知識整合

朱美紅

【摘要】在高中數(shù)學教材中，所有知識板塊都不是獨立存在的，而是相互交叉、滲透的，構(gòu)成了一個系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò).因此，在一線教學中，教師應對知識進行整合，以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高教學的有效性.本文以“等差數(shù)列”一課為例，探討函數(shù)與等差數(shù)列知識整合的課堂設(shè)計.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;等差數(shù)列;知識整合;教學設(shè)計

引 言

高中數(shù)學教學是一項系統(tǒng)的任務，在教學過程中，其中的任何一課都不能脫離教材的整體的知識架構(gòu)，都不能脫離其他知識而獨立存在.從教材知識設(shè)置的角度來看，高中數(shù)學教材中所有知識都不是獨立存在的，而是相互交叉、相互滲透的，構(gòu)成了一個系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，如函數(shù)與導數(shù)、函數(shù)與向量和解三角形，等等.因此，高中數(shù)學教師需要具備大視野，能夠從整體的角度來審視每一課的功能及其對教材整體性知識架構(gòu)的影響;能夠通過知識整合來構(gòu)建系統(tǒng)的教學框架，引導學生建立認知圖式，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高教學質(zhì)量.基于此，本文以“等差數(shù)列”一課為例，立足函數(shù)與等差數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，闡述基于知識整合的課堂教學設(shè)計.

一、等差數(shù)列與函數(shù)知識整合的主要依據(jù)

在課堂教學中，教學設(shè)計的關(guān)鍵之一是把握教學內(nèi)容的特點及其性質(zhì)，進而梳理其與其他知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上，將其他知識與教學內(nèi)容進行整合.在這一過程中，教師需要從已學知識入手，引導學生將已學知識作為新課重難點知識的突破口，提高學生學習的有效性.以“等差數(shù)列”一課為例，數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù).在性質(zhì)上，它可以表述為以項數(shù)n為自變量的函數(shù)，也可描述為以正整數(shù)集為定義域的函數(shù).而函數(shù)是高中數(shù)學教材中的基礎(chǔ)知識，與其他知識之間存在直接聯(lián)系.僅就等差數(shù)列來說，函數(shù)是解決等差數(shù)列問題的基本路徑之一.因此，將函數(shù)與等差數(shù)列進行整合，是架構(gòu)知識圖式、提高教學質(zhì)量的重要手段.

具體來說，函數(shù)與等差數(shù)列知識整合的交互點表現(xiàn)在兩個層面.

第一個層面是一次函數(shù)與等差數(shù)列通項公式之間的整合.等差數(shù)列通項公式的基本形式為an=a1+（n-1）×d，其中，an可看作n的一次函數(shù)，它的圖像是一次函數(shù)上的離散點，即所有表示（n，an）的點都在同一直線上.因此，一次函數(shù)與等差數(shù)列之間有著密切聯(lián)系.

第二個層面是二次函數(shù)與等差數(shù)列前n項的知識整合.在等差數(shù)列中，對于數(shù)列{an}，通常用a1+a2+a3+…+an來表示{an}的前n項和，它的公式Sn=an1+n（n-1）d2可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，因此，可用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決等差數(shù)列與Sn最值的有關(guān)問題.

此外，函數(shù)本身是一種數(shù)學的思想方法，是指導學生開展等差數(shù)列課堂學習的重要思想.在課堂上，教師可引導學生將函數(shù)作為學習新課的切入點，讓學生運用函數(shù)的方法來學習等差數(shù)列，將兩者進行有機整合，建立起以函數(shù)和等差數(shù)列為主體的認知圖式，以提高學生學習的有效性，打造高效課堂.

二、等差數(shù)列與函數(shù)知識整合的教學設(shè)計

在知識整合視角下，教師可根據(jù)等差數(shù)列一課的主要內(nèi)容，將授課過程劃分為多個環(huán)節(jié)，并為每個環(huán)節(jié)設(shè)計不同的學習任務和目標，從而創(chuàng)設(shè)系統(tǒng)化的教學流程，提高教學質(zhì)量.基于此，筆者在設(shè)計本課時將教學過程劃分成了四個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是導入新課，教學目標是讓學生運用已有的學習經(jīng)驗，歸納等差數(shù)列的基本概念;第二個環(huán)節(jié)是加強概念認知，教學目標是讓學生從一次函數(shù)入手，解析等差數(shù)列的性質(zhì)和公式;第三個環(huán)節(jié)是提煉歸納，教學目標是讓學生將二次函數(shù)與等差數(shù)列進行整合，提高對等差數(shù)列的理性認識;第四個環(huán)節(jié)是鞏固練習，教學目標是通過習題練習，培養(yǎng)學生的知識應用能力.

