音高標(biāo)識(shí)與音律計(jì)算

陳正生

音律知識(shí)應(yīng)該是音樂工作者的基本功，無論是作曲者，還是演唱、演奏者，懂得音律，必有利于能力的發(fā)揮；而從事音樂研究的人具有音律學(xué)知識(shí)，可使研究更深刻；即使是音樂愛好者，具有音律學(xué)知識(shí)，對(duì)于音樂作品的理解深度與欣賞能力的提高，必有明顯的幫助。盡管這個(gè)道理是人人都懂的，但是多數(shù)人對(duì)于音律學(xué)都不愿意接觸，認(rèn)為音律學(xué)乃是一門艱深的學(xué)問，實(shí)際上這種認(rèn)識(shí)是有其歷史根源的。

自古至今，我國歷代律學(xué)著作的積累，雖然不能說汗牛充棟，卻可認(rèn)為在世界各國中絕無僅有的。事實(shí)上就我國古代的律學(xué)著作來說，這些音律學(xué)著作也確實(shí)存在著不少缺憾：例如將基礎(chǔ)律學(xué)研究弄得很瑣碎；以“同律度量衡”為口實(shí)，硬把律、度、量、衡牽扯在一起；把律與歷(法)、天象混合在一起，從而把律學(xué)弄得很玄。如此等等。律學(xué)研究上存在的這些問題，都增添了人們學(xué)習(xí)音律學(xué)知識(shí)的心理障礙。

毋庸諱言，音律學(xué)確實(shí)有其艱深的一面。這是由于在解決一些律學(xué)理論和樂器制作方面的具體問題時(shí)，不少音律學(xué)問題涉及至今難以厘清的音樂聲學(xué)方面之問題的緣故。筆者認(rèn)為，律學(xué)并不是玄學(xué)，在音樂范疇內(nèi)它是極其重要的應(yīng)用科學(xué)，實(shí)用是它的重要屬性。因此，有關(guān)這方面的音律學(xué)知識(shí)，還是可以講得淺顯些的。本文打算談一點(diǎn)這方面的知識(shí)。

一、音高標(biāo)識(shí)

樂曲有一定的調(diào)，樂音有一定的音高，我國古代很早就注意到音律和調(diào)高了。我國古代音高是用黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑冼、仲呂、蕤賓、林鐘、夷則、南呂、無射、應(yīng)鐘等十二律呂來表示的。黃鐘、太簇、姑冼、蕤賓、夷則、無射為六律，為陽；大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘為六呂，為陰。后又對(duì)十二律呂進(jìn)行了擴(kuò)充，高八度為半律，低八度為倍律。

據(jù)我國古代典籍記載，黃鐘(正律)多數(shù)被認(rèn)為乃是徑三分、長九寸的閉管律管所奏出的音高。這種律管不同于一般的簫笛之類管樂器。由于它具有特定的吹奏方法，從而使它具有穩(wěn)定的管口(端)校正量，當(dāng)溫度和濕度不變時(shí)，律管吹出的頻率就相當(dāng)穩(wěn)定。缺憾的是，由于歷代度量衡器不同，歷代的黃鐘正律音高也就不大一致；盡管楊蔭瀏先生在《中國音樂史綱》中曾用“律管頻率計(jì)算公式”計(jì)算出了“歷代黃鐘正律音高”，但是筆者經(jīng)過實(shí)際驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)“律管頻率計(jì)算公式”并不嚴(yán)密，因此通過“律管頻率計(jì)算公式”計(jì)算出的頻率也就不可信。(1)陳正生：《黃鐘正律析——兼議律管頻率公式的物理量》，《南京藝術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(音樂與表演版)》1989年第1期。

如今音高的表示方法，普遍采用西方體系以A、B、C、D、E、F、G七個(gè)英文字母及升降符號(hào)來表示十二個(gè)音名。這種音高的表示方法，由于用途的不同而有所差異。具體地說，就是有物理學(xué)和音樂學(xué)兩個(gè)不同學(xué)科的不同音高表示方法。

物理學(xué)上的音高表示方法，一律用大字符號(hào)，即C0、#C0、D0、bE0、E0、F0、#F0、G0、bA0、A0、bB0、B0；C1、D1、E1、F1、G1、A1、B1；C2、D2、E2、F2、G2、A2、B2；C3……來標(biāo)識(shí)。

