高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題技巧分析

李慶濤

【摘要】在高中階段的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)是一門非常重要的學(xué)科，它能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)邏輯思維能力，提升科學(xué)素養(yǎng).其中數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，由于其知識(shí)較為抽象，因此很多學(xué)生在解答的時(shí)候都會(huì)遇到阻礙.本文就這類題目的解題技巧進(jìn)行分析，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)列問題;解題技巧

引?言

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列問題一直都是非常重要的部分，在考試中所占的分值往往都比較多.學(xué)生如果掌握了一些有效的解題技巧就會(huì)使整個(gè)答題過程變得順利起來(lái)，同時(shí)提升解答速度，從而給其他題目的解答爭(zhēng)取更多的時(shí)間.數(shù)列問題的解題技巧非常多，學(xué)生可以在反復(fù)練習(xí)之下找到更多適合自己解題的方式，輕輕松松地去應(yīng)對(duì)各種數(shù)列問題.

一、數(shù)列知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中的重要地位

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列知識(shí)屬于一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的章節(jié)，但其重要性仍舊不能被我們忽視.如果從數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的角度進(jìn)行分析，數(shù)列知識(shí)就屬于典型的多種數(shù)學(xué)知識(shí)交叉章節(jié).它通常能夠作為絕大部分綜合性習(xí)題的背景，全方位考查一些知識(shí)點(diǎn)的掌握情況.一般數(shù)列會(huì)和不等式、函數(shù)與方程等知識(shí)相互聯(lián)系.不斷地應(yīng)用解題技巧進(jìn)行問題解決能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及問題解決的能力.這部分知識(shí)在進(jìn)入大學(xué)之后還會(huì)得到有效深化，雖然它和絕大部分知識(shí)點(diǎn)都有聯(lián)系，但其本身是屬于離散數(shù)學(xué)范圍的，因此它是一種比較特殊的函數(shù).在解題的過程中，有效掌握數(shù)列相關(guān)的解題技巧能夠進(jìn)一步提升解題的精確度與效率，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得到提升.

二、數(shù)列問題解題技巧

在解決數(shù)列問題的時(shí)候，學(xué)生必須要掌握相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，這樣才能優(yōu)化解題思路和過程，保證最終解題效果達(dá)到預(yù)期.為了有效提升數(shù)列問題的學(xué)習(xí)效果，學(xué)生不但要充分理解公式，還要對(duì)基本的概念和性質(zhì)予以明確認(rèn)知，從而在夯實(shí)知識(shí)的前提下，建立起數(shù)列學(xué)習(xí)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，使整個(gè)解題過程與實(shí)際學(xué)習(xí)要求更加貼合，保證最終解題的準(zhǔn)確性與時(shí)效性.

（一）通過概念定理進(jìn)行解題

在高中數(shù)學(xué)中，不管是哪一種題目，學(xué)生在解答的時(shí)候都必須要充分掌握其中的基礎(chǔ)性知識(shí)，因此數(shù)列問題也是這樣.學(xué)生要想保證數(shù)列問題解答的效率，就必須要先掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，全面了解和明確有關(guān)的知識(shí)概念及性質(zhì)，并會(huì)熟練使用定義和公式等內(nèi)容去解題.

在解答這類數(shù)列問題的時(shí)候，學(xué)生需要深刻理解數(shù)列的基本概念，能夠熟練使用關(guān)系式，明確各個(gè)變量之間的有效關(guān)系，從而確保能夠迅速解出答案.所以教師在實(shí)際教學(xué)的過程中，除了要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)概念的基本內(nèi)涵，還要設(shè)計(jì)出與學(xué)生概念認(rèn)知相契合的題目，從而有效強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，給其后續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（二）通過數(shù)列性質(zhì)解答問題

在數(shù)列問題中，有一部分題目是考查學(xué)生對(duì)數(shù)列性質(zhì)的理解和掌握的.如果題目是直接考查數(shù)列性質(zhì)的，那么該題目就可以直接通過數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行解答.在這之中教師需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生分析和總結(jié)數(shù)列性質(zhì)，使其有效解決多樣化的數(shù)學(xué)問題.

教師數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)在于幫助學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，掌握知識(shí)的精髓，以及不同知識(shí)和相近知識(shí)之間的差異性.等比數(shù)列和等差數(shù)列之間有很多相似的性質(zhì).對(duì)此，學(xué)生必須深入了解和學(xué)習(xí)，全方位掌握，同時(shí)將其靈活應(yīng)用在解題過程中.

（三）通過通項(xiàng)公式進(jìn)行解題

在數(shù)列問題中通項(xiàng)公式以及相關(guān)方式是非常具有針對(duì)性的一項(xiàng)內(nèi)容，也是高考中的必考內(nèi)容.這項(xiàng)內(nèi)容在做題的時(shí)候會(huì)起到非常關(guān)鍵的作用，經(jīng)常都可以被當(dāng)作解題的突破口.在通項(xiàng)公式的概念和性質(zhì)的作用下，學(xué)生往往能夠理清思路，最常見的方式主要包含以下幾種.

