從數(shù)學(xué)史角度比較數(shù)學(xué)教材中的課例選擇
——以勾股定理為例

■洛陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 王眾杰 來(lái) 靚

一、問(wèn)題背景

勾股定理是中學(xué)課本中基礎(chǔ)的幾何定理，它的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。在中國(guó)古代的商朝時(shí)期，商高率先提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，因此勾股定理也被稱為商高定理。在古代西方國(guó)家，最早提出并證明勾股定理的是公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他的學(xué)派創(chuàng)始人畢達(dá)哥拉斯用演繹法證明直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。經(jīng)過(guò)幾千年數(shù)學(xué)史的發(fā)展，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)400余種證明方法。勾股定理在人類的數(shù)學(xué)發(fā)展史中占據(jù)了重要地位，它不僅僅是個(gè)簡(jiǎn)單的定理，更蘊(yùn)含了千百年來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛與挫折。

二、問(wèn)題提出

勾股定理作為初中階段一個(gè)基礎(chǔ)的定理，在后續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都發(fā)揮著重要的輔證作用，本文從習(xí)題配置、數(shù)學(xué)史背景知識(shí)兩方面分析八個(gè)版本教材對(duì)于數(shù)學(xué)史知識(shí)融入課本的程度，以達(dá)到優(yōu)化教學(xué)課堂的目的。

三、教材分析

（一）教材選擇與分析

我國(guó)現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材種類繁多，人教版、北師版、華師版、滬科版、冀教版、魯教版、青島版、蘇科版、湘教版、浙教版、上海版、京教版十二個(gè)版本的教材，下面篩選出八個(gè)版本的教材供參考。

本文通過(guò)文本比較分析的方法對(duì)人教版、北師大版、華師版等八個(gè)版本的教材中“勾股定理”的內(nèi)容從數(shù)學(xué)史習(xí)題配置以及背景知識(shí)融入方面進(jìn)行了比較分析。

（二）教材解讀習(xí)題配置

1.《九章算術(shù)》關(guān)于“引葭赴岸”的敘述。“今有池水一方，葭生其中夾，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何”。引葭赴岸問(wèn)題流傳甚廣，類似題目在史書(shū)《張邱建算經(jīng)》《四元玉鑒》中也曾出現(xiàn)。相似問(wèn)題在國(guó)外史學(xué)典籍中也有跡可循，例如，印度古代數(shù)學(xué)家婆什迦羅的《麗羅瓦提》中 的“風(fēng)動(dòng)紅蓮”問(wèn)題；阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾?卡西的《算術(shù)之鑰》中的“池中長(zhǎng)茅”問(wèn)題；歐洲《十六世紀(jì)的算術(shù)》一書(shū)中又有“圓池蘆葦”問(wèn)題。 在現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，人教版、滬教版、冀教版、魯教版、蘇科版均出現(xiàn)了這道題，五個(gè)版本對(duì)“引葭赴案”問(wèn)題的譯文僅有細(xì)微差別，采用的語(yǔ)言通俗易懂，學(xué)生易于理解。這五個(gè)版本中，冀教版比較特殊，稱此題為“池葭出水”引用古典不同，但實(shí)質(zhì)相同，均可取。

2.趙爽出入相補(bǔ)法證明勾股定理。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)此圖巧妙運(yùn)用面積拆分挪移證明了勾股定理。人教版“出入相補(bǔ)法”與魯教版“青朱出入圖”以及意大利畫(huà)家達(dá)芬奇的證明方法均是運(yùn)用面積增補(bǔ)進(jìn)行證明，但人教版教材中這部分內(nèi)容安排在正文部分，魯教版中安排在閱讀材料部分，學(xué)生很大程度上會(huì)忽略這一部分的證明。所以，兩者相比起來(lái)，人教版教材在內(nèi)容安排上略勝一籌。

3.《原本》中歐幾里得的面積證明法。北師版和蘇科版教材的閱讀材料中出現(xiàn)了此法。北師版文字描述證明過(guò)程略詳盡，蘇科版數(shù)學(xué)符號(hào)更多，兩者在敘述語(yǔ)言上都秉承簡(jiǎn)潔清晰的原則，均可取。