音樂學(xué)上音高的表示方法用大字組和小字組兩類，大小字組又以阿拉伯?dāng)?shù)字表示組別。例如大字二組：C2、#C2、D2、bE2、E2、F2、#F2、G2、bA2、A2、bB2、B2；大字一組：C1、 B1；大字組：C、B；小字組：c、b；小字一組：c1、b1，依此類推。

此處需要說明的是，音樂上的c1就是我們通常所說的中央C，它相當(dāng)于物理音高的C4。音樂上的C2音，相當(dāng)于物理音高C0。所謂的標(biāo)準(zhǔn)音，音樂上使用第一國際音高a1來表示，其頻率為440Hz，而物理學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)音為C4，其頻率為256Hz。音樂和物理的兩種音高表示方法，其在音名的表示方法上，有兩組容易混淆，即音樂上的大字一、二組和物理上全部用大字的第一、第二組，其余各組則不可能混淆。至于音樂上的C2，其頻率為16.35Hz；此音相當(dāng)于物理學(xué)上16Hz的C0。這是物理學(xué)家所說的人耳能聽到的最低音，低于這個(gè)頻率的被稱作“次聲”。次聲乃是人耳無法聽見的聲音。

兩個(gè)不同而又極近的頻率，必然要產(chǎn)生拍音。拍音對(duì)于多弦樂器(例如鋼琴和揚(yáng)琴)的調(diào)音是極為有用的。此外還有另類用法，對(duì)于沒有吟揉的弦樂器，有人還會(huì)用拍音來美化音色。

在講述音名同音律換算時(shí)，原先的音樂音高與物理音高是容易混淆的。前文講過，如今音樂活動(dòng)是以第一國際音高a1為440Hz做標(biāo)準(zhǔn)音，而物理研究的標(biāo)準(zhǔn)音選定中央C為256Hz做標(biāo)準(zhǔn)音。音樂與物理各自所選定的標(biāo)準(zhǔn)音，其相應(yīng)的頻率是不等的。為什么各自所選標(biāo)準(zhǔn)音不能相同？原來物理音高選用的256Hz，可以一直被2整除，而音樂界所選用的a1為440Hz，也是可以被2整除的，其中A1為55Hz，僅A2為27.5Hz(仍能被簡單除盡)。如今筆者常看到一些報(bào)告似乎不再強(qiáng)調(diào)其間的差別了，尤其是音樂考古中的測頻。但是我們還得注意標(biāo)準(zhǔn)音的選用，應(yīng)統(tǒng)一于A4(即a1)為440Hz。

關(guān)于音樂學(xué)所用的國際標(biāo)準(zhǔn)音，有兩個(gè)：第一國際音高和第二國際音高。原來17—18世紀(jì)歐洲各國并沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)音，各國所用標(biāo)準(zhǔn)音A(a1)為415—430Hz之間。1834年在德國斯圖加特召開了物理學(xué)國際會(huì)議，會(huì)議上決定以a1=440Hz為國際標(biāo)準(zhǔn)音。此音在人耳可聽閥內(nèi)除A2以外都能被2整除。經(jīng)實(shí)踐檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)此音的頻率太高。1859年，在法國巴黎召開的音樂家和物理學(xué)家的聯(lián)合會(huì)議上，則決定用a1=435Hz，降低5Hz，也就降低了19.79音分。隨著工業(yè)的發(fā)展，人們覺得標(biāo)準(zhǔn)音可以提高，于是1939年5月在英國倫敦召開的國際會(huì)議上，則強(qiáng)調(diào)了a1=440Hz為標(biāo)準(zhǔn)音。這也就是如今把a(bǔ)1=440Hz稱作第一國際音高，把a(bǔ)1=435Hz稱作第二國際音高的原因。

