2020年高考“直線(xiàn)與圓”經(jīng)典問(wèn)題聚集

王瑋

直線(xiàn)和圓的幾何性質(zhì)在解析法中的應(yīng)用，一直是高考命題的熱點(diǎn)，凸顯了代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)和幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的本質(zhì)屬性。需要掌握直線(xiàn)的傾斜角和斜率，直線(xiàn)方程的幾種形式（如點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式等），兩直線(xiàn)位置關(guān)系（平行、垂直）的判定和應(yīng)用。需要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程，與圓有關(guān)的最值問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等。本文以2020年高考試題為載體，對(duì)直線(xiàn)和圓中的熱點(diǎn)題型進(jìn)行歸類(lèi)剖析，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

聚焦1——恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程的應(yīng)用

例1 （2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文8）點(diǎn)（0，1）到直線(xiàn)y=k（x+1）的距離的最大值為（

）。

A.1 B.√2 C.√3 D.2

解析：由y=k（x+1）可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（ 1，0），設(shè)A（0，1），當(dāng)直線(xiàn)y=k（x+1）與AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線(xiàn)y=k（x+1）的距離最大，即為|AP|=√2。故選B。

反思：直線(xiàn)方程中含有參數(shù)一定是恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系，解出定點(diǎn)后可用幾何法探究最值。如本題可探究恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系與直線(xiàn)外一點(diǎn)距離的最大值，轉(zhuǎn)化兩定點(diǎn)之間的距離，考查了點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng)。

聚焦2——待定系數(shù)法確定圓的方程

例2 （2020年高考北京卷5）已知半徑為l的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（ ）。

A.4 B.5 C.6 D.7

解析：由題意知?jiǎng)訄A的圓心在以（3，4）為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)圓的圓心、原點(diǎn)和點(diǎn)（3，4）三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，圓心到原點(diǎn)的距離最小為√3²+4²-l=4。故選A。

反思：由特殊條件和幾何性質(zhì)求圓的方程，關(guān)鍵是對(duì)圓兩種方程構(gòu)建過(guò)程的認(rèn)知，合理選擇一般式和標(biāo)準(zhǔn)式。一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式;否則，選擇一般式。不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式進(jìn)行求解。本題利用三點(diǎn)共線(xiàn)的條件確定圓心的坐標(biāo)位置，進(jìn)而求出圓心到原點(diǎn)距離的最小值，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

聚焦3——直接法探究圓的軌跡方程

例3 （2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文6）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)。若AC . BC=1，則點(diǎn)C的軌跡為（ ）。

A.圓 B.橢圓 C.拋物線(xiàn)

D.直線(xiàn)

反思：用直接法探究動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，需合理建系，設(shè)出定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何條件坐標(biāo)化，化簡(jiǎn)整理得到橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系式，這是探究軌跡方程最基本和直接的方法，反思：直線(xiàn)與圓相切，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得到圓心坐標(biāo)與半徑之間的關(guān)系，可以降元簡(jiǎn)化運(yùn)算，凸顯圓的幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)化作用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象等學(xué)科素養(yǎng)。

聚焦6——幾何法探究直線(xiàn)和圓的最值或范圍問(wèn)題

反思：求解本題關(guān)鍵在于如何合理轉(zhuǎn)化| PM|.|AB |最小，借助圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)構(gòu)成的四邊形共圓，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離最短等問(wèn)題化歸為求兩圓的公共弦的方程問(wèn)題，考查了直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象等學(xué)科素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯 王福華）