí)，N=(2k+2+1)(2k+2-1)=[3×2k+(2k+1)][3×2k+(2k-1)]。

由式②可知式③也能被3整除。

因此周期為N的m序列可以進(jìn)一步分解為：，其中N1為3，N2為。

新Kasami序列與Kasami小集合序列的生成方法相同，不同的是抽樣頻率，Kasami小集合序列對(duì)周期N進(jìn)行了一次因式分解，分解成兩個(gè)相連奇數(shù)的乘積，新Kasami序列是對(duì)其中的一個(gè)因子繼續(xù)進(jìn)行分解，分解成3和另外一個(gè)因數(shù)。新Kasami序列以頻率N1對(duì)周期為N的m序列抽樣得到序列B，將B進(jìn)行N2次循環(huán)移位得到與m序列等長(zhǎng)的序列B′，之后與選擇的m序列逐位模二加得到新Kasami序列。新Kasami序列的構(gòu)造流程如圖1所示。

圖1 新Kasami序列的構(gòu)造流程

H.Donelan和T.O.Farrell在1999年提出了一種新的擴(kuò)頻碼構(gòu)造方法，該方法使用兩組m序列，通過(guò)矩陣運(yùn)算生成正交序列集，生成的正交擴(kuò)頻碼具有良好的相關(guān)性和線性復(fù)雜度。本文參考該方法，選擇兩個(gè)相互正交的新Kasami序列，以新Kasami序列為基礎(chǔ)構(gòu)造矩陣，通過(guò)矩陣運(yùn)算得到矩陣M，矩陣M的每一行即是一個(gè)新擴(kuò)頻碼。新擴(kuò)頻碼的構(gòu)造流程如圖2所示。

圖2 新擴(kuò)頻碼構(gòu)造流程

2 性能對(duì)比分析

擴(kuò)頻碼的優(yōu)劣對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)的性能有決定性影響[4]，本節(jié)對(duì)擴(kuò)頻碼的性能分析包括相關(guān)性、平衡性、游程性以及線性復(fù)雜度。

2.1 相關(guān)性

在擴(kuò)頻碼的實(shí)際應(yīng)用中，首先要考慮的關(guān)鍵因素是自相關(guān)性和互相關(guān)性。對(duì)于周期為N的二值擴(kuò)頻碼序列X{x1，x2，…，xN}、Y{y1，y2，…，yN}，其自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)的定義可描述為：

式（1）和（2）中，PAC(l)與PCC(l)分別代表自相關(guān)和互相關(guān)，l代表碼片移位值，Xk代表第k個(gè)碼片。

可以通過(guò)相關(guān)旁瓣能量，定量分析擴(kuò)頻碼的性能，相關(guān)旁瓣能量越大，說(shuō)明相關(guān)函數(shù)旁瓣峰值越大，擴(kuò)頻碼性能就越差，反之?dāng)U頻碼性能就越好。最大相關(guān)旁瓣能量表示為

首先，定性分析新擴(kuò)頻碼的相關(guān)性。在Matlab仿真平臺(tái)下，取新擴(kuò)頻碼的級(jí)數(shù)為4、6、8、10，分別仿真分析新擴(kuò)頻碼的歸一化自相關(guān)性和歸一化互相關(guān)性，如圖3至圖6所示。

圖3 新擴(kuò)頻碼級(jí)數(shù)為4的仿真分析的相關(guān)性

圖4 新擴(kuò)頻碼級(jí)數(shù)為6的仿真分析的相關(guān)性

圖5 新擴(kuò)頻碼級(jí)數(shù)為8的仿真分析的相關(guān)性

圖6 新擴(kuò)頻碼級(jí)數(shù)為10的仿真分析的相關(guān)性

從圖3至圖6可以看出，隨著序列長(zhǎng)度的增加，新擴(kuò)頻碼的自相關(guān)函數(shù)的主瓣表現(xiàn)為δ函數(shù)，主瓣與旁瓣峰值比越大，自相關(guān)性越好。良好的自相關(guān)性能有利于提高系統(tǒng)的抗干擾能力，便于信號(hào)的接收和檢測(cè)，提高信號(hào)的捕獲速度和跟蹤精度，這樣的特性滿足高精度測(cè)距的要求?；ハ嚓P(guān)函數(shù)隨著序列長(zhǎng)度的增加，越來(lái)越趨近于0，良好的互相關(guān)性可以提高頻譜利用率，降低各系統(tǒng)信號(hào)之間互相干擾的影響[5]。

