證據(jù)推理讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深刻

朱國(guó)軍

摘? ? 要?? ?基于“證據(jù)”的數(shù)學(xué)教學(xué)要培育學(xué)生的證據(jù)意識(shí)，提升學(xué)生的論證能力。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生收集證據(jù)、應(yīng)用證據(jù)、分享證據(jù)、反思證據(jù)，讓證據(jù)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有力抓手?！白C據(jù)”能深化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的卷入度、能見(jiàn)度、可信度和沉淀度。通過(guò)證據(jù)，能不斷地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞? 小學(xué)數(shù)學(xué) 證據(jù)推理 深度學(xué)習(xí)

“證據(jù)”是指反映一種事物對(duì)另一種事物的證明關(guān)系（關(guān)聯(lián)性）。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立證據(jù)意識(shí)，形成“證據(jù)支持主張”的論證思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“有理有據(jù)”地思考、推斷。從證據(jù)材料來(lái)看，證據(jù)包括已有的事實(shí)知識(shí)、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、原始數(shù)據(jù)等。因此，讓學(xué)生收集證據(jù)、分享證據(jù)、關(guān)聯(lián)證據(jù)、補(bǔ)充證據(jù)，應(yīng)當(dāng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)證據(jù)推理的必要環(huán)節(jié)。

一、定位：引導(dǎo)學(xué)生搜尋證據(jù)

證據(jù)是學(xué)生推斷新知識(shí)的材料，可以分為直接證據(jù)和間接證據(jù)。運(yùn)用證據(jù)進(jìn)行推斷，不僅可以證實(shí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生證偽。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，是運(yùn)用直接證據(jù)還是運(yùn)用間接證據(jù)，是證實(shí)還是證偽，不僅要依據(jù)數(shù)學(xué)推理內(nèi)容，而且要依據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情。證據(jù)定位，就是要找準(zhǔn)教學(xué)的方向目標(biāo)，從而讓教學(xué)有的放矢。

數(shù)學(xué)教學(xué)在證據(jù)中定位，能有效地培育學(xué)生的證據(jù)意識(shí)。要關(guān)注每一位學(xué)生，讓每一位學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都能留有思考的痕跡。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分感知，引導(dǎo)學(xué)生多向思考，引導(dǎo)學(xué)生深度探究。只有這樣，才能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)證據(jù)、把握證據(jù)。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“梯形的面積”，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積、三角形的面積等，因此，教師在教學(xué)中要拓展證據(jù)的廣度，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，而且可以引導(dǎo)學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成三角形、長(zhǎng)方形等;可以變換證據(jù)推理的角度，比如引導(dǎo)學(xué)生采用各種方式方法進(jìn)行推理，如剪拼法、倍拼法、分割法等;可以提高證據(jù)推理的深度，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生積極猜想，而且可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并將轉(zhuǎn)化前后的圖形進(jìn)行比較，等等。在運(yùn)用證據(jù)進(jìn)行推理的過(guò)程中，證據(jù)材料側(cè)重于積累，其主要表征的是證據(jù)“是什么”的廣度問(wèn)題;論證方式側(cè)重于思考、探究，其主要表征證據(jù)“怎樣推理”的問(wèn)題;證據(jù)反思側(cè)重于反饋、評(píng)價(jià)，其主要表征證據(jù)“為什么這樣推理”的問(wèn)題。解決好證據(jù)材料、論證方式以及論證反饋、評(píng)價(jià)等問(wèn)題，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能真正走向?qū)嵶C。

通過(guò)證據(jù)的定位，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)科學(xué)、合理的預(yù)期，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“學(xué)而有向”“學(xué)而有據(jù)”“學(xué)而有理”。基于證據(jù)準(zhǔn)備的視角，教師可以設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，可以提供可操作的工具，從而對(duì)證據(jù)進(jìn)行廣角掃描。

二、定法：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用證據(jù)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從某種意義上來(lái)說(shuō)，就是以證據(jù)為起點(diǎn)，以學(xué)習(xí)目標(biāo)為歸宿，在證據(jù)和目標(biāo)之間的路徑規(guī)劃。通過(guò)具體的謀劃，引導(dǎo)學(xué)生探尋論證的方法，進(jìn)而提升學(xué)生的論證能力。由于證據(jù)與證據(jù)之間的關(guān)聯(lián)是多樣化的，可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，因此，證據(jù)推理必須要嚴(yán)密，也就是要講究邏輯性。

