Koch曲線的Hausdorff測(cè)度的改進(jìn)上界估計(jì)

郭東亮

(中山大學(xué) 電子與通信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

在分形幾何研究中，分形的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測(cè)度的確定非常重要[1].對(duì)于一般集合來(lái)說(shuō)，計(jì)算其Hausdorff測(cè)度難度很大，不存在普遍適用的計(jì)算方法.滿足開集條件的自相似分形集由于具有嚴(yán)格的自相似性，其Hausdorff維數(shù)和Hausdorff測(cè)度的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，因而研究成果最多.Cantor集、Koch曲線和Sierpinski墊片是3個(gè)經(jīng)典自相似集，目前三分Cantor集的Hausdorff維數(shù)與Hausdorff測(cè)度已經(jīng)得到完全解決[1]，但Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdorff測(cè)度則難以計(jì)算出準(zhǔn)確值，只能估計(jì)其上下界.本文在已有研究成果基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造更加精細(xì)的新覆蓋并利用相關(guān)定理，得出Koch曲線的Hausdorff測(cè)度的更好上界估計(jì).

1 Koch曲線及其Hausdorff測(cè)度

1.1 Koch曲線

設(shè)K0是Euclid平面R2上的單位線段[0,1]，將K0三等分，以中間的1/3線段為底邊作正三角形，再去除底邊的內(nèi)部，得到一條由4個(gè)長(zhǎng)度為1/3的邊組成的折線，記為K1，對(duì)K1的每個(gè)邊重復(fù)上述過(guò)程，得到42個(gè)長(zhǎng)度為1/32的邊組成的折線，記為K2，重復(fù)以上過(guò)程，得到折線序列K0,K1,K2,…,Kn,當(dāng)n→時(shí)，此折線序列趨于一條曲線K，稱其為Koch曲線，它是典型的規(guī)則分形.關(guān)于Koch曲線K有如下一些相關(guān)定義和結(jié)果[1-2]:

(1)K是由壓縮比為1/3的相似壓縮定義的，其Hausdorff維數(shù)s=log34.

(2)設(shè)n≥1，Kn中夾角為60°的相鄰兩邊構(gòu)成一個(gè)正三角形，稱作Kn的基本三角形，并記作△n.

(3)K是路徑連通的，設(shè)點(diǎn)A、A′∈K，記AA′為K上從點(diǎn)A到點(diǎn)A′的連通弧.

1.2 相關(guān)引理

引理1[1]由Hausdorff測(cè)度Hs(K)的齊次性知

引理2[2]設(shè)U?Rn為可測(cè)集，|U|>0，F(xiàn)是滿足開集條件的自相似集，則

2主要結(jié)果及證明

圖1所示為K的局部圖形，其中，|AA′|=1/3，點(diǎn)A、O、A′為K1中的折線點(diǎn)，點(diǎn)E、E′為K2中的折線點(diǎn)，B、D、F為K4中的折線點(diǎn)，文獻(xiàn)[2]正是基于K4構(gòu)造了七邊形BDEOE′D′B′作為覆蓋(E′、D′、B′分別為E、D、B關(guān)于直線OO′的對(duì)稱點(diǎn))，考慮K上的連通弧BB′，推導(dǎo)K的Hausdorff測(cè)度上界.將點(diǎn)B附近的圖形放大，得到圖2，在屬于K4的邊FB上生成屬于K5的正三角形△GHI，再在屬于K5的邊GB上生成屬于K6的正三角形△JLM，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別將九邊形JMDEOE′D′M′J′作為新覆蓋(M′、J′分別為M、J關(guān)于直線OO′的對(duì)稱點(diǎn))，并考慮K上的連通弧MM′，推導(dǎo)出K的Hausdorff測(cè)度的更好上界.

圖1Koch曲線局部示意圖(K4) 圖2Koch曲線局部示意圖(K6)

Fig.1LocalsketchofKochcurve(K4)Fig.2LocalsketchofKochcurve(K6)

放大邊LB段的圖形，得到圖3，其中正三角形△NPQ屬于K7，正三角形△RST屬于K8，文獻(xiàn)[5]基于K7上的連通弧構(gòu)造新覆蓋，將K的Hausdorff測(cè)度上界進(jìn)一步減小至Hs(K)≤0.587 697，該上界是已公開發(fā)表文獻(xiàn)中的最好上界.

圖3 Koch曲線LB段局部示意圖(K8) 圖4 Koch曲線W-N-S段局部示意圖(K10)

Fig.3LocalschematicdiagramofLBFig.4LocalschematicdiagramofW-N-SsectionofKochcurve(K8)sectionofKochcurve(K10)

定理Koch曲線K的Hausdorff測(cè)度Hs(K)<0.587 650.

證明放大邊W-N-S段的圖形，得到圖4，其中正三角形△XYZ屬于K10，將11邊形NXZDEOE′D′Z′X′N′作為新覆蓋(N′、X′、Z′分別為N、X、Z關(guān)于直線OO′的對(duì)稱點(diǎn))，記為U，并考慮K上的連通弧ZZ′，易見K∩U=ZZ′.下面分析本文提出的新覆蓋U的直徑.

由于基本三角形△i的一條邊的長(zhǎng)為1/3i，i=1,2,3,…，因此有

由圖4可以算得

因此，新覆蓋U的直徑仍是|DE′|.

由引理1，得

由引理2，得

此為迭代至K10時(shí)，Koch曲線K的Hausdorff測(cè)度的上界估計(jì)值，也是目前已知的最好上界.

3 結(jié) 論

通過(guò)構(gòu)造更加精細(xì)的新覆蓋，研究了新覆蓋與Koch曲線的交集對(duì)應(yīng)的連通弧，并利用相關(guān)定理計(jì)算出了Koch曲線的Hausdorff測(cè)度的更好的上界估計(jì)值Hs(K)≤0.587 650.