空間平行、垂直證明與求空間角高考考點(diǎn)探究與突破

王喜

直線、平面平行（垂直）的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容。題型主要是解答題，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想。同時(shí)，其問(wèn)題形式一般是：首先，在幾何體中證明平行或垂直關(guān)系;其次，結(jié)合獲取的平行或垂直關(guān)系求幾何體中的異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角及空間距離，以求二面角的平面角居多。

考點(diǎn)一：直線，平面平行的判定及其性質(zhì)與線面角

通過(guò)空間向量求空間角是高考中的必考內(nèi)容，涉及用向量法計(jì)算空間異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角及空間距離等內(nèi)容。命題以解答題為主，解題要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，廣泛應(yīng)用函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想。

例1 如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PA上平面ABCD，AD∥BC.AB=AD=AC=3.PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)。

（1）證明MN∥平面PAB：

（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值。

規(guī)律總結(jié)：（l）證明直線與平面平行，一般有以下幾種方法：①若用定義直接判定，一般用反證法;②用判定定理來(lái)證明，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程;③應(yīng)用兩平面平行的一個(gè)性質(zhì)，即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面。

（2）判定平面與平面平行的方法：①利用定義;②利用面面平行的判定定理;③利用面面平行的判定定理的推論;④面面平行的傳遞性（a∥β，β∥γ=>a∥γ）;⑤利用線面垂直的性質(zhì)（l⊥a，l⊥β=> a//β）。

考點(diǎn)二：直線，平面垂直的判定及其性質(zhì)與二面角的平面角

利用空間向量求二面角，一是要找到適合的坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，二是要求出兩個(gè)半平面的法向量，最后把兩個(gè)法向量的夾角反映為二面角的平面角，通過(guò)求解相應(yīng)的三角函數(shù)值，落實(shí)二面角的平面角。

例2 如圖6，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)o，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=5/4，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D'EF的位置，OD'=√10。

（1）證明：D'H⊥平面ABCD;

（2）求二面角B-D 'A-C的正弦值。

解析：（l）由已知可得AC⊥BD，AD=

規(guī)律總結(jié)：（l）解決垂直關(guān)系的基本問(wèn)題時(shí)要注意：①緊扣垂直關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理;②借助于圖形進(jìn)行判斷;③通過(guò)舉反例進(jìn)行判斷。

在已知平面與平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。

通過(guò)以上的兩個(gè)例題，我們主要是針對(duì)求線面角、二面角的解題思路做出了解答，目的在于幫助同學(xué)們對(duì)這兩類熱點(diǎn)題型在思想與方法上進(jìn)行歸納、總結(jié)，當(dāng)我們?cè)俅斡龅綍r(shí)可以做到有的放矢。

（責(zé)任編輯 王福華）