（1）錯(cuò)位相減

這種方法依舊是近幾年高考中最常考查的一種，同時(shí)它也是等比數(shù)列中對(duì)求和公式進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)最常使用的方法之一.這一方法一般被運(yùn)用在前n項(xiàng)求和中.由于這種方法的計(jì)算量非常大，學(xué)生在考場(chǎng)上的有限時(shí)間內(nèi)往往會(huì)因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤而失掉分?jǐn)?shù)，因此學(xué)生就必須在平時(shí)的訓(xùn)練中提升計(jì)算的準(zhǔn)確性.在這之中教師需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)列的規(guī)律進(jìn)行觀察，如果數(shù)列屬于等差數(shù)列和等比數(shù)列，那么教師還應(yīng)該要引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列的各項(xiàng)是否可以進(jìn)行拆分，拆分出來(lái)的各個(gè)部分是否可以組合成新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列，如果可以，就可以運(yùn)用分組求解的方式去解決.這種方式能夠直接把數(shù)列各項(xiàng)簡(jiǎn)化，由此快速求和.

分析?在解決這個(gè)問題時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考“這個(gè)數(shù)列究竟是等差數(shù)列還是等比數(shù)列”.學(xué)生在觀察分析之后發(fā)現(xiàn)它不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.接下來(lái)教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察其每一項(xiàng)的前半部分，找出其規(guī)律所在;然后再重點(diǎn)觀察其后半部分，找出規(guī)律.在這樣的引導(dǎo)下學(xué)生能夠迅速發(fā)現(xiàn)該數(shù)列前半部分屬于等差數(shù)列，后半部分屬于等比數(shù)列，那么整個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列和等比數(shù)列的結(jié)合，這時(shí)候教師再繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過分組求和的方式得出最終答案.

（2）并項(xiàng)求和

在使用這一方法去解答數(shù)列題目的時(shí)候，最重要的就是要把數(shù)列中所包含的各種特殊項(xiàng)全部找出來(lái)，并在合并特殊項(xiàng)時(shí)，使特殊項(xiàng)可以被消除，從而在最大程度上降低解題的難度，并尋找到解題的突破口，然后把剩下的項(xiàng)相加之后就能夠完成解題.

分析?在進(jìn)行簡(jiǎn)單的代入之后能夠發(fā)現(xiàn)這道題目不僅不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是在進(jìn)行并項(xiàng)之后，就可以得到S1998=0，a1999=2，那么最終S1999=2.

并項(xiàng)求和的關(guān)鍵在于找到數(shù)列中的特殊項(xiàng)，然后將其合并，使其能夠相互消減，最后將剩下的各項(xiàng)相加之后就能夠求出前n項(xiàng)和，這樣做可以有效提升解題效率.

（3）裂項(xiàng)消除

該方法主要把分解和組合這兩個(gè)概念運(yùn)用到了其中，這就需要學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)必須要樹立分解意識(shí).學(xué)生在遇到一些看似比較困難的題目時(shí)，可以先嘗試著進(jìn)行分解，并在一定的重新組合之后，看是否能獲得最簡(jiǎn)單的數(shù)列.一般這種方法還會(huì)配合其他的方法組合使用.

在使用該方法進(jìn)行求和的時(shí)候必須要保證裂項(xiàng)的形式是準(zhǔn)確的，這樣能夠確保裂項(xiàng)后的數(shù)據(jù)相加等于固定值，和首數(shù)值與末尾數(shù)值相加之后，得出前n項(xiàng)的和.

（四）奇偶分析法

在數(shù)列問題中我們經(jīng)常會(huì)遇到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式存在很大差別的情況，對(duì)此我們?cè)诮獯鸬臅r(shí)候就必須要靈活運(yùn)用奇偶分析法去處理，并把奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式區(qū)分開，然后再去解答.

（五）運(yùn)用數(shù)列構(gòu)造模型

我們?nèi)绻龅竭\(yùn)用等差數(shù)列或者等比數(shù)列通項(xiàng)公式無(wú)法解決的題目時(shí)，一般可以依照等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)實(shí)施等價(jià)變化，并重新構(gòu)架出來(lái)一個(gè)比較熟悉的數(shù)列形式，從而確保解答效率.另外，在解答這類題目的時(shí)候，我們還可以直接運(yùn)用一些比較經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，比如著名的黃金分割數(shù)列以及楊輝三角等.在平時(shí)學(xué)習(xí)中學(xué)生必須要重點(diǎn)掌握和分析這些典型的數(shù)學(xué)模型，并能夠依照不同的數(shù)列問題去選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練中可以把類型相同的數(shù)列問題整理在一起，然后使用數(shù)學(xué)模型去統(tǒng)一解答，進(jìn)而提升解題速度.另外，我們?nèi)绻龅揭恍┍容^陌生的題目，或者沒有解題思路的題目的時(shí)候都可以嘗試運(yùn)用典型數(shù)學(xué)模型去解答，這能夠促進(jìn)后續(xù)對(duì)題目的分析，從而促使題目變得清晰起來(lái).

三、結(jié)束語(yǔ)

在解決數(shù)列問題的時(shí)候，需要運(yùn)用相應(yīng)的技巧及方式，但需要注意的是，不管是哪一種題目都必須要先明確數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，并能夠熟練使用這些.在學(xué)習(xí)數(shù)列的時(shí)候?qū)W生必須要不斷提升自身的數(shù)學(xué)思維能力，盡可能選擇最適合的方式，確定好解題思路.學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)必須要靈活，降低對(duì)方式和技巧的生搬硬套，學(xué)會(huì)嘗試運(yùn)用新方式解決題目，促進(jìn)思維的發(fā)散.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭晨.淺析高中數(shù)列解題的錯(cuò)誤類型及解題策略[J].文理導(dǎo)航（中旬），2017（1）：40.