“真”探索，“實(shí)”研究，數(shù)學(xué)思維自然生長(zhǎng)
——一道“探索研究”問題的教學(xué)啟示

王翠玲

（江蘇省睢寧縣第二中學(xué)）

“探索研究”問題是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）在章節(jié)復(fù)習(xí)題中設(shè)置的題型，編寫者旨在以此為契機(jī)，讓學(xué)生通過探索活動(dòng)，深化相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的思維.

但在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生存在以下問題：（1）忽視解題切入點(diǎn)，解題路徑、思路不夠清晰，不能順利解題；（2）缺少必要的解題反思，把解答原問題作為終結(jié)目標(biāo)，學(xué)生“蜻蜓點(diǎn)水”式的假“探索”、虛“研究”，沒有深入挖掘其內(nèi)隱的思維精華，數(shù)學(xué)思維淺嘗輒止，延展性不足.

本文以教材七年級(jí)上冊(cè)的一道“探索研究”題為例，談?wù)劰P者的教學(xué)思考.

一、原題呈現(xiàn)與改編

題目（選自教材第6章復(fù)習(xí)題第14題）鐘面角是時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?

（1）舉例說明，哪些時(shí)刻鐘面角為30°，60°？

（2）舉例說明，哪些時(shí)刻鐘面角為90°？哪些時(shí)刻時(shí)鐘的時(shí)針與分針重疊？

（3）與同桌合作：相互給出一些時(shí)刻，求出對(duì)應(yīng)的鐘面角的度數(shù).

一般來說，問題的設(shè)置應(yīng)遵循由易到難，由淺入深的邏輯順序.相比較而言，第（3）小題較為簡(jiǎn)單，教師引導(dǎo)學(xué)生從此題入手，可以初步了解鐘面角中基本的數(shù)量關(guān)系，為解決較為復(fù)雜的問題鋪設(shè)臺(tái)階.基于此，筆者在執(zhí)教時(shí)，對(duì)教材題目進(jìn)行改編.

筆者通過基礎(chǔ)性探索、拓展性探索與深層次探索等教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真探索與研究，以鐘面角為契機(jī)，拾級(jí)而上，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

二、教學(xué)過程簡(jiǎn)述

活動(dòng)1：基礎(chǔ)性探索.

問題1：鐘面角是時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?當(dāng)1：00，2：00，3：00，12：00時(shí)，鐘面角的度數(shù)分別為多少？

由于學(xué)生對(duì)整點(diǎn)時(shí)刻的鐘面有較為豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，幾乎都能給出每個(gè)整點(diǎn)時(shí)刻的鐘面角度數(shù).

（1）如圖1，1點(diǎn)整（或11點(diǎn)整）的鐘面角是30°.如圖2，2點(diǎn)整（或10點(diǎn)整）的鐘面角是60°.

圖1

圖2

（2）如圖3，3點(diǎn)整（或9點(diǎn)整）的鐘面角是90°.如圖4，12點(diǎn)整的時(shí)針與分針重疊.

圖3

圖4

此時(shí)，教師把握探索契機(jī)，通過設(shè)置以下問題串讓學(xué)生明晰鐘面角的基本算理，即時(shí)針與分針?biāo)傻膸缀螆D形可以看成角，并讓學(xué)生結(jié)合鐘面思考以下問題.

追問1：時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)度數(shù)為多少？時(shí)針每分鐘度數(shù)為多少？（時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)0.5°.）

追問2：分針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)度數(shù)為多少？分針每分鐘旋轉(zhuǎn)度數(shù)為多少？（分針每分鐘旋轉(zhuǎn)6°.）

【評(píng)析】整點(diǎn)時(shí)刻時(shí)的鐘面角屬于較簡(jiǎn)單的問題，設(shè)置該問題旨在讓學(xué)生對(duì)分針、時(shí)針的旋轉(zhuǎn)速度，以及它們之間的關(guān)系有初步的認(rèn)識(shí)，感受鐘面角的形成與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為較復(fù)雜的探究活動(dòng)奠定基石.另外，教師也可以讓學(xué)生利用鐘面角模型演示分針、時(shí)針的運(yùn)行，形象感知它們的旋轉(zhuǎn)速度之間的關(guān)系；對(duì)于某時(shí)刻的鐘面角，可以利用鐘面角模型或畫示意圖直接呈現(xiàn)，以便于學(xué)生探索鐘面角的基本關(guān)系.