證據(jù)推理，從形式上來(lái)看，主要可以分為類比性證據(jù)推理、歸納性證據(jù)推理及演繹性證據(jù)推理等。類比性證據(jù)推理是從特殊到特殊的推理;歸納性證據(jù)推理是從特殊到一般的推理;演繹性推理是從一般到特殊的推理。其中，歸納性證據(jù)推理可以分為完全歸納性證據(jù)推理和不完全歸納性證據(jù)推理。在推理的過(guò)程中，學(xué)生還會(huì)產(chǎn)生新的證據(jù)。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生處理好原證據(jù)與新證據(jù)之間的關(guān)聯(lián)，以便讓學(xué)生的證據(jù)推理留下更深的痕跡。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”，有學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量、撕角、折角等方法，以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)，得出“三角形的內(nèi)角和是180°”。有學(xué)生則不滿足于這樣的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，積極從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中尋找論證的突破口。由此，有學(xué)生認(rèn)為，長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是180°，任意兩個(gè)完全相同的直角三角形都可以拼成長(zhǎng)方形，所以任意直角三角形的內(nèi)角和是180°;任意一個(gè)銳角三角形或鈍角三角形都可以沿著高分成兩個(gè)直角三角形，所以任意一個(gè)銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°;所以任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°。這個(gè)論證過(guò)程不斷轉(zhuǎn)變證據(jù)，從長(zhǎng)方形到直角三角形，既有演繹，又有完全歸納，因而是一種較為嚴(yán)密的證明。正是在積極尋找有力證據(jù)的過(guò)程中，學(xué)生將實(shí)驗(yàn)論證與理論論證相結(jié)合，令人信服地論證了三角形的內(nèi)角和是180°。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生以證據(jù)為起點(diǎn)，以學(xué)習(xí)目標(biāo)為依據(jù)，在證據(jù)與目標(biāo)之間積極謀劃路徑，從而創(chuàng)造一種適恰的論證方式。在這個(gè)過(guò)程中，每一個(gè)個(gè)體都會(huì)努力突破個(gè)體認(rèn)知局限，主動(dòng)地探尋不同形態(tài)的論據(jù)。對(duì)同一個(gè)知識(shí)，不同的學(xué)生可能會(huì)從不同的視角、運(yùn)用不同的論據(jù)進(jìn)行不同形式的的論證，在這一過(guò)程中，學(xué)生還會(huì)積極尋找新的論據(jù)，從而不斷地提升自我的學(xué)習(xí)力，發(fā)展自我的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、定向：引導(dǎo)學(xué)生分享證據(jù)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的證據(jù)推理，教師要給予持續(xù)地跟蹤。只有持續(xù)地跟蹤，才不會(huì)讓學(xué)生的證據(jù)推理偏離方向，才能讓學(xué)生的證據(jù)推理始終向目標(biāo)邁進(jìn)。持續(xù)地跟蹤，就能對(duì)學(xué)生的論證過(guò)程予以定向。在整體的方向框架內(nèi)，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入地交流證據(jù)。很多時(shí)候，學(xué)生的證據(jù)能相互支持，成為一種彼此交互的證據(jù)。在這個(gè)過(guò)程中，教師要努力促成學(xué)生彼此之間證據(jù)的積極遷移。