在音樂研究或音樂考古工作中，我們常常需要對(duì)一些樂器的音高進(jìn)行檢測。這些樂器上所發(fā)之音，當(dāng)然不可能同今日所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)音一致，往往不是比某音高，就是比某音低。為了能體現(xiàn)出某音的準(zhǔn)確高度，通常都借助音分來表示。例如E4+38，或者F5-45等。我們不難看出，這E4+38所用的乃是物理學(xué)上的音高表示方法。由于物理學(xué)上的E4，就是音樂學(xué)上的e1，故而物理學(xué)上的音高E4+38就是音樂學(xué)上的e1+38，也就是說，該音比e1音要高38音分。又如F5-45，由于物理學(xué)上的F5，就是音樂學(xué)上的f2，故而F5-45就是比f2低45音分的音。

E+38及F5-45的音高表示法，又可以用音分來表示：E4+38可以寫成5238音分，F(xiàn)5-45可以寫成6455音分。這又是什么道理呢？原來十二平均律的一個(gè)八度是1200音分，C0乃是0音分(音分計(jì)算的起始點(diǎn))，C1便是1200音分，C4便是4800音分，E4是5200音分，E4+38當(dāng)然就是5238音分了。

音高還有另一種表示方法，那就是用頻率來表示。例如E4+38的頻率是336.94Hz，F(xiàn)5-45的頻率是680.54Hz。這些計(jì)算方法，下文將作專門介紹。

這兒還要指出一點(diǎn)，那就是盡管頻率不變，若標(biāo)準(zhǔn)音有所變動(dòng)，音程也就會(huì)隨著變動(dòng)。例如第一國際音高a1的頻率為440Hz，第二國際音高a1的頻率為435Hz；這兩個(gè)音相差已達(dá)19.79音分。再就c1來說，a1若為440Hz，c1的頻率就是261.63Hz；a1若為435Hz，那么c1的頻率就是258.65Hz了，同樣是c1，相互間相差仍然是19.79音分。因此，物理學(xué)研究所用的音高，統(tǒng)比音樂會(huì)所用各音的音高要低19.79音分。

二、律制種種

無論是演唱還是演奏，只要涉及音準(zhǔn)就必然涉及律制，不同的律制有不同的音準(zhǔn)要求。國內(nèi)常用的三大律制是三分損益律、純律和十二平均律。當(dāng)然，除了這三大律制之外，還有不少不十分規(guī)范的律制。筆者認(rèn)為，這些所謂不十分規(guī)范的律制，乃是由于它們不像三大律制那樣有明確的生律方法，而僅僅是靠著對(duì)演奏的測頻所下的結(jié)論，例如不少專家對(duì)我國民間所用的均孔笛演奏測頻后得出的為“七平均律”那樣。由于本文乃是介紹音律計(jì)算，旨意不在討論律制，故而只介紹三大律制，對(duì)“七平均律”等不作討論。

(一)三分損益律

三分損益律乃是用三分損益的方法生成的律制。它是最古老的律制。此律亦常常被稱作五度相生律。五度相生律，據(jù)說乃是希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)明。實(shí)際上五度相生律之名，遠(yuǎn)不及三分損益律名副其實(shí)。因?yàn)橛梦宥认嗌?三分損一)生出的新律，都比原先生出之律高五度，因此，由起始律生出的十二律不在一均(一個(gè)八度)之內(nèi)，要?dú)w入原均就必須益一。例如c生出上方五度g，g的上方五度便是d1，d1的上方五度是a1，a1的上方五度是e2……直至第十二律的f乃是f5，竟然超出了6組！那么c向上生出g以后不再向上生d2而向下生d呢？須知g向上生的五度只能是d2，若向下生五度那就回到g了；g向下生出d，那是四度，其法是三分益一！因此，三分損益法才是所謂的“五度律”之本源。

再說三分損益的生律方法，明確地記載于《管子·地員篇》。雖然《管子》一書為管仲的弟子編撰，而畢達(dá)哥拉斯的學(xué)說也是他的學(xué)生所編撰；再說畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)，約生活于公元前580年至公元前500(490)年，而管仲約生活于公元前723年至公元前645年，早畢達(dá)哥拉斯一個(gè)多世紀(jì)。為此，廢棄三分損益律之名而采用五度相生律，顯然是不恰當(dāng)?shù)?。盡管有不少專家在研究五度相生律與三分損益律的異同，但是筆者認(rèn)為，三分損益律更能比五度相生律揭示其本質(zhì)。

