一次優(yōu)課比賽引發(fā)的思考
——以“傾斜角與斜率”為例談?wù)鹿?jié)起始課的導(dǎo)入

天津市教育科學(xué)研究院 王秋月 山東省桓臺(tái)縣漁洋中學(xué) 王慧凱

筆者曾全程觀摩了一次優(yōu)課比賽，內(nèi)容是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第三章第一課時(shí)“直線的傾斜角與斜率”，十幾位教師同課異構(gòu)，思維碰撞。作為一節(jié)章節(jié)起始課，如何導(dǎo)入才能符合課程標(biāo)準(zhǔn)的主旨，體現(xiàn)編者意圖，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維力？下面筆者結(jié)合具體案例談?wù)動(dòng)杀竟?jié)課的情境引發(fā)的思考。

一、展示三種形式的課堂導(dǎo)入

導(dǎo)入1：（PPT 展示圖片）同學(xué)們，這是長江斜拉大橋，一條條琴弦似的斜拉索，讓整座橋看起來如彩虹般美麗。每條拉索都是傾斜的，傾斜程度如何衡量？我們這節(jié)課來學(xué)習(xí)“傾斜角和斜率”。

導(dǎo)入2：（教師在平面直角坐標(biāo)系中畫出一個(gè)紅色的心形圖案）這個(gè)圖形大家都認(rèn)識(shí)，這是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾寫給情人的一封情書。當(dāng)時(shí)笛卡爾的信中只有一個(gè)方程r=a（1-sinθ），這個(gè)簡單的方程對(duì)應(yīng)的圖形就是著名的“心形線”。笛卡爾是近代數(shù)學(xué)的鼻祖，他和費(fèi)馬創(chuàng)立了用代數(shù)方法研究幾何問題的解析幾何。我們的解析之旅從最簡單的直線開始，本節(jié)課先來學(xué)習(xí)刻畫直線的重要元素“傾斜角和斜率”。

導(dǎo)入3：（PPT展示一張蜘蛛網(wǎng)圖片）同學(xué)們是否聽說，一張小小的蜘蛛網(wǎng)引發(fā)了一場(chǎng)數(shù)學(xué)革命。據(jù)說，數(shù)學(xué)家笛卡爾有一天躺在床上，看到一只小小的蜘蛛從東到西，從南到北，吐絲結(jié)網(wǎng)，忙個(gè)不停。笛卡爾以此為靈感運(yùn)用坐標(biāo)系將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來，于是產(chǎn)生了數(shù)學(xué)一門新的分支——解析幾何。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。從本節(jié)課開始，我們將在直角坐標(biāo)系中研究直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，下面讓我們用“傾斜角與斜率”開啟解析之門。

二、界定章節(jié)起始課

章節(jié)起始課是每一章的第一課時(shí)，這節(jié)課的內(nèi)容包括章頭圖、章引言以及正文第一節(jié)。章頭圖和章引言對(duì)本章內(nèi)容有提綱挈領(lǐng)的作用，可以簡明扼要地展示本章要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容及知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)本章的數(shù)學(xué)思想和方法，幫助學(xué)生初步建立對(duì)本章的認(rèn)知及知識(shí)架構(gòu)，傳播與本章相關(guān)的數(shù)學(xué)文化。章頭圖是以圖片形式生動(dòng)形象地展示本章蘊(yùn)含的內(nèi)容、方法等，直觀性強(qiáng)，有助于學(xué)生理解本章內(nèi)容，且這些圖片通常與生活息息相關(guān)，能夠培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。章引言則以文字形式簡要介紹本章涉及的知識(shí)和思想方法，讓學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容、地位、作用有一個(gè)大致了解，對(duì)學(xué)生建構(gòu)本章知識(shí)框架有極好的引領(lǐng)作用，同時(shí)這些文字通常淺顯易懂，能夠拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離。