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要高屋建瓴地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解讀，更要把握學(xué)生具體學(xué)情。作為教師，要設(shè)置主導(dǎo)性的問(wèn)題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中思考、探究，找尋證據(jù)?；谧C據(jù)的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能讓學(xué)生了解到證據(jù)的重要性，更能讓學(xué)生學(xué)會(huì)判斷自我的數(shù)學(xué)思考、探究是否能達(dá)成目標(biāo)。牢牢把握證據(jù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能在證據(jù)中生長(zhǎng)。比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“圓柱的體積”，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，用實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為證據(jù)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生推理。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生用切拼法將圓柱體的模型切成楔子形狀的直扇柱體時(shí)，有學(xué)生將這些直扇柱體拼成一個(gè)底面是近似三角形的三棱柱，有學(xué)生拼接成底面是近似梯形的四棱柱，還有學(xué)生拼接成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，等等。在引導(dǎo)學(xué)生以自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為證據(jù)進(jìn)行推理時(shí)，他們都能積極、主動(dòng)地比較這些近似的三棱柱、四棱柱、長(zhǎng)方體與原來(lái)圓柱體的關(guān)系，從而推導(dǎo)出圓柱體的體積。在比較推理過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)盡管各自將圓柱體轉(zhuǎn)化成了不同的形體，但卻都可以推導(dǎo)出相同的圓柱體的體積公式。不僅如此，將圓柱轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方體的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不同的擺放方式，長(zhǎng)方體的底面積不同、高也不同。圓柱體的體積既等于底面積乘高，又等于側(cè)面積一半乘半徑，還等于高與半徑的乘積再乘以圓柱體底面周長(zhǎng)的一半。在這個(gè)過(guò)程中，盡管學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程不同，所用證據(jù)不同，但這些不同的證據(jù)之間彼此卻形成了一種互證。這樣的互證，讓學(xué)生在多維的交織中實(shí)現(xiàn)著群體的學(xué)習(xí)進(jìn)階。值得注意的是，在引導(dǎo)學(xué)生分享證據(jù)的過(guò)程中，教師要給予學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生運(yùn)用自我的證據(jù)積極論證。只有這樣，才能促成學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷進(jìn)階。

四、定度：引導(dǎo)學(xué)生反思證據(jù)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，證據(jù)不一定是客觀的，證據(jù)也有可能是主觀的;證據(jù)有可能是真實(shí)的，也有可能是虛假的;證據(jù)有可能是有力的，也有可能是模糊的、零碎的、膚淺的。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生在證據(jù)推理的過(guò)程中反思證據(jù)，是否合理、是否科學(xué)、是否有效，等等。正是通過(guò)對(duì)證據(jù)的不斷反思，讓學(xué)生能主動(dòng)地修正證據(jù)、補(bǔ)充證據(jù)、完善證據(jù)。通過(guò)證據(jù)的不斷完善，完善學(xué)生的證據(jù)推理。

比如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形 的面積”，有學(xué)生在進(jìn)行證據(jù)推理時(shí)，提出了這樣的猜想：平行四邊形的面積是底乘斜邊;而有學(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的面積等于底乘高。為此，筆者追問(wèn)學(xué)生各自猜想的證據(jù)。有學(xué)生說(shuō)，因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢酝评砷L(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的斜邊，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘斜邊。顯然，學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想證據(jù)中有些不能稱之為證據(jù)，而是學(xué)生的一種迷思概念、相異構(gòu)想，是影響學(xué)生正確進(jìn)行推理的障礙。對(duì)這樣的迷思性的證據(jù)、相異構(gòu)想性的證據(jù)，教師要進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生自識(shí)其陋、自識(shí)其錯(cuò)。如在上述教學(xué)中，當(dāng)筆者發(fā)現(xiàn)了學(xué)生猜想所依據(jù)的證據(jù)是一種錯(cuò)誤證據(jù)時(shí)，及時(shí)給學(xué)生提供了方格紙，讓學(xué)生對(duì)證據(jù)進(jìn)行自我審視、自我否定。學(xué)生直觀地看到，在長(zhǎng)方形推拉成平行四邊形的過(guò)程中，面積發(fā)生了變化，因而從推拉視角提出的證據(jù)是錯(cuò)誤的。而提出另一個(gè)猜想的依據(jù)是平行四邊形可以剪拼成長(zhǎng)方形，在這個(gè)過(guò)程中，面積沒(méi)有發(fā)生變化，因而這一猜想依據(jù)是成立的，是一個(gè)真正的證據(jù)。由此，學(xué)生對(duì)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，就能主動(dòng)地舍棄推拉法，轉(zhuǎn)而采用剪拼法推導(dǎo)平行四邊形的面積。對(duì)證據(jù)的反思、批判，使學(xué)生的學(xué)習(xí)歷程、思維進(jìn)階等留下了更深的痕跡。

證據(jù)是學(xué)生證據(jù)推理的基石?；谧C據(jù)的數(shù)學(xué)推理教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生努力搜集證據(jù)、應(yīng)用證據(jù)、分享證據(jù)、反思證據(jù)。證據(jù)能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“卷入度”，能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“能見(jiàn)度”，能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“可信度”，能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“沉淀度”。通過(guò)證據(jù)，能不斷地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]