活動(dòng)2：拓展性探索.

問題2：與同桌合作，相互給出一些時(shí)刻，求出對(duì)應(yīng)的鐘面角的度數(shù).

對(duì)于問題2，部分學(xué)生在舉例子時(shí)，受問題1的思維定勢(shì)的影響，仍然會(huì)選擇整點(diǎn)時(shí)刻進(jìn)行探討.此時(shí)教師可以因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生列舉出非整點(diǎn)的時(shí)刻，如當(dāng)2：20時(shí)（如圖5），鐘面角的度數(shù)是多少？2：50呢？

圖5

首先，學(xué)生利用鐘面角模型呈現(xiàn)如圖5所示的圖示，手腦協(xié)同解決問題.然后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：在相同時(shí)間內(nèi)，時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)的角度有什么關(guān)系？

以2：20為例，學(xué)生首先利用鐘面模型擺出對(duì)應(yīng)時(shí)間的時(shí)針與分針的位置.如圖5，分針OB指向“4”，分針旋轉(zhuǎn)了一圈的，即，而時(shí)針OA指向從“2”到“3”之間的處.根據(jù)從一個(gè)整點(diǎn)到下一個(gè)整點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角是30°，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行鐘面角的拆、補(bǔ)，利用角的和差關(guān)系，不難計(jì)算出此時(shí)的鐘面角的度數(shù).解決問題的方法如下.

圖6

圖7

【評(píng)析】從知識(shí)層面上看，拆、補(bǔ)是角的和差關(guān)系在生活中的應(yīng)用.若輔助針的位置不同，拆、補(bǔ)的方法不同，和、差、倍、分關(guān)系也不同.通過探索活動(dòng)，學(xué)生對(duì)角的和、差、倍、分關(guān)系一定有深刻的理解；從數(shù)學(xué)思想上看，拆、補(bǔ)蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化的思想方法——將時(shí)間轉(zhuǎn)化為角度，將“非整點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“整點(diǎn)”，將不易求的問題轉(zhuǎn)化為易求的問題.

探索活動(dòng)應(yīng)遵循由教師指導(dǎo)性的“半攙扶”，到讓學(xué)生獨(dú)立解決的“放手”的基本過程.例如，2：50時(shí)，鐘面角的度數(shù)是多少？不妨讓學(xué)生獨(dú)立思考來解決問題.學(xué)生通過遷移以上解題經(jīng)驗(yàn)，明晰探究路徑.

（1）分針、時(shí)針究竟指向什么位置？

（2）鐘面角如何轉(zhuǎn)化？“輔助針”可以在什么位置？

（3）利用哪些角之間的數(shù)量關(guān)系求鐘面角？

探索活動(dòng)的主體是學(xué)生，教師應(yīng)根據(jù)初中生年齡的特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，遵循從易到難、從具體到抽象、從直接到間接的問題提出原則.相比較而言，“2：20”是“2：50”的腳手架，“2：50”又將是學(xué)生自編的其他時(shí)刻鐘面角的腳手架.通過以上探索活動(dòng)，使學(xué)生由淺入深地逐步探究，從而對(duì)角的內(nèi)涵有更深刻的認(rèn)識(shí).

此時(shí)，該題的三個(gè)小題已經(jīng)解決，探索研究活動(dòng)是不是應(yīng)該嘎然而止呢？No！筆者研究發(fā)現(xiàn)，鐘面角問題蘊(yùn)含著豐富的資源.學(xué)生通過深入探索，能夠挖掘出更多有價(jià)值的知識(shí)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展大有裨益.筆者現(xiàn)提供更為深入的探索研究活動(dòng)（以下稱之為“深層次探究”），與大家一起分享.

活動(dòng)3：深層次探索.

此活動(dòng)主要探究以下問題（問題3～問題6）.