1.第一個環(huán)節(jié)

教師以提問導入新課：我們在初中時學習過數(shù)列知識，而本課所要學習的等差數(shù)列，即屬于數(shù)列的范圍.那么，數(shù)列與等差數(shù)列之間具有哪些不同？

教師提示1：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

教師提示2：數(shù)列與等差數(shù)列的概念差異.

學生回顧之前所學知識并合作探究：

①數(shù)列是以正整數(shù)集（有限子集）為定義域的函數(shù).

②在數(shù)列中，如果每一項減去前一項所得的差都等于同一個常數(shù)，即等差數(shù)列.

教師板書：an=a1+（n-1）×d

設(shè)問：在這一通項公式中，什么是等差數(shù)列的常數(shù)？什么是公差？

學生閱讀教材并合作探究：n是等差數(shù)列的常數(shù)，而常數(shù)也是等差數(shù)列的公差，即公式中的d.

筆者總結(jié)：判斷等差數(shù)列成立的條件，是觀察數(shù)列中從第二項開始，后一項減前一項的差是否相同.

2.第二個環(huán)節(jié)

教師設(shè)問：回顧一次函數(shù)的概念，對比它與等差數(shù)列通項公式，觀察它們之間具有哪些聯(lián)系？

學生合作探究：

①一次函數(shù)：y=kx+b（k≠0），x是自變量，y是因變量，k和b是常數(shù);在b=0的前提下，k是常數(shù)，y是x的正比例函數(shù).

②等差數(shù)列：在通項公式an=a1+（n-1）×d中，當d=0時，an是n的常函數(shù);當d≠0時，則an是n的一次函數(shù).

課件展示：在等差數(shù)列{an}中，已知a1，d，am，an（m≠n），則d=an-a1[]n-1=an-am[]n-m，從而有an=am+（n-m）d.

教師設(shè)問：課件中給出了已知條件，那么可否直接求公差？

教師提示：將等差數(shù)列與一次函數(shù)的性質(zhì)進行對比，觀察等差數(shù)列{an}的圖像.

學生合作探究：等差數(shù)列的圖像是均勻分布在一條直線上的孤立的點，任選其中兩點，如（n，an）和（m，am）（m≠n），類比直線的斜率公式可知公差d=an-am[]n-m.

師生歸納：

①等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則am+an=ap+aq.

3.第三個環(huán)節(jié)

教師設(shè)問：剛才通過一次函數(shù)與等差數(shù)列的整合，概括出了等差數(shù)列的性質(zhì).二次函數(shù)的概念是什么？二次函數(shù)與等差數(shù)列的性質(zhì)之間存在哪些聯(lián)系？能否運用二次函數(shù)理論去解決等差數(shù)列問題？

在問題情境下，教師讓學生回顧二次函數(shù)的定義，進而將兩者進行整合.

學生回顧已學知識并合作探究：

①二次函數(shù)中引入了平方的概念，基本形式為y=ax2+bx+c（a≠0）.

②在二次函數(shù)的概念下，等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn=na1+n（n-1）d2，屬于關(guān)于n的二次函數(shù)，證明能夠用二次函數(shù)的性質(zhì)去解決等差數(shù)列問題，即y=ax2+bx+c（其中a=d2，b=a1-d2，c=0），能夠解決等差數(shù)列中Sn最值的有關(guān)問題.

4.第四個環(huán)節(jié)

教師設(shè)問：通過剛才的學習，可以看出函數(shù)與等差數(shù)列之間存在著密切聯(lián)系.那么，在學習或生活中遇到關(guān)于等差數(shù)列的實際問題時，如何正確選擇一次函數(shù)或二次函數(shù)來解決實際問題？

教師提示：函數(shù)思想是數(shù)學思想中的一個重要方法，我們依托函數(shù)的基本方法，能用函數(shù)的概念去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.

