回歸法在實(shí)時(shí)混合模擬數(shù)值子結(jié)構(gòu)不確定性分析中的應(yīng)用

徐偉杰 陳 城 陳夢(mèng)暉 郭 彤 黃 亮 王燕華

(1東南大學(xué)混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210096)(2山東大學(xué)土建與水利學(xué)院, 濟(jì)南 250061)

實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)是一種新型的抗震試驗(yàn)方法[1],它將試驗(yàn)結(jié)構(gòu)分為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)2部分,前者在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行實(shí)時(shí)試驗(yàn),易于模擬的部分作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.與傳統(tǒng)試驗(yàn)方法相比,該方法可以在足尺條件下對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)時(shí)加載,能夠全面反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性[2-5].然而,由于子結(jié)構(gòu)的引入,實(shí)時(shí)混合模擬的試驗(yàn)結(jié)果受到多種不確定性的影響,主要包括數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型的不確定性和作動(dòng)器動(dòng)力特性不確定性.時(shí)滯補(bǔ)償方法可以減小但不能完全消除試驗(yàn)中的不確定性,這些不確定性會(huì)導(dǎo)致實(shí)時(shí)混合模擬成為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,使試驗(yàn)結(jié)果的可靠性降低,導(dǎo)致實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)無(wú)法大規(guī)模推廣.為了解決不確定性對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響,Abbiati等[6]將多項(xiàng)式混沌展開(kāi)(PCE)引入混合試驗(yàn),證明通過(guò)若干組重復(fù)試驗(yàn)可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不確定分析.Chen等[7]進(jìn)一步將PCE引入線性結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)中,證明回歸法可以有效計(jì)算PCE系數(shù),研究不同時(shí)滯下數(shù)值子結(jié)構(gòu)不確定性與試驗(yàn)結(jié)果的關(guān)系.然而,針對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)的不確定性研究較少,PCE在實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)中的模型效果也沒(méi)有評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

本文將模型誤差作為評(píng)價(jià)PCE模型效果的評(píng)價(jià)指標(biāo),通過(guò)非線性結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬,研究回歸法在實(shí)時(shí)混合模擬數(shù)值子結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式混沌展開(kāi)不確定性分析中的應(yīng)用.

1 多項(xiàng)式混沌展開(kāi)

求解不確定性問(wèn)題的方法可以分為統(tǒng)計(jì)方法和非統(tǒng)計(jì)方法.蒙特卡羅模擬(MC)對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行大量采樣,得到該隨機(jī)過(guò)程響應(yīng)的頻率或者平均值,然而該方法收斂速度較慢,需要進(jìn)行大量的抽樣才能達(dá)到準(zhǔn)確效果[8].非統(tǒng)計(jì)方法將不確定過(guò)程在不確定空間進(jìn)行離散化,代表性方法有PCE[9-11].該方法將不確定性模型的輸出映射到一系列正交隨機(jī)多項(xiàng)式上,從而達(dá)到指數(shù)收斂速度.

Winer-Hermite多項(xiàng)式將不確定性模型的輸出映射到Hermite多項(xiàng)式上.令X(ω)為一個(gè)由服從高斯分布的不確定性參數(shù)ξ={ξi1,ξi2,…ξin,…}構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程,則[10]

(1)

式中,a0,ai1,ai1,i2為PCE系數(shù);Hn為n階Hermite多項(xiàng)式.在PCE中,X(ω)的均值等于a0,X(ω)的方差等于除a0外PCE系數(shù)的平方和.

當(dāng)不確定性參數(shù)不滿足高斯分布時(shí),式(1)的收斂速度并不快.廣義混沌多項(xiàng)式利用Askey多項(xiàng)式將Winer-Hermite多項(xiàng)式擴(kuò)展到其他分布[11].與Winer-Hermite多項(xiàng)式類(lèi)似,廣義多項(xiàng)式混沌可將隨機(jī)過(guò)程X(ω)表示為

(2)

式中,In為n階Askey多項(xiàng)式.

