排列組合常見(jiàn)題型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

摘 ? 要：排列組合作為高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)知識(shí)之一，有著其獨(dú)特的解題思維，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)建模中將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題.答題的靈活往往是造成解題困難的直接原因.掌握排列組合基本原理，解題做到不重不漏，往往能給解題的準(zhǔn)確帶來(lái)顯著的效果.常見(jiàn)的解題方法有捆綁法、插空法、優(yōu)先法、隔板法等.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);排列組合;先分堆再分配

排列組合常與概率問(wèn)題作為高考重點(diǎn)，每年的全國(guó)高考題都有一道大題出現(xiàn)，而且都是以解答題的方式出現(xiàn).排列組合是在生活中提煉出來(lái)的，因此，解決目前社會(huì)生產(chǎn)生活中遇到的問(wèn)題必須使用排列組合的基本思想、方法和技能，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為需要的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)連接的紐帶，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、育人目標(biāo)的具體體現(xiàn).計(jì)數(shù)問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本、最重要的的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多問(wèn)題提供了思想和工具.在本文中，主要運(yùn)用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模研究排列、組合常見(jiàn)的幾種考題類(lèi)型以及題型的擴(kuò)充和推廣.

1 ?數(shù)字問(wèn)題模型

【例題1】（1）求4320的不同正約數(shù)的個(gè)數(shù);

（2）求這些正約數(shù)的和。

解析（1）：這是一道分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題目，但題目中并無(wú)明確的分步步驟，這就需要我們自己來(lái)確定一個(gè)分步步驟.由于題目要求4320的正約數(shù)，因此我們將4320用從小到大的不同質(zhì)因數(shù)的冪之積來(lái)表示，即4320=25·33·51.容易看出，4320的正約數(shù)的質(zhì)因數(shù)必在2，3，5中.則可根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.

解：設(shè)4320的正約數(shù)為N=2n·3m·5r，則n可取0，1，2，3，4，5六個(gè)值;m可取0，1，2，3四個(gè)值;r可取0，1兩個(gè)值.∴所求的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為6×4×2=48個(gè).

解析（2）：題目乍看感覺(jué)無(wú)從下手，其實(shí)我們根據(jù)（1）中得出的結(jié)論可以很容易看出，求這些正約數(shù)的和即求20·30·50+21·30·50+22·30·50+…+25·33·51，而這個(gè)式子正是（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）的展開(kāi)式.因此，題意就轉(zhuǎn)為求上式的和.

解：（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）

=××

=63×40×6

=15120.

2 ?分步乘法計(jì)數(shù)原理

例：（1）從6個(gè)人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有多少種？

（2）6個(gè)人要去巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科這四個(gè)城市中的某個(gè)城市游覽，且甲、乙兩人不去巴黎游覽.則不同的選擇方案共有多少種？

解析：根據(jù)題目的限制：甲、乙不去巴黎，則應(yīng)首先考慮甲、乙和巴黎.其次，這兩道題看似差不多，而實(shí)際上（1）中是四個(gè)城市都必須有人去，而（2）中則是6個(gè)人必須都去，但不一定每個(gè)城市都必須要有人去.所以，考慮問(wèn)題（1）要以“城市”為主，問(wèn)題（2）則以“人”為主.

解： （1）去巴黎的人除甲、乙外從剩下的4人當(dāng)中選一個(gè)人，去倫敦的有5個(gè)人可選，去悉尼有4人可選，去莫斯科有3人可選.∴不同的選擇方案共有4×5×4×3=240種.

（2）甲和乙有3個(gè)城市可選，而其他4人均有4個(gè)城市可選.∴不同的選擇方案共有3×3×4×4×4×4=2304種.

3 ?涂色問(wèn)題模型

【例題2】一個(gè)同心圓行花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周?chē)膱A環(huán)分為n（n≥4，nN*）等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花[ 1 ].

（1）如圖1，圓環(huán)分成的4等分為a1，a2，a3，a4，有多少種不同的種植方法？

（2）如圖2，圓環(huán)分成的n等分，a1，a2，a3，…an， 有多少種不同的種植方法？

解：（1）如圖1，當(dāng)a1與a3不同顏色時(shí)，有A32×1×1=6種，當(dāng)a1與a3相同顏色時(shí)，有A31×2×2=12種.∴共有S（4）=6+12=18種.

（2）如圖2，圓環(huán)分為n等份，對(duì)a1有3種不同的種法，對(duì)a2，a3，a4，…an都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證 ai-1與ai（i=1，2，3，…n-1）不同顏色，但不能保證a1與an不同顏色.于是，一類(lèi)是an與a1不同色的種法，這是符合要求的，記為S（n）（n≥4）種，另一類(lèi)是an與a1同色的種法，這時(shí)可以把a(bǔ)n與a1同色看成一部分，這種種法相當(dāng)于對(duì)n-1種部分要求的種法，記為S（n-1），共3×2n-1種種法.