問題3：舉例說明，哪些時(shí)刻鐘面角為90°？非整點(diǎn)時(shí)刻是否存在鐘面角為90°？如時(shí)鐘在1點(diǎn)多少分時(shí)，鐘面角為90°？

對(duì)于“時(shí)鐘在1點(diǎn)多少分時(shí)，鐘面角為90°？”，學(xué)生很容易擺出時(shí)針的大致示意位置——時(shí)針指向“1”與“2”之間，而關(guān)鍵問題是分針在什么位置呢？學(xué)生通過摸索式實(shí)驗(yàn)，可以獲得如下兩種情況.情況1：如圖8，分針在時(shí)針的右側(cè)；情況2：如圖9，分針在時(shí)針的左側(cè).

圖8

圖9

那么如何準(zhǔn)確求出相應(yīng)的時(shí)刻呢？?jī)H僅利用現(xiàn)有的圖示能解決問題嗎？如圖8和圖9，在僅有一個(gè)孤立的角的情況下，不存在角與角之間的數(shù)量關(guān)系，不適宜直接計(jì)算，學(xué)生無從入手.

此時(shí)，教師可以讓學(xué)生用輔助針（備用針）代替輔助線，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試、探索，將其放在適當(dāng)?shù)?、有價(jià)值的位置，借助輔助針與已知的時(shí)針、分針建立角與角之間的數(shù)量關(guān)系，列方程解決問題.

學(xué)生放置的輔助針的位置不同，輔助針與時(shí)針、分針?biāo)鶌A的角不同、數(shù)量關(guān)系不同，所列方程也不同，但均屬于同解方程.

以情況1（分針在時(shí)針的右側(cè)）為例.設(shè)1點(diǎn)x分（x＞0）的鐘面角為90°，即∠AOB=90°，學(xué)生大致運(yùn)用了以下方法解決問題.

方法1：如圖10，設(shè)當(dāng)輔助針OC指向“12”時(shí)，∠BOC表示分針x分鐘所走的角度為6x°，∠AOC=0.5x°+30°.根據(jù)角之間的和差關(guān)系可得∠BOC-∠AOC=∠AOB.因此6x-(30+0.5x)=90.解得

圖10

圖11

方法2：如圖11，當(dāng)輔助針OC指向“1”時(shí)，∠BOC表示分針(x-5)分鐘所走的角度6(x-5)°，即(6x-30)°.而∠AOC表示時(shí)針x分鐘所走的角度0.5x°，根據(jù)角之間的和差關(guān)系可得∠BOC-∠AOC=∠AOB.因此(6x-30)-0.5x=90.解得

方法3：如圖12，使用兩根輔助針，即相當(dāng)于添加兩條輔助線.當(dāng)輔助針OC指向“12”，輔助針OD指向“3”時(shí)，∠COD=90°，而鐘面角∠AOB=90°，根據(jù)“同角的余角相等”，可得∠AOC=∠BOD.學(xué)生需要明確的是其中∠AOC=(30+0.5x)°，∠BOD可以看作分針(x-15)分鐘所走的角度6(x-15)°，即(6x-90)°.所以30+0.5x=6x-90.解得

圖12

圖13

方法4：如圖13，使用兩根分別指向“12”“6”的輔助針OC，OD，相當(dāng)于添加平角COD.由∠AOB=90°，可得∠AOC+∠BOD=90°.其中∠AOC=(30+0.5x)°，∠BOD可以看作分針(30-x)分鐘所走的角度6(30-x)°，即(180-6x)°.所以列方程(30+0.5x)+(180-6x)=90.解得

類似地，當(dāng)分針在時(shí)針的左側(cè)時(shí)，學(xué)生根據(jù)以上探究經(jīng)驗(yàn)，通過添加輔助線，構(gòu)造角之間的和差關(guān)系，可以建立方程求解.方法如下.