為了定量分析新擴(kuò)頻碼的相關(guān)性，本文對(duì)比了新擴(kuò)頻碼、Gold碼以及Kasami小集合序列的最大自相關(guān)旁瓣能量和互相關(guān)峰值能量，如表1和表2所示。

表1 3種擴(kuò)頻碼的最大自相關(guān)旁瓣 dB

由表1可以看出，最大自相關(guān)旁瓣的功率隨著序列長(zhǎng)度的增加而逐漸降低，新擴(kuò)頻碼的自相關(guān)性能與Gold基本相當(dāng)，比Kasami小集合序列稍遜一籌。總的來(lái)說(shuō)，新擴(kuò)頻碼能夠滿足衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的捕獲和跟蹤需求[6]。

表2 3種擴(kuò)頻碼的互相關(guān)峰值 dB

由表2可以看出，3種擴(kuò)頻碼的互相關(guān)峰值功率隨著序列長(zhǎng)度的增加而降低，新擴(kuò)頻碼的互相關(guān)性能要優(yōu)于Kasami小集合序列，與Gold碼基本相當(dāng)?？傊聰U(kuò)頻碼的互相關(guān)性能優(yōu)異，可以降低多址干擾，提高衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)的信號(hào)傳輸質(zhì)量以及系統(tǒng)容量[7]。

2.2 平衡性

擴(kuò)頻碼的平衡性與系統(tǒng)的載波抑制度有關(guān)，如果擴(kuò)頻碼不平衡，則會(huì)造成衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)載波泄漏，降低系統(tǒng)的保密性、抗干擾和抗偵破能力[8]。

平衡度E定義為:

式（4）中，L表示序列的長(zhǎng)度，P表示序列中1的個(gè)數(shù)，Q表示序列中0的個(gè)數(shù)。E越小，序列的平衡度越好，性能越好。

在Matlab仿真平臺(tái)下，根據(jù)上述平衡度的定義，取序列的級(jí)數(shù)分別為4、6、8、10，將新擴(kuò)頻碼、Gold碼以及Kasami小集合序列3種擴(kuò)頻碼，做平衡度的對(duì)比仿真分析，如圖7所示。

從圖7可以看出，隨著序列級(jí)數(shù)的增加，3種擴(kuò)頻碼的平衡度都在降低，越來(lái)越接近0。新擴(kuò)頻碼的平衡性介于Gold碼和Kasami小集合序列之間。總體表明，該擴(kuò)頻碼能夠抑制衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)的載波泄漏，提高導(dǎo)航定位系統(tǒng)的保密性和抗干擾能力[9]。

2.3 游程性

序列中連續(xù)出現(xiàn)0或1的子序列稱為游程，連續(xù)的0或1的個(gè)數(shù)稱為游程長(zhǎng)度，游程特性是表征序列隨機(jī)特性的一個(gè)重要方面。在n級(jí)的m序列的每個(gè)周期內(nèi)，總的游程數(shù)為 2n-1，長(zhǎng)度為k的游程占游程總數(shù)的1/2k，且在等長(zhǎng)游程中，0游程和1游程各占一半，m序列的游程特性是非常優(yōu)良的[10]。因此，可以將Gold碼、Kasami小集合序列、新擴(kuò)頻碼與m序列進(jìn)行對(duì)比。

在Matlab仿真平臺(tái)下，取序列的級(jí)數(shù)n＝8，將Gold碼、Kasami小集合序列、新擴(kuò)頻碼與m序列的對(duì)比如表3所示。