習題1：在能夠確定數(shù)列為等差數(shù)列的前提下，已知a2+a3+a4=18，a2a3a4=66，求a2，a3，a4.

習題2：如何運用等差數(shù)列的常數(shù)和公差設(shè)計3個數(shù)，使它們既能滿足等差數(shù)列的條件又方便計算？

三、教學過程

1.設(shè)立情境，引入課題

①大家首先從1開始，按照2的倍數(shù)依次增加，能得到什么數(shù)列？

②漁民們?yōu)榱耸刽~塘里的魚類有良好的水質(zhì)環(huán)境，每天定時定量通過防水來清理魚塘中的雜魚，現(xiàn)在魚塘的水位為19米，通過人工防水每天水位降低2.5米，為了保證魚類的成活率，最低可以降到5米，那么大家想一想，從第一次開始防水算起，到漁民可以清理魚塘之時，魚塘每天的水位構(gòu)成一個什么數(shù)列？

③我國銀行的儲蓄政策規(guī)定，銀行以單利的方式進行支付存款利息.這種單利方式計算本金和利息的公式為本金利息和=本金×（1+利率×存期）.如果我們現(xiàn)在活期存進10000元，年利率為0.65%，那么按照這種計算方式，在5年內(nèi)，每一年的本金與利息之和構(gòu)成什么數(shù)列？

教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù).上面三個例子中分別蘊涵了三個數(shù)列，請同學們思考一下是哪三種數(shù)列.

學生回答：

①1，3，5，7，9，11…

②19，16.5，14，11.5，9，6.5，4…

③10065，10130，10195，10260，10335…

（設(shè)置意圖：將生活中的實例引入課堂，讓學生感受現(xiàn)實生活中的等差數(shù)列模型，初步認識等差數(shù)列的特點.）

2.觀察歸納，形成定義

①1，3，5，7，9，11…

②19，16.5，14，11.5，9，6.5，4…

③10065，10130，10195，10260，10335…

思考1：上面三個數(shù)列有什么相同之處？

思考2：總結(jié)上面三個數(shù)列的相同點，請總結(jié)出等差數(shù)列的定義.

思考3：你能將第二個思考問題的答案用數(shù)學符號表示出來嗎？

教師先引導學生總結(jié)上述三個數(shù)列的相同之處，然后讓學生根據(jù)數(shù)列的共同特征歸納總結(jié)出等差數(shù)列的基本概念.

學生分成幾個小組分別討論，可能會得出以下幾個不同的結(jié)論，如上一個數(shù)和下一個數(shù)的差有著某種關(guān)系;這些數(shù)都是規(guī)律排列的等.但是只要學生的結(jié)論合理，符合等差數(shù)列的性質(zhì)，教師就要給予學生肯定.

（設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學生體會等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點.）

3. 舉一反三，鞏固定義

（1）給出以下數(shù)列，教師引導學生回答等差數(shù)列的定義及性質(zhì)，讓學生回答以下數(shù)列是否為等差數(shù)列，如果是，那么計算出公差d.

①2，2，2，2，2;

②2，1，2，1，2;

③5，4，3，2，1;

④3，6，9，12，15.

在這里需要注意的是，公差d可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)，甚至可以是0.教師應提醒學生不可以將減數(shù)和被減數(shù)弄混.

（設(shè)計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應用.）

思考4：假設(shè)某個數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請帶入一組數(shù)據(jù)證明.

（設(shè)計意圖：強化學生對等差數(shù)列定義的理解.）

結(jié) 語

綜上所述，在高中數(shù)學等差數(shù)列一課的教學中，教師應通過引入函數(shù)的概念，將一次函數(shù)、二次函數(shù)與等差數(shù)列的課堂教學進行整合，加大了教材中各個知識板塊之間的契合度，實現(xiàn)了不同知識之間的整合，同時幫助學生建立起了認知圖式.在教學過程中，教師把握住了一條主線，即函數(shù)概念與等差數(shù)列的概念，引導學生分析兩者之間的共通性，使學生在學習中體驗函數(shù)思想的應用價值，由此拓展了本課的教學功能，由知識整合到數(shù)學思想方法的整合，提高了學生學習的有效性，提升了教學質(zhì)量.

【參考文獻】

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