關(guān)于圓錐面競(jìng)賽題的多解探究

王成強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611130)

大學(xué)階段數(shù)學(xué)中的“解析幾何”知識(shí)模塊主要涉及借助于線性代數(shù)理論研究幾何理論的學(xué)科[1,2]，它能提升學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力、邏輯推理能力、抽象思維能力、空間想象能力等[3]。二次曲面理論是大學(xué)階段“解析幾何”知識(shí)模塊的教學(xué)重難點(diǎn)[1,2]。對(duì)第七屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽非數(shù)學(xué)專業(yè)類預(yù)賽[4](2015年)第二題進(jìn)行“一題多解”研究，該題內(nèi)容完整表述如下：設(shè)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，圓錐面S經(jīng)過(guò)三條坐標(biāo)軸的正半軸，試確定圓錐面S的方程。

一題多解，即從多種視角出發(fā)分析并給出同一道題多種解法，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與講授中起著重要作用[5]。借助于一題多解的教學(xué)，能幫助學(xué)生從不同視角理解問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，形成更系統(tǒng)的知識(shí)體系[5]。開(kāi)展“一題多解”研究與教學(xué)，對(duì)問(wèn)題所承載的知識(shí)模塊的學(xué)習(xí)與教學(xué)都有啟發(fā)性意義[6-8]。

1 解法探析

解法1 確定準(zhǔn)線圓方程+消除參數(shù)。

解法2 確定準(zhǔn)線圓方程+消除非齊次項(xiàng)。

解法3 找出軸線+借助于圓錐面“點(diǎn)到軸線的距離與點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離成定比”的性質(zhì)。

因P(1,0,0)，Q(0,1,0)，R(0,0,1)都在圓錐面S上，且|OP|=|OQ|=|OR|，故圓錐面S的軸線包含于直線段PQ與PR的中垂面。因此，圓錐面S的軸線的方程為

或等價(jià)地，為x=y=z。由“點(diǎn)到軸線的距離與點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離成定比”的性質(zhì)可知，圓錐面S的方程為

解法4 借助于注2確定圓錐面的方程。

因圓錐面S的頂點(diǎn)是O，軸線的方程是x=y=z，故按照注2，圓錐面S的方程為

解法5 設(shè)出一般方程+列方程解出參數(shù)。

受到解法3與4，注2的啟發(fā)，可假設(shè)圓錐面S的方程為

λ(x2+y2+z2)+2xy+2yz+2xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0

因圓錐面S經(jīng)過(guò)x軸(參數(shù)方程為(t,0,0))，故

λ(t2+02+02)+2t·0+20·0+2t·0+2a14·t+2a24·0+2a34·0+a44=0，

由t的任意性，有λ=0，a14=0，a24=0，a34=0，a44=0。于是，圓錐面S的方程為xy+yz+xz=0。

2 結(jié)語(yǔ)

第一種解法的思路來(lái)源于錐面“過(guò)定點(diǎn)且與定曲線相交的直線的全體”的定義。第二種解法的思路來(lái)源于“圓錐面的頂點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足準(zhǔn)線上的所有點(diǎn)都滿足的齊二次代數(shù)方程”。第三種解法的思路來(lái)源于圓錐面“點(diǎn)到軸線的距離與點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離成定比”的性質(zhì)。第四種解法的思路本質(zhì)上與第三種解法的思路一致，但用到的公式結(jié)構(gòu)更便于理解記憶。第五種解法的思路是“先設(shè)出圓錐面帶參數(shù)的方程+再利用題設(shè)條件列方程解出參數(shù)”。此五種解法能幫助從不同側(cè)面更深入地認(rèn)識(shí)圓錐面。