三分損益法是將振動(dòng)物體分成三份，損其一份以生成上方五度音，益其一份則生成下方四度音；實(shí)際上三分益一乃是三分損一的八度轉(zhuǎn)位。

三分損益律十二律的生律順序依次為：黃鐘→林鐘→太蔟→南呂→姑洗→應(yīng)鐘→蕤賓→大呂→夷則→夾鐘→無射→仲呂。這十二律呂由黃鐘始，陽律生陰呂，陰呂又生陽律。現(xiàn)將十二律相鄰二律之間的音程(音分)，以及黃鐘宮七聲之間的音程(音分)列表于下(單位：音分)：

表1

(二)純律

純律的出現(xiàn)晚于三分損益律。它的大二度、純四度、純五度與三分損益律無差異；而大、小三度卻與三分損益律有明顯的差別。由于大三度為386.31音分，小三度為315.64音分，故而完全應(yīng)該認(rèn)定，這音調(diào)同泛音相關(guān)。因?yàn)槿謸p益律中的純五度乃是3:2(三分損一)，純四度乃是4:3(三分益一)。若從泛音列的角度考慮，弦的1/3與1/2處的泛音之間的音程正是純五度，弦的1/4與1/3處的泛音之間的音程也正是純四度?，F(xiàn)在再來看看純律的大三度，正是弦的1/5與1/4處泛音之間的音程；純律小三度乃是弦的1/6與1/5處泛音之間的音程。為此，純律各相鄰二音之間的音程為：

表2

現(xiàn)代對(duì)于純律的闡釋雖然比較簡單，但要涉及純律律制就得涉及分音、倍頻和泛音等概念，可要闡釋純律發(fā)現(xiàn)的時(shí)代卻并不是一件簡單的事?；?、分音、倍頻和泛音要闡述清楚，由于樂器種類繁多，要闡釋清楚也非三言兩語就能說清楚的。例如二胡、琵琶的空弦音就是基音，可人們熟知的軍號(hào)(亦稱步號(hào)、五音號(hào))最低音就不是基音，而是第二泛音(第三分音、三倍頻)。純律離不開泛音，可是能奏泛音的樂器未必能構(gòu)成純律音階；構(gòu)成純律音程，離不開第五、第六泛音。為此純律這一律制最先就出現(xiàn)在我國，構(gòu)成純律音階的物質(zhì)基礎(chǔ)就是七弦琴。七弦琴上有十三個(gè)徽位，這十三個(gè)徽位就是一根弦上的十三個(gè)泛音點(diǎn)，這第四泛音與第五泛音點(diǎn)和第十泛音同第九泛音點(diǎn)所激發(fā)的泛音，其音程就構(gòu)成了純律的大三度，而第三泛音與第四泛音點(diǎn)，以及第十一泛音同第十泛音點(diǎn)所激發(fā)的泛音，其音程就構(gòu)成了純律的小三度。此外就按弦而言，古琴仍然具有產(chǎn)生純律的條件。古琴的第一至第六徽位的按音同泛音音高是不等的，但是從七徽起，按音若除去弦音的張力校正，按音同泛音的音高是完全相同的：九徽同十徽的按音音程為純律大三度，第十徽與第十一徽的按音音程為純律小三度。由此可以得出結(jié)論，七弦琴上徽位的出現(xiàn)，就為純律音階的構(gòu)成提供了條件。西洋弦樂器由于不具備能奏較多的泛音列，而產(chǎn)生較多泛音列的銅管樂器完善得比較晚，由此可知，純律最早產(chǎn)生在中國。

從以上所列三分損益律和純律的音程來看，其音程最明確的特征便是各音之間的音程不等。從理論上分析，音程不等必然給旋宮轉(zhuǎn)調(diào)帶來不可逾越的障礙。千百年來，人們一直在尋求解決的辦法，最后終于尋到了十二平均律。

(三)十二平均律

鋼琴所用既然為十二平均律，那么從理論上說，各音(律)之間的音程應(yīng)該是相等的。我們無法依據(jù)調(diào)音師的經(jīng)驗(yàn)來作音律分析。因此，從理論上來說，十二平均律的各律(半音)之間的音程就理當(dāng)認(rèn)作100音分。

