分塊對稱r 循環(huán)算子的范數(shù)不等式

史一彬， 秦 梅

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

基于降階的思想，由分塊循環(huán)算子的元素估計分塊循環(huán)算子范數(shù)的方法近年來越來越引起研究者的關(guān)注。Audenaert[1]給出了形如A=的半正定 2×2塊矩陣的范數(shù)上下界，Bani-Ahmad 等[2]研究了一般形式的 2 ×2塊算子的范數(shù)不等式，潘雪等[3]、史雨梅等[4]研究了首尾差r-循環(huán)矩陣和塊結(jié)構(gòu)首尾差r-循環(huán)矩陣的對角化和范數(shù)估計，Bani-Domia 等[5]給出了無參數(shù)的分塊循環(huán)算子的范數(shù)估計結(jié)果，文獻[6]研究了帶復(fù)參數(shù)的分塊循環(huán)算子的范數(shù)等式和不等式。本文也在此基礎(chǔ)上給出了分塊對稱 r循環(huán)算子和分塊對稱 r反循環(huán)算子的范數(shù)等式與不等式結(jié)果。

1 預(yù)備知識

令B(H)為n維復(fù)可分Hilbert 空間 H上的所有有界線性算子的 C?-代數(shù)，n個H空間的直和記作若是B(H)中的算子，則分塊算子可視為中的算子，且對任意分塊向量x=(x0,x1,···,xn?1)T∈H(n)有

若A0,A1,···,An?1是 B(H)中的算子，則分塊對稱 r循環(huán)算子記為

分塊對稱 r反循環(huán)算子記為

稱定義在 B(H) 中 的范數(shù) τ為弱酉不變范數(shù)[8]，如果對于任意的 A ∈B(H)， 同階酉算子 U ∈B(H)滿足τ(A)=τ(UAU?)；稱定義在算子理想（包含在緊算子理想中）中的范數(shù) | ||·|||為酉不變范數(shù)[8]，如果對于 任 意 的 A ∈B(H)及 同 階 酉 算 子 U,V ∈B(H)滿 足

算 子 A ∈B(H)的 Schatten p?范 數(shù)[9]記為‖A‖p=其中p ∈[1,+∞) ； σj(A)(j=1,2,···,n)為 A的奇異值，且易知 ‖·‖p是酉不變的。

2 分塊對稱r 循環(huán)算子的范數(shù)上界

定理1若 A0,A1,···,An?1∈B(H)且 r ≠1，則有

證明令1,ω,ω2,···,ωn?1為n個單位根，ω=e2πi/n，

這里及下文中 ?表示Kronecker 積。

smcircr(A0,A1,···,An?1)有如下形式的準對角化結(jié)果

這里

同理，由式（1）可得

推論1若 A0,A1,···,An?1∈B(H)， r =1則有

特別地，當(dāng) n =2時，有

推論2若 A,B ∈B(H)， r ≠1，則

特別地，當(dāng) m =n時，

證明由定理1 知

這里 X= A 或 B。

對于某個k，式（2）右邊

3 分塊對稱r 反循環(huán)算子的范數(shù)上界

定理2若 A0,A1,···,An?1∈B(H)且 r ≠1，則有

證明令方程zn=?r 的n 個 根為tσ,tσω,tσω2,···,

所以 V?1=F?T?1. 又 smscircr(A0,A1,···,An?1)有如下形式的準對角化結(jié)果：

這里 Q與式（1）中相同。

由定理1 的證明易知

同理，由式（4）可得

推論3若 A0,A1,···,An?1∈B(H)， r =1，則有

特別地，當(dāng) n =2時，有

推論4若 A,B ∈B(H)， r ≠1，則

特別地，當(dāng) m =n時，

證明由定理2 知

這里 X= A 或 B。

對于某個k，式（5）右邊

這里

且當(dāng) k =0時，取得最大值為

式（6）右邊合并后即得證。

4 結(jié) 論

上述的系列結(jié)論給出了分塊對稱r 循環(huán)算子和分塊對稱r 反循環(huán)算子降階的范數(shù)結(jié)果（r =1）或范數(shù)上界結(jié)果（ r ≠1）， 在一定程度上降低了計算和估計分塊對稱r 循環(huán)算子和分塊對稱r 反循環(huán)算子范數(shù)的復(fù)雜度。 對于分塊對稱r 循環(huán)算子和分塊對稱r 反循環(huán)算子上界的更好的估計及其下界結(jié)果還有待進一步研究。