2 多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算方法

多項(xiàng)式系數(shù)ai的計(jì)算是PCE的關(guān)鍵.多項(xiàng)式混沌在實(shí)際應(yīng)用中只能為有限項(xiàng)的多項(xiàng)式,故需將式(1)截?cái)酁?/p>

(3)

式中

Hi{ξ}T={H0,H1(ξ),…,Hi(ξ)}T

式中,P為混沌多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),且

(4)

式中,p和M分別為多項(xiàng)式的階數(shù)和不確定性變量的個(gè)數(shù).根據(jù)是否將原模型映射到正交空間重新構(gòu)建控制方程,計(jì)算系數(shù)的方法可分為侵入式算法和非侵入式算法2種.侵入式算法基于Galerkin映射;非侵入式算法則包括回歸法和非侵入式映射法.與侵入式算法相比,非侵入式方法計(jì)算簡(jiǎn)便,實(shí)際工程中應(yīng)用更為廣泛.

2.1 Galerkin映射法

令εL為截?cái)嗪蟮亩囗?xiàng)式混沌和不確定性模型之間的誤差,則[9]

(5)

利用多項(xiàng)式之間的正交性,該誤差在各階多項(xiàng)式構(gòu)成的子空間為0,可以構(gòu)成P+1個(gè)耦合方程,從而計(jì)算多項(xiàng)式混沌的系數(shù)ai.

2.2 回歸法

回歸法對(duì)模型真實(shí)解與多項(xiàng)式混沌基進(jìn)行回歸分析,計(jì)算多項(xiàng)式混沌的系數(shù)[12].該方法通過(guò)對(duì)樣本點(diǎn)取樣,不需要對(duì)正交基進(jìn)行映射,即

ai=minE(X′(ω)-X(ω))d

(6)

式中,minE為期望的最小值;X′(ω)為樣本點(diǎn)處模型真實(shí)解;d為回歸的階數(shù),通常取2.

文獻(xiàn)[13]指出,當(dāng)樣本點(diǎn)數(shù)目大于P(M-1)時(shí),回歸效果并不會(huì)隨點(diǎn)數(shù)增加而明顯變化,因此回歸點(diǎn)數(shù)一般取為P(M-1).采用回歸法計(jì)算得到的多項(xiàng)式混沌與真實(shí)模型相比,樣本點(diǎn)精確度較高,非樣本點(diǎn)精確度較低.

2.3 非侵入式映射法

非侵入式映射法與Galerkin映射類(lèi)似,都是將樣本值映射到基函數(shù)中.然而,非侵入式映射法通過(guò)定義樣本權(quán)重計(jì)算,將系數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)換為不同權(quán)重下樣本點(diǎn)的積分,因此不需要重新構(gòu)建控制方程[12].

2.4 非侵入式算法比較

UQlab是一個(gè)基于MATLAB的不確定性分析軟件,該軟件采用非侵入式算法計(jì)算多項(xiàng)式混沌的系數(shù)[13].UQlab采用最小角回歸實(shí)現(xiàn)回歸法參數(shù)計(jì)算.對(duì)于非侵入式映射法,通過(guò)高斯積分的權(quán)重選擇樣本點(diǎn)計(jì)算多項(xiàng)式的系數(shù),樣本點(diǎn)數(shù)為(p+1)M.顯然,當(dāng)隨機(jī)變量維度較低時(shí),非侵入式映射法效果較好,而當(dāng)維度較高時(shí),回歸法效果較好.以3個(gè)隨機(jī)變量為例,回歸法和非侵入式映射法所需的樣本點(diǎn)數(shù)見(jiàn)圖1.由圖可知,除一階多項(xiàng)式外,非侵入式映射法需要的樣本點(diǎn)數(shù)大于回歸法,且階數(shù)越多,相差越大.因此,回歸法對(duì)處理高維問(wèn)題要優(yōu)于非侵入式映射法.

圖1 回歸法和非侵入式映射法所需的樣本點(diǎn)數(shù)

3 模型誤差

PCE的目的是建立原始模型的代替模型,其效果主要體現(xiàn)在代替模型與原始模型的接近程度上.對(duì)于回歸法,模型精度在樣本點(diǎn)處精度較高而在非樣本點(diǎn)處精度較低,因此不能采用樣本點(diǎn)效果來(lái)判斷PCE效果.