除這三大律制以外，還有一些較為特別的律制。在我國討論最熱門的要算所謂的“七平均律”了。這種律制的歷史已夠悠久了。據(jù)筆者考證，它被我國民間音樂(所謂的“俗樂”)所采用，至遲是在魏晉時(shí)期，因此至少有1800年的歷史了。盡管這種應(yīng)用已很久的律制為民間俗樂律制，但是魏晉時(shí)期就已用于宮廷“雅樂”之中，這也是歷史的事實(shí)。這一史實(shí)有《宋書》的記載為證：

列和所用之笛就是勻孔的，故而荀勖批評(píng)列和制笛不依律，荀勖就制作了符合十二律呂、音程符合三分損益律的“泰始笛”。

筆者通過多年對(duì)“荀勖笛律”的研究，以及對(duì)“荀勖笛律”所涉及的“泰始笛”的制作研究，證明《晉書》和《宋書》的記載可靠。

(四)七平均律

這兒討論的所謂“七平均律”，楊蔭瀏先生曾經(jīng)稱其為“等差律”。后來?xiàng)钕壬终J(rèn)為這“等差律”的名稱未必恰當(dāng)，因它是弦或管等振動(dòng)實(shí)體的近于均等，故而主張?jiān)撀蓱?yīng)正名為平均律(2)參見楊蔭瀏先生為繆天瑞先生所著《律學(xué)》一書的序言，上海：上海萬葉書店出版，1950年。。不過楊蔭瀏先生所說的平均律同今日人們所說的“平均律”乃是名同而實(shí)異的兩個(gè)概念：楊蔭瀏先生所說的平等律乃是振動(dòng)實(shí)體的均分，卻不是他一貫反對(duì)的八度音程的均分。

關(guān)于“七平均律”一名的由來，尚缺具體的資料。這一名稱的出現(xiàn)至遲在民國三十六年(1947)，這有楊蔭瀏、查阜西二位先生的論爭文章為證。而提及“七平均律”的“理論”，乃是清末的戴武。鄭穎蓀先生曾收藏戴武于光緒年間寫的《律說》一書，該書中明確地提出了“七平均律理論”。大家都知道，清朝自康熙帝始，就對(duì)朱載堉的平均律及異徑管律進(jìn)行了批判。戴武也提出了朱載堉不該用“十三律連比例開十一乘方法”，而應(yīng)該“用八律連比例開六乘方法”。在戴武看來，一均(一個(gè)八度)分成十二個(gè)半音，相鄰二音之間為100音分是不對(duì)的；應(yīng)該分成八個(gè)音，相鄰二音之間的音程應(yīng)該是171.43音分。

楊蔭瀏先生一直認(rèn)定這一“理論”是背離中國音樂之實(shí)際的。筆者50多年前就利用課余時(shí)間向民間藝人學(xué)笛，亦常聽吾師甘濤教授之尊人甘貢三老太爺奏笛，當(dāng)時(shí)還開始了簫笛的制作。對(duì)于簫笛的研究不敢說有成，但至少不是“不甚了了”。如今不論是從這舊式均孔簫笛“一笛七調(diào)”的演奏情況，還是從漢魏以來的笛子制作工藝的要求來看，這所謂的“七平均律”，都是同舊式均孔笛相關(guān)的。要把這問題說清楚，就必須弄清管口校正的問題。由于管口校正研究具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性，故而尚無法從音律學(xué)以及音樂聲學(xué)的角度進(jìn)行闡述。如今人們所引用有關(guān)“七平均律”的數(shù)據(jù)，都是對(duì)演奏音響的實(shí)測，數(shù)據(jù)因人而異、因時(shí)而異，難作準(zhǔn)則，筆者認(rèn)為無從討論。

筆者根據(jù)近年的研究證實(shí)，所謂的勻孔簫笛，其所奏出的音律情況，仍然屬于十二音體系，這也是勻孔簫笛能轉(zhuǎn)七調(diào)，且七調(diào)的調(diào)性能明確之原因。

演唱或演奏過程中，音準(zhǔn)是以律制為標(biāo)準(zhǔn)的。但是演唱或演奏中的音準(zhǔn)又具有相當(dāng)?shù)撵`活性，即演唱或演奏的音準(zhǔn)必然存在一定的誤差，音律整齊劃一的演唱或演奏是不存在的，若不允許演唱或演奏過程中存在誤差，我們必將失去豐富多彩的音樂生活。