總之，若將每一章比作一本書，章頭圖是封面，章引言是序言；若將每一章比作一部影視作品，章頭圖是劇照，章引言是劇情梗概。章節(jié)起始課既要講授每一章第一節(jié)的知識(shí)，更要講授章頭圖、章引言的內(nèi)容，借此滲透數(shù)學(xué)文化，融入數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建構(gòu)本章知識(shí)框架，揭示本章核心內(nèi)容。

三、做好章節(jié)起始課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

章節(jié)起始課在一章中有謀篇布局之功能，導(dǎo)入設(shè)計(jì)要做到：把握本節(jié)課在本章、本冊(cè)甚至整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位及作用，了解與本節(jié)課相關(guān)的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化，或者生活實(shí)例，或者與舊知識(shí)之間的聯(lián)系，了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、知識(shí)需求，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)及知識(shí)水平設(shè)計(jì)合理的導(dǎo)入。因此，創(chuàng)設(shè)情境不失為章節(jié)起始課導(dǎo)入的合適方法。

（一）引用生活實(shí)例導(dǎo)入

數(shù)學(xué)是有用的，但是教材中體現(xiàn)出來的以及課堂上講授的往往是枯燥乏味的、抽象的。其實(shí)，數(shù)學(xué)中很多知識(shí)都是與生活實(shí)際緊密相連的，需要教師用心發(fā)掘生活中的例子，運(yùn)用到章節(jié)起始課導(dǎo)入教學(xué)中。一方面是學(xué)生對(duì)新知識(shí)存在好奇心和陌生感，另一方面是學(xué)生身邊熟悉的生活實(shí)例，二者產(chǎn)生碰撞可以讓學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)融入到新課學(xué)習(xí)中，也可以讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)就在身邊的親切感。例如：“概率”一章的章引言中就提供了很多學(xué)生身邊的例子，教師在備課時(shí)將這些實(shí)例恰當(dāng)運(yùn)用，或圖片，或動(dòng)畫，或視頻，既能給學(xué)生留下直觀印象，又能讓學(xué)生有熟悉親切感，教師再加以引導(dǎo)，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)概率的積極性大有裨益。

（二）講述數(shù)學(xué)故事導(dǎo)入

數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)故事往往能反映出知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過程和知識(shí)的本質(zhì)，用一個(gè)與教材內(nèi)容相關(guān)的合適的數(shù)學(xué)故事作為章節(jié)起始課的導(dǎo)入，不僅能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更能引起學(xué)生對(duì)知識(shí)探究的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。例如：概率是因賭博而產(chǎn)生，推動(dòng)概率發(fā)展的竟是一群賭徒，學(xué)生驚訝之余產(chǎn)生學(xué)習(xí)概率的興趣。當(dāng)然，用數(shù)學(xué)故事導(dǎo)入新課，需要教師具備深厚的數(shù)學(xué)史功底，才能將之自如地應(yīng)用到教學(xué)中。

（三）應(yīng)用數(shù)學(xué)游戲?qū)?/h3>

托爾斯泰說過：“成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！睂?shù)學(xué)游戲作為章節(jié)起始課的導(dǎo)入，可以讓學(xué)生愉快地、主動(dòng)地進(jìn)入到新知學(xué)習(xí)中。例如：“圓錐曲線”一章講到橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線，可以讓學(xué)生體驗(yàn)這樣的游戲——課前學(xué)生以小組為單位準(zhǔn)備一個(gè)圓錐形的蘿卜，用小刀切蘿卜，觀察得到的切面是什么形狀。學(xué)生在體驗(yàn)中獲得的知識(shí)領(lǐng)悟會(huì)更深刻。

四、分析本課時(shí)教學(xué)地位

“傾斜角與斜率”是承上啟下的一節(jié)課。本節(jié)課開始學(xué)生將真正接觸數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支——解析幾何（在高中階段，解析幾何是指平面解析幾何），它是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學(xué)科，其核心方法是坐標(biāo)法，即通過平面直角坐標(biāo)系，建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間、曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用方程研究曲線的性質(zhì)，用方程的解研究幾何圖形之間的位置關(guān)系。直線是平面上最簡單的曲線，“傾斜角與斜率”是刻畫直線傾斜程度的重要因素。因此，本課時(shí)既是本章的第一課時(shí)，又是學(xué)習(xí)解析幾何的第一課時(shí)，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線有著統(tǒng)領(lǐng)作用，其重要性不言而喻。