建立PCE模型后,在樣本空間隨機(jī)抽取100個(gè)樣本,計(jì)算PCE模型與原始模型的誤差平均值M,即

(7)

式中,XORG和XPCE分別為原始模型和PCE模型的輸出.分析過(guò)程中采用100個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn),充分考慮了不確定性的影響,M直接反映了PCE模型與原始模型的誤差,因此可以用于評(píng)價(jià)PCE的效果.然而,由于引入額外的樣本計(jì)算,該方法更適合于模型運(yùn)算量不大的情況.當(dāng)模型運(yùn)算量較大時(shí),可以減少樣本抽取點(diǎn)數(shù),但不應(yīng)小于10個(gè)樣本,否則無(wú)法反映模型的真實(shí)效果.

4 數(shù)值模擬

4.1 數(shù)值模型

以單自由度非線性結(jié)構(gòu)為例,研究回歸法在實(shí)時(shí)混合模擬數(shù)值子結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式混沌展開(kāi)不確定性分析中的應(yīng)用.對(duì)于存在時(shí)滯τ的單自由度線性結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為時(shí)滯微分方程的形式,即

(8)

(9)

式(9)為式(8)的最不利形式,即阻尼全部集中于數(shù)值子結(jié)構(gòu)而剛度全部集中于試驗(yàn)子結(jié)構(gòu).采用Bouc-Wen模型模擬結(jié)構(gòu)的非線性,恢復(fù)力計(jì)算式為

re(t)=ηkx(t)+(1-η)kxyz(t)

(10)

式中,xy為數(shù)值子結(jié)構(gòu)的屈服位移,此處取值為0.1 m;k為結(jié)構(gòu)的線彈性剛度;η為數(shù)值子結(jié)構(gòu)屈服前后的剛度比,此處取值為0.1;z(t)為Bouc-Wen參數(shù),由下式計(jì)算得到:

(11)

式中,β、γ、q為控制滯回曲線形狀的參數(shù),此處分別取值為0.55、0.45和2.

結(jié)構(gòu)位移的最大響應(yīng)是結(jié)構(gòu)分析的重要指標(biāo)之一.當(dāng)時(shí)滯微分方程的質(zhì)量、阻尼和剛度均確定時(shí),可計(jì)算求得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)最大值;反之,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)最大值則具有不確定性.傳統(tǒng)的MC模擬需要進(jìn)行大量運(yùn)算,才能計(jì)算出位移響應(yīng)最大值分布.若采用多項(xiàng)式混沌,將質(zhì)量、阻尼和剛度作為PCE不確定性輸入,位移最大值作為PCE輸出,通過(guò)少量的數(shù)值模擬即可計(jì)算出位移響應(yīng)最大值分布.

為不失一般性,假定時(shí)滯微分方程中的質(zhì)量、阻尼和線彈性剛度為不確定性參數(shù),且均服從高斯分布,均值分別為1 kg、0.251 3和39.478 4 kN/mm.不確定性參數(shù)均方差取如下的4種情況:① 均方差為均值的0.05倍,即均方差與均值的比值σ=0.05;② 均方差為均值的0.10倍,即σ=0.10;(3)均方差為均值的0.20倍,即σ=0.20;④ 均方差為0,即σ=0,說(shuō)明位移最大值不存在不確定性,因此不需要對(duì)其建立PCE模型,其結(jié)果僅用于與其他情況進(jìn)行對(duì)比.地震波輸入采用MU2035,為保證結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性,其峰值加速度為2.468g.實(shí)時(shí)混合模擬的時(shí)滯τ取為0～10 ms,每個(gè)時(shí)滯情況下考慮3種不確定性參數(shù)均方差工況,因此需要構(gòu)建33個(gè)PCE模型,PCE的階數(shù)為7,采用稀疏取樣方法取樣,樣本點(diǎn)數(shù)為240.采用最小角回歸法方法,計(jì)算式(1)中的120個(gè)系數(shù).

4.2 不同時(shí)滯下的PCE模型

采用UQlab計(jì)算PCE模型,采用回歸法計(jì)算模型系數(shù).對(duì)于7階PCE模型,當(dāng)不確定性變量數(shù)為3時(shí),模型系數(shù)共120個(gè).σ=0、0.05、0.10、0.20時(shí)位移最大值的均值與方差、時(shí)滯的關(guān)系曲線見(jiàn)圖2.由圖2(a)可知,時(shí)滯相同時(shí),輸入的不確定性越大,位移最大值的均值就越大.當(dāng)時(shí)滯為0時(shí),σ=0.05、0.10、0.20較σ=0時(shí)的位移最大值分別增加2.0%、6.0%、10.4%.當(dāng)輸入的不確定性不變時(shí),時(shí)滯越大,位移最大值的均值越大,且這一規(guī)律隨輸入不確定性的增大而更加明顯.當(dāng)時(shí)滯為10 ms時(shí),σ=0.05、0.10、0.20較σ=0時(shí)的位移最大值分別增加2.6%、7.6%、14.6%.由此可知,時(shí)滯越大或輸入不確定性越強(qiáng)時(shí),實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)越需要進(jìn)行不確定性分析.