三、音律計(jì)算

本文討論音律的計(jì)算方法之目的，乃是為著能有利于音律學(xué)論文的閱讀，有利于演奏、演唱技能的發(fā)揮。尤其是從事音樂研究而又不擅長音律計(jì)算的人，若能掌握音律計(jì)算方法，于研究無疑是大有俾益的。例如日本正倉院藏存著我國唐代分別用玉、石、牙、竹制作的八支尺八，日本學(xué)者請演奏家吹奏，并錄了音，記錄了八支尺八的音高(頻率)，但僅憑此頻率，無法判斷它們的音律(音準(zhǔn))情況，若換算成音程，豈不一目了然！為方便研究，本文將討論音分與頻率的轉(zhuǎn)換、音程與頻率的轉(zhuǎn)換、弦上音位的計(jì)算，等等。至于管樂器上的音位計(jì)算，由于管子上的管口校正情形的復(fù)雜性至今未能摸清，也就無法敘述，無從討論了。

(一)絕對(duì)音高與頻率的換算

絕對(duì)音高有兩種表示方法，一種是音分表示法，另一種是音名表示法。在考古研究中，已如前文所述，音名是不用音樂上通用的大字組、小字組之區(qū)別的，而是僅用大字的0、1、2、3、4……來表示。起始音是C0，它乃是0音分，相鄰一律(半音)為100音分，一組為12個(gè)半音，共1200音分。例如，A4便是5700音分。這是因?yàn)镃0—C4為4800音分，C4—A4為900音分，二者之和也就是5700音分了。再如bB5-34便是6966音分。這是因?yàn)镃0—C5的音程為6000音分，而C5—bB5為1000音分，計(jì)7000音分，減去34音分，也就是6966音分了。

附帶說一句，若將考古上的音高換算成音樂上的音名表示法也是不難的。這兒只要記住兩個(gè)關(guān)鍵性的音就行了。一個(gè)是考古學(xué)上的C0就是音樂上的C2(大字二組)，另一個(gè)是考古學(xué)上的C4，就是音樂上的c1(小字一組)，因此，考古學(xué)上的A4，就是音樂上的a1(小字一組)。

關(guān)于音分及音名同頻率的換算就比較麻煩了。例如6966音分，或bB5-34，它的頻率該是多少Hz？要進(jìn)行計(jì)算，首先要記住兩個(gè)數(shù)據(jù)：一個(gè)是考古學(xué)上的C0，也就是音樂學(xué)上的C2(大字二組)的頻率16.3515978313Hz，取約值16.35Hz；此頻率的對(duì)數(shù)便是1.21356019708。另一個(gè)數(shù)據(jù)便是比例常數(shù)3986.31371386，此數(shù)據(jù)乃是1200/lg2之值。因?yàn)橐粋€(gè)八度為1200音分，其頻率比為2的緣故。如果我們要求出6966音分的頻率，可通過以下計(jì)算求得：

6966÷3986.314+1.21356=2.961，然后查反對(duì)數(shù)，得914.20Hz。這914.20Hz就是6966音分的頻率。

相反，若知道頻率，完全可以運(yùn)用上述公式的逆運(yùn)算求得它的音分。例如，已測得考古發(fā)掘出的某磬片的頻率為586.86Hz，求此音的音分及音名。

解： 先求出586.86Hz的對(duì)數(shù)與16.35Hz的對(duì)數(shù)之差。

lg586.86—lg16.35=2.7685345029-

1.213560197=1.554974312

將1.554974312×3986.31371386 = 6196.62。取出近似值6197音分。

由于C4為6000音分，D4為6200音分，故而6197音分為D4-3。

(二)弦上的音位計(jì)算

在弦上進(jìn)行音位計(jì)算，其主要目的雖然是為著律學(xué)的研究，但是它同樣有著實(shí)際的用途。最早將弦用于律學(xué)計(jì)算的是西漢末年的京房(前77—前37)。他為了研究60律而設(shè)計(jì)了弦準(zhǔn)。對(duì)于律學(xué)研究來說，若要區(qū)別三分損益律、純律、十二平均律三種律制之間的差別，除了借助弦而外，是沒有任何一種樂器是能負(fù)起此任的。諸君若于此有興趣，筆者于下方列出這三種律制各音在弦上的百分比。