則S（n）+S（n-1）=3×2n-1，

即S（n）-2n=-〔S（n-1）-2n-1〕.

∴ 〔S（n-1）-2n〕（n≥4）數(shù)列是首項(xiàng)為S（4）-24，公比為-1的等比數(shù)列.

由S（4）=18得：S（n）-2n=（18-24）（-1）n-4

∴ S（n）=2n+2·（-1）n-4.

【點(diǎn)評(píng)】圖形涂色問(wèn)題是利用兩個(gè)原理處理的一種對(duì)能力要求較高的問(wèn)題，需要特別關(guān)注圖形的特征，有多少塊，用多少種顏色.

4 ?排隊(duì)問(wèn)題模型

【例題3】三個(gè)男生和四個(gè)女生按下列條件排成一排，有多少種排法？

（1）男生互不相鄰;

（2）男女生間隔相排;

（3）甲、乙兩人必須相鄰;

（4）男生排在一起，女生排在一起;

（5）甲不站左端，也不站右端;

（6）甲、乙站兩端;

（7）甲不站左端，乙不站右端;

（8）甲在乙前面（不一定相鄰）.

解析：（1）解決間隔排列問(wèn)題常用“插空法”，也就是先排不需要間隔（可以相鄰）的元素，再將需要間隔的元素用插空方式插進(jìn)來(lái)即可.∴先考慮女生全排有A44種，形成5個(gè)空隙，再將3個(gè)男生任意插入5個(gè)空中，有A53種.

∴ 共有A44×A53=1440種.

（2）這題仍是采用插空法，所不同的是，兩種元素都不能間隔.顯然，女生或男生之間必須相差1的排法才能滿(mǎn)足題意.因此，女生全排A44種，為了滿(mǎn)足條件，剩下的3個(gè)男生必須只能在4位女生中間的3個(gè)空位排，∴共有A44×A33=144種.

（3）像這類(lèi)有些元素必須要安排在一起的問(wèn)題，常用“捆綁法”解決，即先排集團(tuán)內(nèi)部的元素（甲、乙），再把該集團(tuán)作為一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，然后與其他剩余的元素進(jìn)行全排即可.∴共有A22×A66=1440種.

（4）同（3），這題仍是相鄰問(wèn)題，但是這題的兩種元素都分別需要安排在一起.一樣的道理，男生內(nèi)部排法有A33種，女生內(nèi)部排法有A44種，∴ 共有A33×A44×A22=288種.

（5）因甲不能站在左右端的任一位置，故第一步先讓甲站在除兩端以外的位置上，有A51種站法;第二步再讓余下的6個(gè)人任意站在其他6個(gè)位置，有A66種，∴ 共有A51×A66=3600種.

（6）首先考慮特殊元素，讓甲、乙站兩端有A22種，再讓其他5個(gè)人任意站在中間5個(gè)位置，有A55種.∴ 共有A22×A55=240種.

（7）甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有A55種，而甲在左端，乙在右端的站法有A44種，故共有A66-2A55+A44=504種.（本題采用間接法解題較簡(jiǎn)單，有時(shí)候根據(jù)題目的方向，采用直接法會(huì)比較簡(jiǎn)單.）

（8）不考慮其他元素時(shí)，僅對(duì)甲、乙兩人進(jìn)行排列，有A22種，其中甲在乙前面的排法只有1種，因此可以看做甲在乙前面的比例為，因此，七個(gè)人全排時(shí)有A77種，其中滿(mǎn)足甲在乙前的排法占，∴ 共有A77×=2520種.

以上是排列組合幾種常見(jiàn)的題型，排列組合的題目貴在靈活，重在數(shù)學(xué)建模，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化和抽象后，用計(jì)數(shù)原理建立模型，用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，再回到實(shí)際問(wèn)題中解釋?zhuān)饕ǚ治龀橄?、建立模型、求解模?但從解法上看，大致有以下幾種：第一，有附加條件的排列、組合問(wèn)題，大多數(shù)需要分類(lèi)討論的方法，注意分類(lèi)時(shí)不重不漏;第二，排列與組合的混合題型，分步驟，用分步乘法原理解決;第三，元素要相鄰，看作一個(gè)整體，使用捆綁法;第四，元素不相鄰，用插空法;第五，間隔法，把不符合條件的排列或組合剔除掉;第六，先分堆，再分配，面對(duì)不同的元素，可采用分堆分配;第七，面對(duì)相同的元素，可以用隔板法進(jìn)行求解。總之，排列組合是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模的重要模型，是現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)連接的紐帶.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳炳泉.巧解排列組合常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題[J].福建中學(xué)教學(xué)，2006（10）.

[2]王國(guó)君.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)[J].教育科學(xué)（引文版），2016（8）.