表3 Gold碼、Kasami小集合序列、新擴(kuò)頻碼與m序列的游程性對(duì)比（序列級(jí)數(shù)n＝8）

圖7 3種擴(kuò)頻碼的平衡度對(duì)比

由表3可以看出，新構(gòu)造的擴(kuò)頻序列的游程長(zhǎng)度與m序列基本一致，具有很好的游程性。

2.4 線性復(fù)雜度

在衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)中，對(duì)抗干擾和抗截獲的性能要求比較高，所以新構(gòu)造的擴(kuò)頻碼必須具有較高的線性復(fù)雜度，這直接關(guān)系到導(dǎo)航系統(tǒng)保密性能的優(yōu)劣[11]。一般來(lái)講，對(duì)于長(zhǎng)度為N的序列，線性復(fù)雜度為N/2時(shí)，序列的安全性最好。所謂線性復(fù)雜度就是利用線性反饋移位寄存器去恢復(fù)該序列的難易程度。例如，設(shè)α=(a0，a1，…，aN-1)是一個(gè)長(zhǎng)度為N的序列，那么該序列的線性復(fù)雜度就是能夠生成該序列的最短線性反饋移位寄存器的級(jí)數(shù)。1967年，Berlekamp發(fā)現(xiàn)了一個(gè)BCH譯碼算法，到了1969年Massey將該算法成功應(yīng)用于線性反饋移位寄存器的重構(gòu)問(wèn)題，提出了著名的Berlekamp-Massey算法，簡(jiǎn)稱為B-M算法。B-M算法的基本思想是對(duì)序列求n=0，1，2，…，N-1的線性反饋移位寄存器＜fn(x)，ln＞，當(dāng)＜fn(x)，ln＞等于＜fn+1(x)，ln+1＞時(shí)，序列的線性復(fù)雜度為ln。具體算法如下：

設(shè)序列a0，a1，a2…，aN-1是有限域上GF(q)上的一個(gè)任意給出的長(zhǎng)為N的有限序列。對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)定義一系列的＜fn(x)，ln＞，n=1，2，3，…，N。① 設(shè)n0是非負(fù)整數(shù)使：a0=a1=a2=…=an0-1=0，an0≠0，約定：d0=d1=d2=…=dn0-1=0，dn0=an0，并令：f1(x)=f2(x)=…=fn0(x)=1,l1=l2=…=ln0=0，同時(shí)可以任取一個(gè)n0+1，線性移位寄存器作為＜fn+1(x)，ln+1＞。為確定起見，令：fn0+1(x)=1-dn0xn0+1，l=n。n0+10+1② 設(shè)，i=1，2，…，n(n0＜n＜N)已經(jīng)求得。而：l1=l2=…=ln0＜ln0+1＜ln0+2≤…≤ln，另：fn(x)=1+cn1x+cn2x2+…+cnlxln，計(jì)算：dn=an+cn1an-1+cn2an-2+…+cnlnan-ln。dn為第n步的差值，區(qū)別下面兩種情況：1）dn=0，這時(shí)令fn+1(x)=fn(x)，ln+1=ln；2）dn≠0，這時(shí)取m(1≤m＜n)使lm＜lm+1=lm+2=…=ln，并令fn+1(x)=fn(x)-，ln+1=max{ln，n+1-ln}。最后，得到序列a0，a1，a2，…，aN-1的一個(gè)最短線性移位寄存器＜fn(x)，ln＞。

B-M算法流程圖如圖8所示，其中，ln表示序列的線性復(fù)雜度，fn(x)表示移位寄存器的狀態(tài)，dn表示第n步的差值。

根據(jù)B-M算法，比較m序列、Gold碼、Kasami小集合序列、新擴(kuò)頻碼4種序列的線性復(fù)雜度，結(jié)果如表4所示。

表4 m序列、Gold碼、Kasami小集合序列、新擴(kuò)頻碼線性復(fù)雜度對(duì)比

由表4可以看出，相比較于其他3種擴(kuò)頻碼，新構(gòu)造的擴(kuò)頻碼的線性復(fù)雜度更接近N/2這一指標(biāo)，序列具有較高的安全性。

3 新擴(kuò)頻碼誤碼性能仿真分析

為了全面評(píng)估新擴(kuò)頻碼的性能，本節(jié)利用Matlab軟件對(duì)基于DS-CDMA系統(tǒng)進(jìn)行建模，分別在加性高斯白噪聲信道和瑞利衰落信道下，仿真分析Gold碼、Kasami小集合序列以及新擴(kuò)頻碼的誤比特率。

3.1 系統(tǒng)建模

假定系統(tǒng)的發(fā)射端與接收端實(shí)現(xiàn)載頻完全同步，發(fā)射端與接收端的擴(kuò)頻碼序列的產(chǎn)生也實(shí)現(xiàn)完全同步，只考慮高斯白噪聲和多徑衰落對(duì)DS-CDMA系統(tǒng)誤碼性能的影響[12]。在Matlab仿真平臺(tái)下搭建DS-CDMA系統(tǒng)，其系統(tǒng)原理圖如圖9所示。

圖8 B-M算法流程圖

圖9 DS-CDMA系統(tǒng)原理圖

3.2 加性高斯白噪聲信道的誤碼性能

AWGN信道是通信系統(tǒng)中最基本的信道，在AWGN信道中只考慮加性高斯白噪聲對(duì)傳輸信號(hào)的影響[13]。在Matlab仿真平臺(tái)下，分別仿真分析Gold碼、Kasami小集合序列以及新擴(kuò)頻碼應(yīng)用于DS-CDMA系統(tǒng)中時(shí)，其在AWGN信道下的誤比特率。如圖10所示，圖中擴(kuò)頻碼長(zhǎng)度為63，信噪比變化范圍為0～10 dB，用戶數(shù)為4，發(fā)射數(shù)據(jù)進(jìn)行Gray編碼并進(jìn)行4-QAM調(diào)制。