在列出這三種律制音階各音在弦上的百分比之前，有4點(diǎn)說明。

1.三分損益律的傳統(tǒng)七聲音階，只有變徵(#4)而不用清角(4)，純律只有清角而沒有變徵。為了統(tǒng)一起見，此處根據(jù)如今的音樂實(shí)際，變徵都改用清角。

2.純律，實(shí)際上乃是在三分損益律的基礎(chǔ)上增添了5:4的純律大三度和6：5的純律小三度。筆者至今也未曾見到有人介紹純律的十二律。因此，本文也只能介紹這三種律制的七聲音階在弦上的百分比。

3.三分損益律的首律是黃鐘，如今人們通常以C(c1)為首音，更有不少人愛把黃鐘正律說成C。實(shí)際上我們無法證明古代的黃鐘就是C，但卻可以把黃鐘比擬作C

4.在同一根弦上進(jìn)行三種律制的音程比較時(shí)，弦的下端為起點(diǎn)0，上端為止點(diǎn)，即全弦長1。

現(xiàn)將三種律制各音在弦上的比例列表于下：

表3

至于弦上的音分計(jì)算當(dāng)然并不僅僅是為著三種律制的比較。20世紀(jì)30年代，劉復(fù)教授測天壇編鐘頻率。20世紀(jì)40年代，我國音樂大家楊蔭瀏先生在進(jìn)行音律研究時(shí)，就是借助了弦準(zhǔn)，即在弦上確定一標(biāo)準(zhǔn)音，然后確定所測之音在弦上的按弦點(diǎn)，通過按弦點(diǎn)同弦上的基準(zhǔn)點(diǎn)的比例，算出所測之音的音高或音程。例如一根長58公分的弦，音高(空弦音)為d1(293.66Hz)，現(xiàn)測得某音與弦上47.65公分處所發(fā)之音等高，算出所測之音的高度(頻率)。

解：由于頻率同弦長成反比，所以所測之音同空弦音的音程，即為這兩段弦長的對(duì)數(shù)差與音分計(jì)算比例常數(shù)之積。列式如下：

(lg58-lg47.65)×3986.314=0.08537×3986.314=340.31(音分)。

由于d1比c1高大二度，故而d1為5000音分，今再加340.31音分，故而為5340.31音分，其音高為F4+40。運(yùn)用前面述及的音分同頻率換算的方法，可列出以下算式：

5340.31÷3986.314+1.2136=2.5533

查2.5533的反對(duì)數(shù)為357.52，由此可知，該音的音高為357.52Hz。

關(guān)于弦上的頻率及音位計(jì)算，只能計(jì)算其相對(duì)音高，不能計(jì)算其絕對(duì)音高。弦的絕對(duì)音高的確定必須憑借其他能確定絕對(duì)音高的樂器。正因?yàn)檫@個(gè)緣故，漢代的京房既明確指出“竹聲不可以度調(diào)”，而在涉及弦準(zhǔn)的絕對(duì)音高時(shí)又不得不牽涉到律管，晉代的楊泉也因此而認(rèn)定“以管定音，以弦定律”的可行性方案。

弦何以不能確定絕對(duì)音高？這從弦的頻率公式的分析中就可以獲得證明。弦的頻率公式如下：從弦的頻率公式可知：

雖然弦的頻率(F)與弦長(L)成反比，同弦的張力(T)的平方根成正比，同弦的質(zhì)量(m)的平方根成反比。作為弦樂器上的弦，盡管弦長可以測量，但是其張力與質(zhì)量都是無法準(zhǔn)確測定的，因此頻率(F)也就無法確定。

(三)從頻率計(jì)算音分

從頻率計(jì)算音分是比較簡單的。它與弦上的音位計(jì)算正好為逆運(yùn)算。若兩個(gè)頻率分別為1362.76Hz與1485.95Hz，求這兩個(gè)頻率之間的音程?？闪谐鲆韵滤闶剑?/p>