如圖14，當(dāng)輔助針OC指向12時(shí)，有∠AOC=(30+0.5x)°，∠BOC=6(60-x)°.根據(jù) ∠AOC+∠BOC=90°，列方程(30+0.5x)+6(60-x)=90，解得

圖14

同樣，輔助線的位置不同，所列方程也不同.根據(jù)以上探究，學(xué)生可以獲得結(jié)論：從1點(diǎn)到2點(diǎn)之間，有兩個(gè)時(shí)刻的鐘面角為90°，分別為1點(diǎn)分和1點(diǎn)

【評(píng)析】無論借用一根還是兩根輔助針，其本質(zhì)是添加輔助線，構(gòu)造與“x分鐘”相關(guān)聯(lián)的角，即建立角之間的和差關(guān)系.在探究過程中，學(xué)生有不同的探索嘗試，即將輔助針放在不同的位置，將有不同的解法.最初的探究中，學(xué)生要弄清楚時(shí)針、分針的大概位置，不可混淆，這是把握條件進(jìn)行審題、解題的前提；最后教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生甄選優(yōu)化方法，理解建立方程模型是解決問題的有效手段.

探究活動(dòng)，是一種積累解題經(jīng)驗(yàn)和解題方法的過程，教師應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用，以幫助、提醒學(xué)生梳理、反思、優(yōu)化解法，沉淀解題思想；同時(shí)，學(xué)生是探究活動(dòng)的主體，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考、提出問題，并探究解決問題的方法.例如，在解決以上問題之后，學(xué)生不免猜想：從一個(gè)整點(diǎn)到下一個(gè)整點(diǎn)，90°的鐘面角是不是都會(huì)出現(xiàn)兩次呢？教師可以再次給學(xué)生提供“探索源”，即問題4.現(xiàn)筆者提供部分深層探究活動(dòng)的教學(xué)片段，以便于研討.

問題4：時(shí)鐘在3點(diǎn)多少分時(shí)，鐘面角為90°？這樣的非整點(diǎn)時(shí)刻，90°的鐘面角是不是也會(huì)出現(xiàn)兩次呢？

生：也會(huì)出現(xiàn)兩次.

師：我們利用鐘面角模型擺一擺，或者動(dòng)手畫一畫，算一算，驗(yàn)證一下.

生1：我畫出了如圖15和圖16的兩個(gè)圖示，設(shè)3點(diǎn)x分的鐘面角為90°（x＞0）.如圖15，可列方程6x=0.5x.解得x=0.說明3點(diǎn)整時(shí)鐘面角為90°；如圖16，可列方程0.5x=6(x-30).解得說明3點(diǎn)分時(shí)的鐘面角為90°.

圖15

圖16

生2：3點(diǎn)整屬于整點(diǎn)時(shí)刻，不符合題目要求.也就是說，從3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，90°的非整點(diǎn)鐘面角會(huì)出現(xiàn)1次.

生3：非整點(diǎn)時(shí)刻說明x≠0，所以x=0應(yīng)該舍去.

生4：在非整點(diǎn)時(shí)刻，x分鐘時(shí)分針走的角為6x°，時(shí)針走的角為0.5x°，分針的速度大于時(shí)針的速度，所以在非整點(diǎn)時(shí)刻6x=0.5x不成立，其實(shí)圖15是不存在的.

師：如果沒有“非整點(diǎn)”限制，我們借助圖15恰巧推算出3點(diǎn)整時(shí)鐘面角為90°，所以積極探索常常會(huì)帶來驚喜.那么，對(duì)于這個(gè)問題，能否不通過計(jì)算直接推測(cè)出“只會(huì)出現(xiàn)1次”呢？

生5：完全可以.我們可以把分針與時(shí)針當(dāng)作繞著時(shí)鐘的中心旋轉(zhuǎn)、追及的兩個(gè)物體.因?yàn)?點(diǎn)整時(shí)的鐘面角恰巧是90°，從3點(diǎn)整到它們重疊，分針位于時(shí)針的左側(cè).因?yàn)榉轴樧叩每?，時(shí)針走得慢，它們之間的夾角越來越小，則一定小于90°.所以從3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，分針在時(shí)針的左側(cè)時(shí)鐘面角不可能是90°，而當(dāng)分針在時(shí)針的右側(cè)時(shí)鐘面角會(huì)出現(xiàn)90°.

師：很精彩！時(shí)針與分針在旋轉(zhuǎn)，或稱之為追及的過程中，隨著時(shí)間的推移，其夾角，也就是鐘面角不斷發(fā)生變化.大家繼續(xù)探索思考問題5（不需要詳細(xì)計(jì)算）.