五、研讀本章章頭圖及章引言

本章的章頭圖有兩幅。背景圖是直角坐標(biāo)系中的兩條傾斜的平行線，它們向上的方向與x軸正半軸有兩個(gè)夾角，反映的正是第一課時(shí)的內(nèi)容。正圖是一架徐徐降落的飛機(jī)，它是如何準(zhǔn)確進(jìn)入著陸道的呢？飛機(jī)的著陸系統(tǒng)能夠通過地面上的方位臺(tái)和仰角臺(tái)發(fā)射的信號(hào)準(zhǔn)確定位而著陸，這里的“準(zhǔn)確定位”正是數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)。兩幅圖既蘊(yùn)含著本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，又揭示了本章的核心方法——坐標(biāo)法。

本章的章引言有兩部分。一部分跟章頭圖放在一起，點(diǎn)出直角坐標(biāo)系使幾何研究進(jìn)入新時(shí)代，方程是直線的“翅膀”，體現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題的核心思想。另一部分放在章節(jié)目錄下，簡要介紹了坐標(biāo)法是解析幾何最基本的研究方法、解析幾何的創(chuàng)立及其在近代數(shù)學(xué)中的地位、本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，滲透了本章的核心數(shù)學(xué)思想，彰顯了本章數(shù)學(xué)文化，初步建構(gòu)了本章知識(shí)框架。

六、分析三種導(dǎo)入之異同

三個(gè)導(dǎo)入都采用情境導(dǎo)入法，引領(lǐng)學(xué)生直觀感知本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容?！皩?dǎo)入1”用斜拉索大橋的圖片展示“傾斜”，在視覺上給學(xué)生直觀刺激；“導(dǎo)入2”用平面直角坐標(biāo)系中的心形圖形及娓娓道來的數(shù)學(xué)家的浪漫故事引出解析幾何，在視覺和聽覺上給學(xué)生刺激；“導(dǎo)入3”用蜘蛛網(wǎng)圖片與解析幾何的產(chǎn)生發(fā)展歷史引出要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在視覺、聽覺及思維上給學(xué)生刺激。

三個(gè)導(dǎo)入又各自不同。從教材角度來看，“導(dǎo)入1”中圖片顯示的內(nèi)容與本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)是相符的，這樣的導(dǎo)入是可行的，不足在于沒有認(rèn)識(shí)到章節(jié)起始課的作用；另外兩個(gè)導(dǎo)入都考慮到了本節(jié)是章節(jié)起始課，領(lǐng)悟到了教材編者的意圖，與教材主旨是接近的。從學(xué)生認(rèn)知的角度來看，“導(dǎo)入1”對(duì)為什么學(xué)習(xí)“傾斜角與斜率”沒有作出預(yù)設(shè)，多數(shù)學(xué)生可能會(huì)“知其然不知其所以然”地完成本課時(shí)的學(xué)習(xí)任務(wù)；后兩個(gè)導(dǎo)入明確地指出了解析幾何的產(chǎn)生及其在近代數(shù)學(xué)史上的地位，學(xué)生能夠“知其所以然”。從學(xué)生思維的角度來看，前兩個(gè)導(dǎo)入對(duì)于幫助學(xué)生建立幾何問題代數(shù)化的思維的作用是小的，“導(dǎo)入3”詳細(xì)講解了坐標(biāo)系的產(chǎn)生以及坐標(biāo)法在解析幾何中的重要性，學(xué)生能夠“知其何為所以然”，從而樹立“由數(shù)究形”的觀點(diǎn)。

總之，“導(dǎo)”是手段，“入”才是目的。