基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器研究

李興林，劉軍良，趙當(dāng)麗，關(guān)小龍

（1.中國(guó)科學(xué)院 國(guó)家授時(shí)中心，西安710600；2.中國(guó)科學(xué)院 時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710600；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

0 引言

鑒相技術(shù)在通信、測(cè)距、測(cè)向、鑒頻、電機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1]，在射電天文學(xué)、高速數(shù)字通信、高精度時(shí)間同步等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，使用鑒相技術(shù)進(jìn)行頻率穩(wěn)定度測(cè)量也十分重要。在時(shí)頻領(lǐng)域中，新型的原子鐘、噴泉鐘、光鐘等因具有很高的頻率穩(wěn)定度因而被廣泛地作為頻率源。商用原子鐘的頻率日穩(wěn)定度在10-13～10-16之間，例如在甚長(zhǎng)基線干涉儀進(jìn)行天體測(cè)量時(shí)，使用氫鐘作為時(shí)鐘源，當(dāng)τ=1 ks時(shí)頻率穩(wěn)定度的要求為σν(1ks)=10-15[2]，另外現(xiàn)代工業(yè)化進(jìn)程伴隨著的高速度交通工具、深空探索、精密導(dǎo)航定位需求等也對(duì)時(shí)間頻率的高精度測(cè)量提出了更高的要求[3]，因此對(duì)頻率穩(wěn)定度分析的新技術(shù)研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。高精度頻率源的測(cè)量常使用雙混頻時(shí)差測(cè)量法，先對(duì)信號(hào)混頻然后過(guò)零檢測(cè)，過(guò)零點(diǎn)觸發(fā)計(jì)數(shù)器進(jìn)行測(cè)量，但過(guò)零點(diǎn)容易受到噪聲污染導(dǎo)致測(cè)量出現(xiàn)誤差，為避免過(guò)零檢測(cè)帶來(lái)的噪聲污染，實(shí)現(xiàn)高精度頻率穩(wěn)定度的測(cè)量，本文根據(jù)Hilbert變換原理，分別采用窗函數(shù)法和等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)FIR（finite impulse response）型Hilbert濾波器，來(lái)產(chǎn)生I、Q支路，再通過(guò)反正切運(yùn)算求出相位進(jìn)而可以計(jì)算頻率穩(wěn)定度。

1 基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器的設(shè)計(jì)原理

基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器的設(shè)計(jì)核心是Hilbert濾波器的設(shè)計(jì)，利用Hilbert濾波器產(chǎn)生I、Q支路，通過(guò)反正切運(yùn)算求出相位。

1.1 Hilbert變換的定義

設(shè)(x)t為原子鐘輸出的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其Hilbert變換(t) 定義為[4]

式（1）中，τ為時(shí)間變量，連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的Hilbert變換可以看成x(t)通過(guò)具有沖擊響應(yīng)為h(t)=1πt的線性濾波器。本文所設(shè)計(jì)的鑒相器的Hilbert濾波器的頻率特性為[5-7]

式（3）中，(φ)ω為相頻響應(yīng)函數(shù)，ω為頻率（或角頻率），由此可見(jiàn)信號(hào)x(t) 的Hilbert變換可以看成是信號(hào)x(t) 通過(guò)一個(gè)幅度為1的全通濾波器輸出，其負(fù)頻率成分作+90°相移，而正頻率成分作-90°相移，而不改變頻譜分量的幅度。其幅頻特性和相頻特性如圖1所示。

圖1 幅頻特性和相頻特性

例如：信號(hào)sin(2×π×10×t)通過(guò)Hilbert變換，將變?yōu)樾盘?hào)-cos(2×π×10×t)，其仿真圖如圖2所示。

圖2 sin(2×π×10×t)Hilbert變換仿真

1.2 系統(tǒng)的原理框圖

基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器的原理框圖如圖3所示。

圖3 Hilbert變換的數(shù)字鑒相器的原理框圖

輸入信號(hào)分成兩路，一路通過(guò) 12N階Hilbert濾波器產(chǎn)生Q支路，另一路進(jìn)行 1N采樣延時(shí)產(chǎn)生I支路。即對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換就相當(dāng)于對(duì)該信號(hào)進(jìn)行正交移相，產(chǎn)生的I，Q支路，使它成為自身的正交對(duì)，然后再對(duì)產(chǎn)生的I，Q路通過(guò)反正切運(yùn)算求出相位。

2 FIR型Hilbert數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

Hilbert濾波器可以分為FIR型和IIR（high response）型，F(xiàn)IR型數(shù)字濾波器和IIR型數(shù)字濾波器相比較有以下優(yōu)點(diǎn)[8-10]：

①FIR型數(shù)字濾波器可以實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，而IIR型數(shù)字濾波器要實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，就會(huì)導(dǎo)致選擇性變差。