由圖2(b)可知,時(shí)滯相同時(shí),輸入的不確定性越大,位移最大值的方差越大.對(duì)于σ=0.05、0.10兩種情況,位移最大值的方差均隨時(shí)滯增大而增大;而σ=0.20時(shí)位移最大值的方差和時(shí)滯之間并沒(méi)有明顯的關(guān)系.顯然,σ=0.20的情況與σ=0.05、0.10的情況不符,需要通過(guò)誤差平均值評(píng)價(jià)模型的準(zhǔn)確性.

4.3 不同時(shí)滯下的PCE模型誤差

對(duì)上述33個(gè)模型采用誤差平均值驗(yàn)證PCE模型的準(zhǔn)確性.對(duì)于每個(gè)模型,在樣本空間中任取100個(gè)樣本,計(jì)算PCE與原始模型的誤差.圖3給出了時(shí)滯τ=5、10 ms時(shí)100個(gè)樣本點(diǎn)的PCE模型和原始模型位移值.由圖可知,隨著不確定性參數(shù)均方差的增大,PCE模型和原始模型的誤差也增大.根據(jù)式(7),不同PCE模型誤差見(jiàn)表1.

表1 PCE的模型誤差 %

由表1可知,當(dāng)不確定性參數(shù)均方差為均值的0.05倍時(shí),誤差平均值的變化范圍為0.002%～0.02%;當(dāng)不確定性參數(shù)均方差為均值的0.10倍時(shí),誤差平均值的變化范圍增大為0.02%～0.4%;當(dāng)不確定性參數(shù)均方差為均值的0.20倍時(shí),誤差平均值的變化范圍增大為0.5%～5%.顯然,隨著變量方差的增大,PCE模型的準(zhǔn)確性明顯下降.當(dāng)不確定性參數(shù)均方差提高4倍時(shí),位移最大值的模型誤差增大了250倍.因此,圖3(b)中位移最大值不隨時(shí)滯增大而增大可以認(rèn)為是由PCE模型誤差導(dǎo)致.當(dāng)不確定性參數(shù)均方差較小時(shí),采用回歸法計(jì)算的PCE模型僅需少量的樣本點(diǎn)即可得到比較精確的結(jié)果;而當(dāng)不確定性參數(shù)的方差較大時(shí),采用回歸法計(jì)算的PCE模型需要更高的階數(shù)和更多的樣本點(diǎn)才能保證準(zhǔn)確性.

5 結(jié)論

1) 當(dāng)數(shù)值子結(jié)構(gòu)參數(shù)存在不確定性時(shí),位移最大值的均值要比數(shù)值子結(jié)構(gòu)參數(shù)取均值時(shí)的位移最大值大,且輸入不確定性參數(shù)越大或時(shí)滯越大,位移最大值的均值和方差越大.

2) 多項(xiàng)式混沌展開(kāi)效果可以采用模型誤差評(píng)價(jià).模型誤差越小,說(shuō)明多項(xiàng)式混沌展開(kāi)越精確,對(duì)原模型的替代效果越好.

3) 在實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)中,當(dāng)數(shù)值子結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)均方差較小時(shí),采用回歸法計(jì)算的PCE模型僅需要少量的樣本點(diǎn)即可得到比較精確的結(jié)果;而當(dāng)不確定性參數(shù)的方差較大時(shí),采用回歸法計(jì)算的PCE模型需要更高的階數(shù)和更多的樣本點(diǎn)才能保證準(zhǔn)確性.

(a) τ=5 ms,σ=0.05

(b) τ=10 ms,σ=0.05

(c) τ=5 ms,σ=0.10

(d) τ=10 ms,σ=0.10

(e) τ=5 ms,σ=0.20

(f) τ=10 ms,σ=0.20