問題5：12小時(shí)內(nèi)，90°的鐘面角會(huì)出現(xiàn)多少次？

生：……

學(xué)生通過操作、思考，可以獲得結(jié)論：12小時(shí)內(nèi)，90°的鐘面角會(huì)出現(xiàn)24次（包括整點(diǎn)）.至此，學(xué)生已具備如下鐘面角的探究經(jīng)驗(yàn)：（1）作輔助線再構(gòu)造角，根據(jù)“針”的旋轉(zhuǎn)情況表示出相關(guān)角的大??；（2）根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系直接計(jì)算或列方程，這是解題的關(guān)鍵！基于以上經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠順利完成以下探索活動(dòng).

問題6：時(shí)鐘在2點(diǎn)多少分時(shí)，時(shí)針與分針重疊（即鐘面角為0°）？12小時(shí)內(nèi)，時(shí)針與分針重疊多少次？

現(xiàn)分享學(xué)生的一種探究成果：設(shè)時(shí)鐘在2點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針重疊.如圖17，∠AOD=6x°，∠AOC=0.5x°，∠COD=60°，根據(jù)∠AOD-∠AOC=∠COD（或根據(jù)“追及”問題的等量關(guān)系：相遇時(shí)，分針走的角度-時(shí)針走的角度=2點(diǎn)整時(shí)的鐘面角），建立方程6x-0.5x=60.解得，即2點(diǎn)10分時(shí)，時(shí)針與分針重疊.

圖17

對(duì)于鐘面角問題，教師鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，深化思維，如在非整點(diǎn)的條件下，1點(diǎn)多少分鐘面角為60°（或30°……）？哪些時(shí)刻的鐘面角為180°？12小時(shí)內(nèi)，鐘面角180°會(huì)出現(xiàn)多少次？……

對(duì)于非整點(diǎn)的鐘面角問題，學(xué)生可以按照如圖18所示的四個(gè)階段進(jìn)行探索.

圖18

“四個(gè)階段”中，“突破階段”是探索活動(dòng)的重點(diǎn)，學(xué)生需要深入探索的是：由角度到鐘面，即由“數(shù)”到“形”；再利用“數(shù)”解決問題，即由“形”到“數(shù)”.那么其中涉及了什么數(shù)學(xué)工具？利用什么數(shù)學(xué)模型來解決呢？這是鐘面角問題的核心數(shù)學(xué)思想.

三、反思與啟示

1.關(guān)于探索活動(dòng)——求真務(wù)實(shí)

數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的方式具有多樣性，以探索主體為分類標(biāo)準(zhǔn)，有自主探索，小組合作等方式；以探索媒介為標(biāo)準(zhǔn)，可以分為通過計(jì)算探索、利用圖表探索、借助實(shí)驗(yàn)操作探索等.探索活動(dòng)應(yīng)求真務(wù)實(shí)，在獲得解題方法的同時(shí)，真真切切地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

（1）“真”探索的必要性.

探索活動(dòng)是幫助學(xué)生理解、深化認(rèn)知對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的必要手段.在“鐘面角”問題中，對(duì)于簡(jiǎn)單的問題，如“給出一些時(shí)刻，求出對(duì)應(yīng)的鐘面角”，學(xué)生有較為豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，能夠根據(jù)鐘面角的時(shí)針與分針的對(duì)應(yīng)位置，直接求出鐘面角的度數(shù)；反之，對(duì)于問題“給出一些鐘面角，求出對(duì)應(yīng)的時(shí)刻”，學(xué)生解決起來相對(duì)困難.教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過探索活動(dòng)“鐘面角的實(shí)驗(yàn)演示”，來理解鐘面角與時(shí)刻的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并提高學(xué)生解決問題的時(shí)效性.由角度求時(shí)刻，主要考查學(xué)生的逆向思維，這是學(xué)生思維的薄弱點(diǎn).一般來說，學(xué)生除了對(duì)整點(diǎn)鐘面角有可逆的認(rèn)知以外，其他非整點(diǎn)的逆向認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)相對(duì)不足，解題方法欠缺.因此，此時(shí)介入有真實(shí)體驗(yàn)的探索活動(dòng)，是有必要的，也是有意義的.