②FIR數(shù)字濾波器主要采用非遞歸的結(jié)構(gòu)，因而從理論上以及在實(shí)際的有限精度的運(yùn)算中，都是穩(wěn)定的。IIR數(shù)字濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，只有極點(diǎn)在平面單位圓內(nèi)才是穩(wěn)定的，運(yùn)算中的四舍五入處理，有時(shí)會(huì)引起寄生振蕩。

為得到嚴(yán)格的線性相位，本文進(jìn)行了FIR型濾波器的設(shè)計(jì)。具有線性相位FIR型數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可以統(tǒng)一表示為

式（4）中，τ=(N-1)2為時(shí)延，N為濾波器階數(shù)；；若k=0時(shí)，為I，II型；若k=1時(shí)，為III，IV型；Hr(ejω)為振幅響應(yīng)。因?yàn)镠ilbert數(shù)字濾波器的單位沖擊響應(yīng)是奇對(duì)稱的，即k=1，其頻率響應(yīng)函數(shù)為

式（5）中，ω為頻率（或角頻率）且π-≤ω≤π。

2.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)Hilbert數(shù)字濾波器

取N為奇數(shù)，所設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器的理想頻率響應(yīng)函數(shù)為[11-14]

式（6）中，τ=(N-1)2為采樣延時(shí)；ωc1，ωch分別為下截止頻率和上截止頻率。其單位沖擊響應(yīng)函數(shù)hd1為

于是有

式（8）中，ω(n) 為有限長(zhǎng)的窗口函數(shù)序列。

現(xiàn)設(shè)計(jì)的帶通Hilbert濾波器參數(shù)為：ωs1=0.2×pi；ωp1=0.35×pi；ωp2=0.65×pi；ωs2=0.8×pi；Rp=0.003 dB；As=75 dB（ωs1，ωs2為阻帶截止頻率，ωp1，ωp2為通帶截止頻率，Rp為通帶波動(dòng)，As為阻帶衰減），窗函數(shù)選取布萊克曼窗，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)Hilbert濾波器的階數(shù)N=75，其幅頻特性和相頻特性如圖4所示。

圖4 窗函數(shù)法Hilbert濾波器的幅頻特性和相頻特性

2.2 等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器

等波紋切比雪夫法采用了Parks-McClellan算法，取N為奇數(shù)，所設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器的理想頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)同式（6），其逼近誤差函數(shù)為[15-17]

式（9）中，W(ω)為逼近加權(quán)函數(shù)，H(ω)為線性相位FIR型數(shù)字濾波器的逼近函數(shù)。

令δ=max［E(ω)］，為獲得最優(yōu)單位沖擊響應(yīng)h(n)，需要尋找使δ=max［E(ω)］最小的逼近函數(shù)H(ω)，因此Hilbert數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為

現(xiàn)設(shè)計(jì)帶通Hilbert濾波器參數(shù)為：ωs1=0.2×pi；ωp1=0.35×pi；ωp2=0.65×pi；ωs2=0.8×pi；Rp=0.003 dB；As=75 dB（ωs1，ωs2為阻帶截止頻率，ωp1，ωp2為通帶截止頻率，Rp為通帶波動(dòng)，As為阻帶衰減），其濾波器的參數(shù)與窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器的參數(shù)一致，等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)Hilbert濾波器，其幅頻特性和相頻特性如圖5所示。

圖5 等波紋法Hilbert濾波器的幅頻特性和相頻特性

2.3 窗函數(shù)法和等波紋法設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器的比較

在2.1節(jié)和2.2節(jié)中分別采用窗函數(shù)法和等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)帶通Hilbert濾波器，濾波器參數(shù)都為：ωs1=0.2×pi；ωp1=0.35×pi；ωp2=0.65×pi；ωs2=0.8×pi；Rp=0.003 dB；As=75 dB（ωs1，ωs2為阻帶截止頻率，ωp1，ωp2為通帶截止頻率，Rp為通帶波動(dòng)，As為阻帶衰減），現(xiàn)改變兩種方法設(shè)計(jì)的Hilbert濾波器的縱坐標(biāo)的最小精度，對(duì)通帶進(jìn)行放大，如圖6和圖7所示。

根據(jù)圖6和圖7我們可以發(fā)現(xiàn)，窗函數(shù)的實(shí)際響應(yīng)和理想響應(yīng)之間的逼近誤差，在全頻帶區(qū)間上是不均勻分布的，靠近邊緣頻率處誤差較大，遠(yuǎn)離邊緣頻率處較?。℅ibbs吉布斯現(xiàn)象），而等波紋法可以實(shí)現(xiàn)在全頻帶區(qū)間上均勻分布且逼近誤差更小，進(jìn)而可以用較低的階數(shù)實(shí)現(xiàn)相同的技術(shù)指標(biāo)。