圖10 當(dāng)用戶數(shù)為4時(shí)3種擴(kuò)頻碼在AWGN信道下的性能表現(xiàn)

由圖10可以看出，信噪比相同的情況下，Gold碼性能最佳，Kasami小集合序列性能最差，新擴(kuò)頻碼性能介于兩者之間。當(dāng)信噪比大約大于6.8 dB時(shí)，Gold碼的誤比特率小于10-3；當(dāng)信噪比大約大于8 dB時(shí)，新擴(kuò)頻碼的誤比特率小于10-3；當(dāng)信噪比大約大于9 dB時(shí)，Kasami小集合序列的誤比特率小于10-3。綜上所述，在AWGN信道下，Gold碼性能最優(yōu)，新擴(kuò)頻碼次之，Kasami小集合序列最差。

3.3 瑞利衰落信道的誤碼性能

在衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)中，導(dǎo)航信號(hào)傳播的環(huán)境是復(fù)雜多變的，存在多徑衰落現(xiàn)象[14]。所謂多徑衰落，是指接收機(jī)收到經(jīng)折射、反射和直射等幾條路徑到達(dá)的信號(hào)，這些不同路徑到達(dá)的信號(hào)相位不一致且具有時(shí)變性，接收信號(hào)將被增強(qiáng)或者削弱。多徑衰落的信號(hào)包絡(luò)的浮動(dòng)服從瑞利分布，傳輸路徑中相位變化服從均勻分布，我們將此多徑衰落稱為Rayleigh衰落[15]。本文利用改進(jìn)的Jakes模型來(lái)產(chǎn)生單徑的平坦型Rayleigh衰落信道。在Matlab仿真中，假定各用戶信號(hào)經(jīng)過(guò)5條路徑到達(dá)接收端，每條路徑由6個(gè)或7個(gè)平面波疊加產(chǎn)生Rayleigh衰落波形，擴(kuò)頻碼序列長(zhǎng)度為63，同時(shí)傳輸?shù)挠脩魯?shù)為4，信噪比變化范圍為0～10 dB，在Rayleigh衰落信道加AWGN信道情況下，DS-CDMA系統(tǒng)的誤碼性能分析如圖11所示。

由圖11可以看出，信噪比相同時(shí)，新擴(kuò)頻碼的誤碼性能最佳，Kasami小集合序列的誤碼性能最差，Gold碼介于兩者之間。當(dāng)信噪比大于2 dB時(shí)，新擴(kuò)頻碼的誤比特率小于10-1，而Gold碼和Kasami小集合序列的誤比特率大于10-1。隨著信噪比的增加，新擴(kuò)頻碼的誤比特率下降明顯，當(dāng)信噪比等于10 dB時(shí)，新擴(kuò)頻碼的誤比特率接近10-2，優(yōu)于Gold碼和Kasami小集合序列。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新的擴(kuò)頻碼，在相關(guān)性、平衡性、游程性、線性復(fù)雜度4方面與傳統(tǒng)擴(kuò)頻碼進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明：新擴(kuò)頻碼具有優(yōu)良的自相關(guān)性和互相關(guān)性；平衡性與Gold碼基本一致，比Kasami小集合序列有一定改善，序列級(jí)數(shù)分別為4、6、8、10時(shí)的新序列的平衡度比Kasami小集合序列的平衡度分別改善了7.65%、11.87%、11.97%、10.03%；保持了較好的游程性；線性復(fù)雜度比傳統(tǒng)擴(kuò)頻碼更加接近理想設(shè)計(jì)，理想指標(biāo)N/2，解決了傳統(tǒng)擴(kuò)頻碼線性復(fù)雜度不足的問(wèn)題。利用Matlab仿真平臺(tái)，搭建了加性高斯白噪聲信道和瑞利衰落信道下的多用戶DS-CDMA系統(tǒng)，對(duì)新擴(kuò)頻碼的誤碼性能進(jìn)行了仿真分析，結(jié)果表明：在兩種信道下，新擴(kuò)頻碼具有較低的誤比特率，抗噪聲性能優(yōu)異。總而言之，新擴(kuò)頻碼本身具有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖11 當(dāng)用戶數(shù)為4時(shí)3種擴(kuò)頻碼在Rayleigh衰落信道下的性能表現(xiàn)