（2）“實(shí)”研究的深刻性.

探索活動(dòng)不是虛有其表的“擺擺弄弄”，是“看得見，摸得著”充分而深刻的思考方式.以探索活動(dòng)之?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為例，其最大的優(yōu)勢(shì)是手腦并用，即有真實(shí)的觸感，深刻的體驗(yàn)，理性的思辨.由角度求時(shí)刻，在非整點(diǎn)的情況下，如何求出符合條件的具體時(shí)刻？教師引導(dǎo)學(xué)生“真探索”——擺出鐘面角.然后開展深入的探索研究，理解其合理性.思辨1：存在這種情況嗎？怎樣求出具體的時(shí)刻？思辨2：需要輔助針嗎？此時(shí)，鐘面角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？思辨3：利用什么數(shù)學(xué)模型來解決？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是促進(jìn)學(xué)生思考的載體，它是知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與思維同步生長(zhǎng)的有效方式，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等探索活動(dòng)，可以讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)好玩”的活動(dòng)中頓悟，以使數(shù)學(xué)思維潛在生長(zhǎng).

探索活動(dòng)往往以數(shù)學(xué)問題為原型，但教師不應(yīng)止步于讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，應(yīng)從中引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題指向的本質(zhì)和算理，盡可能達(dá)到“解一類、通一片”的效果.例如，在“鐘面角”問題中，通過對(duì)“時(shí)鐘在1點(diǎn)多少分時(shí)，鐘面角為90°？”等問題的探究，使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想、方程建模思想、分類討論思想等，自然能解決其他時(shí)刻鐘面角為90°，0°，以及其他任意角度的問題.

2.關(guān)于數(shù)學(xué)思維——自然生長(zhǎng)

解決問題不是探索活動(dòng)的最終目標(biāo).探索活動(dòng)應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)問題所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使學(xué)生遺忘了所有知識(shí)之后，仍然留下的思維印痕.以本文的“探索研究”題為例，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度、深度等品質(zhì).

（1）關(guān)注思維的廣度.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)生應(yīng)獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).多種解題方法的滲透能夠拓寬學(xué)生的思維.因此，在教學(xué)中，教師要吃透教材、解透題目，引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角，運(yùn)用不同的解題工具和方法解題，并借機(jī)予以點(diǎn)撥，幫助學(xué)生積累解題方法和解題經(jīng)驗(yàn)，以有效延展學(xué)生的思維.以前文“時(shí)鐘在1點(diǎn)多少分時(shí)，鐘面角為90°？”為例，教師鼓勵(lì)學(xué)生多種方法放置輔助針——作輔助線，建立方程，能有效地開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

（2）關(guān)注思維的深度.

對(duì)于一些蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)價(jià)值的思考題，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生追問與深究，不能淺嘗輒止.以“鐘面角”問題為例，如果僅僅停留在教材預(yù)設(shè)的問題上，如果沒有“非整點(diǎn)”的追問，如果沒有n°的鐘面角出現(xiàn)的次數(shù)的深究，那么“鐘面角”就只是一道淺顯的角度計(jì)算問題，其中隱藏的思維火種也將暗淡甚至熄滅.也就是說，思維深度首先來源于對(duì)問題的挖掘，其次，反思解題思想方法能使數(shù)學(xué)思維得以沉淀和升華.

（3）關(guān)注思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，其思維也具有嚴(yán)謹(jǐn)性.因此教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維參與的全過程.一方面，關(guān)注審題過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、嚴(yán)謹(jǐn)審題的能力，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)抓住關(guān)鍵詞、弄清楚確定因素、討論不確定因素等；另一方面，關(guān)注解題過程，培養(yǎng)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)工具嚴(yán)謹(jǐn)、靈活解題的能力，使學(xué)生逐漸形成合理驗(yàn)證、解決問題的意識(shí).

數(shù)學(xué)是思維的體操.無論什么題型，都可以看作外顯的思維形式，學(xué)生只有經(jīng)歷真真切切的探索，實(shí)實(shí)在在的研究，才能汲取內(nèi)隱的思維精華，使數(shù)學(xué)思維自然生長(zhǎng).