圖6 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)Hilbert濾波器

圖7 等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)Hilbert濾波器

根據(jù)窗函數(shù)法和等波紋法設(shè)計(jì)濾波器的特點(diǎn)我們可以知道，窗函數(shù)法不能精確指定阻帶截止頻率ωs和通帶截止頻率ωp只能接受設(shè)計(jì)所得的大體合用值[18-19]，等波紋法可以精確指定ωs和ωp，其次窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法中使δ1=δ2，不能同時(shí)控制波動(dòng)系數(shù)δ1和δ2[20-21]。

同時(shí)在使用Matlab進(jìn)行仿真時(shí)可以得到，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)Hilbert濾波器的階數(shù)N=75，等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器的階數(shù)N=61，并且通帶波動(dòng) pR=0.0019 dB，As=78 dB，可見(jiàn)等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)的Hilbert數(shù)字濾波器用更少的階數(shù)實(shí)現(xiàn)了更優(yōu)的設(shè)計(jì)指標(biāo)，故本文采用等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)Hilbert濾波器。

3 系統(tǒng)的仿真比較

通過(guò)對(duì)頻率源和系統(tǒng)的整體仿真，驗(yàn)證了系統(tǒng)的可行性，證明了基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器可實(shí)現(xiàn)較高的測(cè)量精度。

3.1 頻率源的仿真

頻率源的仿真是根據(jù)一組原子鐘的典型噪聲參數(shù)進(jìn)行的[22]，如表1所示。

表1 一組原子鐘的典型噪聲參數(shù)

表1中，Awp為相位白噪聲，Awf為頻率白噪聲，Aff為頻率閃爍噪聲，Arw為隨機(jī)游走噪聲。一般情況下，在進(jìn)行鐘差數(shù)據(jù)模擬時(shí)，可以忽略相位閃爍噪聲[23]，現(xiàn)根據(jù)原子鐘的噪聲參數(shù)，使用Stable32軟件，進(jìn)行銫原子鐘的頻率穩(wěn)定度的分析，如圖8所示。

圖8 銫原子鐘的頻率穩(wěn)定度

銫原子鐘部分相位數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 銫原子鐘部分相位數(shù)據(jù) s

3.2 系統(tǒng)仿真過(guò)程

現(xiàn)設(shè)頻率源為銫原子鐘，其輸出信號(hào)為10 MHz的正弦信號(hào)，將Stable32軟件仿真的銫鐘的相位數(shù)據(jù)擬合到10 MHz信號(hào)上，擬合后的信號(hào)通過(guò)Matlab進(jìn)行相關(guān)處理并進(jìn)行系統(tǒng)仿真，將系統(tǒng)產(chǎn)生的相位數(shù)據(jù)與直接使用Stable32軟件仿真的銫鐘的相位數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到輸入前和輸入后相位的變化。其部分比對(duì)數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 銫原子鐘部分比對(duì)數(shù)據(jù) s

從表3中我們也可以看到，銫原子鐘仿真原始相位數(shù)據(jù)與本文所設(shè)計(jì)的鑒相器的輸出的相位數(shù)據(jù)相差較小。

用系統(tǒng)產(chǎn)生的相位數(shù)據(jù)計(jì)算頻率穩(wěn)定度，仿真圖如圖9所示。

圖9 系統(tǒng)產(chǎn)生的相位數(shù)據(jù)計(jì)算頻率穩(wěn)定度

比較圖8和圖9我們可以發(fā)現(xiàn)，銫原子鐘仿真信號(hào)通過(guò)基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器產(chǎn)生相位數(shù)據(jù)，對(duì)其所產(chǎn)生的相位數(shù)據(jù)使用Stable32進(jìn)行頻率穩(wěn)定度的計(jì)算，與銫原子鐘仿真信號(hào)直接使用Stable32計(jì)算的頻率穩(wěn)定度的結(jié)果基本一致，證明了基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器可以實(shí)現(xiàn)較高的測(cè)量精度。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在Matlab環(huán)境下采用窗函數(shù)法和等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)了FIR型Hilbert數(shù)字濾波器并對(duì)數(shù)字鑒相器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，證明了采用等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)的Hilbert濾波器較窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的Hilbert濾波器，可以用更少的階數(shù)實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的設(shè)計(jì)指標(biāo)，使用Stable32進(jìn)行頻率源的仿真和穩(wěn)定度的計(jì)算，驗(yàn)證了基于Hilbert變換的數(shù)字鑒相器的仿真結(jié)果，仿真結(jié)果表明利用Hilbert變換進(jìn)行數(shù)字鑒相器的設(shè)計(jì)可以獲得較高測(cè)量精度，驗(yàn)證了系統(tǒng)的可行性，用數(shù)字信號(hào)處理的方式代替模擬電路，避免過(guò)零檢測(cè)帶來(lái)的噪聲污染，為后續(xù)的硬件平臺(tái)的搭建提供了理論支撐。