(lg1485.95-lg1362.76)×3986.314 = (3.172-3.134)×3986.314=

0.0383986314=151.48(音分)。

(四)關(guān)于板樂器及管樂器的頻率

音律既然是樂器的重要屬性，那么除了弦樂器之外，還有打擊樂器和管樂器。打擊樂器如鐘磬，屬于板振動(dòng)。板振動(dòng)的固有頻率的計(jì)算，乃是憑借的經(jīng)驗(yàn)公式，因此除了可以對(duì)它測出的頻率進(jìn)行計(jì)算而外，目前還無法對(duì)它本身的固有頻率進(jìn)行計(jì)算。

作為板振動(dòng)的鐘磬，尤其是特殊的板振動(dòng)的樂器——鐘，據(jù)說西周就有所謂“立均出度”的“均鐘木”。盡管東周出土的鐘磬有校音的痕跡，但是所校音高的范圍不大。由此可見，自西周始，用這“均鐘木”來鑄造具有絕對(duì)音高的鐘磬是完全可信的。但是這“均鐘木”究竟是如何“立均出度”的，如今已成了難解之謎。

至于管樂器，常常見到人們述及它們的頻率公式或音程公式，看起來管樂器的固有頻率似乎是完全可以計(jì)算的。實(shí)際上管樂器除了可以對(duì)它們所奏出的音高進(jìn)行計(jì)算而外，作為樂器的固有頻率(頻率公式)或音程公式，目前還無法進(jìn)行計(jì)算。以下略述其原因。

首先就管樂器的基頻公式來說，其頻率應(yīng)該同聲波速度成正比，同氣柱的長度成反比。這看上去似乎很簡單，但是其真實(shí)情況卻不是這么簡單。原來管樂器不僅有開管樂器和閉管樂器，筆者還發(fā)現(xiàn)另有開管與閉管的結(jié)合型的管樂器。就開管與閉管來說，以邊棱音為激振源的笛類樂器，與簧哨樂器的情形又明顯不同。例如笛類樂器中的簫笛，其兩端與外界大氣相接，因此兩端都需要作管口校正，作為閉管的我國古代律管和排簫，只有一端與外界大氣相接，因此只有一個(gè)管口校正量。而就簧哨樂器來說，盡管其吹奏端已含于口中或與唇緊密相接，卻仍然有開管與閉管之分。例如中國的篳篥、管子和巴烏，外國的單簧管等都是閉管，中國的嗩吶，外國的雙簧管、大管、薩克斯管，以及各種號(hào)，都是開管。那么簧哨樂器中的開管樂器應(yīng)該有一個(gè)還是兩個(gè)管口校正量？這恐怕是我們的物理學(xué)家們還沒有認(rèn)真考慮過的問題。

再就最簡單的笛類樂器來說，律管和排簫的情形應(yīng)該是一樣的，二者之間的管端校正量(因?yàn)槭情]管，應(yīng)該只有一個(gè)管端校正量)是否應(yīng)該相同？再就簫笛來說，其聲學(xué)情形更是完全相同的。可是所有制作簫笛的人都知道，確定笛子音孔位置的公式絕對(duì)不適宜于確定洞簫的音孔位置。這是什么道理？原來簫和笛的音調(diào)不同而導(dǎo)致管長不同，即使管口校正量相同，其音孔位置的比例也必然不同；實(shí)際上簫和笛的管口校正量也確實(shí)不同，所以確定音孔位置的方法也就必然不同。

欲求管樂器的計(jì)算頻率(不是實(shí)測)，必須求得頻率計(jì)算公式；欲求管樂器的頻率計(jì)算公式，必須求得管樂器的管口校正量和管樂器中振動(dòng)著的氣柱的聲波速度。可是別說各種管樂器的管口校正量各不相同，就是管樂器中的聲波速度如今也多是借用了大氣中的速度，這顯然是未必切合實(shí)際的。筆者30多年前就通過不同管徑的律管做比對(duì)研究，證明管徑不同，管內(nèi)的聲波速度不等，從而反證管樂器之氣柱振動(dòng)時(shí)的聲波速度不能簡單地等同于大氣中自由空間的聲波速度。

基于以上分析，可知有關(guān)音律計(jì)算方面的問題，無論是弦律還是管律，都有許多有待深入研究的內(nèi)容。我們在這方面所知的確實(shí)還太少。