4.數(shù)學(xué)史背景知識(shí)融入。人教版教材關(guān)于數(shù)學(xué)史材料的引入是畢達(dá)哥拉斯的思考與證明、勾股定理、費(fèi)馬大定理；北師版采用《原本》證明；華師版采用《周髀算經(jīng)》中“弦圖”和勾股定理簡(jiǎn)介、勾股定理無(wú)字證明；滬教版采用趙爽的敘述、勾股定理簡(jiǎn)史；冀教版是《周髀算經(jīng)》勾股定理的記載；魯教版采用勾股數(shù)與費(fèi)馬大定理、古哥倫比亞時(shí)期泥板文字；青島版采用《周髀算經(jīng)》勾股定理、勾股數(shù)組；蘇科版采用商高與勾三股四弦五、趙爽“弦圖”、普林頓322。

人教版教材在勾股定理的安排中數(shù)學(xué)史出現(xiàn)七處，章主題頁(yè)、節(jié)頭、習(xí)題和閱讀與思考欄目均涉及；北師版教材對(duì)于數(shù)學(xué)史涉及的內(nèi)容有三處，出現(xiàn)在習(xí)題和讀一讀欄目；華師版教材對(duì)于數(shù)學(xué)史涉及的內(nèi)容有三處，出現(xiàn)在讀一讀與閱讀材料中，著重介紹了中國(guó)古代對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)與研究；滬教版教材中出現(xiàn)兩處，著重介紹了趙爽的“弦圖”，以及《周髀算經(jīng)》中周公與商高關(guān)于勾股定理的介紹；冀教版教材中的一處是周公商高、大禹、趙爽、畢達(dá)哥拉斯關(guān)于勾股定理的研究；魯教版的三處介紹分別是中國(guó)古代商高、古巴比倫人的數(shù)學(xué)泥板、畢達(dá)哥拉斯的相關(guān)證明，這個(gè)版本的精彩之處在于介紹了費(fèi)馬大定理與勾股數(shù)的關(guān)系以及給出了中國(guó)（青朱出入圖）、印度、意大利（畫(huà)家達(dá)芬奇）的三種無(wú)字版證明；青島版的兩處點(diǎn)睛之筆在于介紹了古巴比倫人記載的勾股數(shù)組并且拓展介紹了計(jì)算勾股數(shù)組的公式；蘇科版教材不同于其他七個(gè)版本教材之處在于點(diǎn)名了古巴比倫泥板的編號(hào)“普林頓322”，但實(shí)際上也是勾股數(shù)組的記載。

（三）研究結(jié)論與建議

1.習(xí)題配置分析。從數(shù)學(xué)史選材范圍對(duì)比，北師版教材選用西方數(shù)學(xué)史內(nèi)容較多，選取國(guó)內(nèi)史料較少，這些西方史料大都安排在自主學(xué)習(xí)部分，另外七種教材中對(duì)于我國(guó)古代數(shù)學(xué)史資料引用比較多。從數(shù)學(xué)史具體內(nèi)容上對(duì)比，人教版內(nèi)容占6處，魯教版內(nèi)容占7 處，蘇科版內(nèi)容占6 處，相對(duì)于其他無(wú)個(gè)版本教材而言，人教版、魯教版和蘇科版教材選材范圍比較豐富，出現(xiàn)的位置多樣化，分布比較廣泛。從知識(shí)編排分布上比較，華師版、滬教版、冀教版將數(shù)學(xué)史內(nèi)容巧妙融合進(jìn)了練習(xí)題當(dāng)中，另外的五種教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容則多是安排在課后閱讀材料當(dāng)中。

2.史料結(jié)合分析。從知識(shí)編排分布比較人教版、華師版、滬教版、冀教版、蘇科版這五個(gè)版本比較注重新知識(shí)的融地與結(jié)合，通過(guò)簡(jiǎn)單的生活例子引出課題，循序漸進(jìn)加深知識(shí)難度。人教版教材中關(guān)于費(fèi)馬大定理的引入點(diǎn)到為止，考慮到學(xué)生的接受能力并未過(guò)多涉及疑難問(wèn)題。北師版、魯教版、青島版這三個(gè)版本教材將數(shù)學(xué)史內(nèi)容安排在課外閱讀上比較多，節(jié)省學(xué)生課堂時(shí)間，學(xué)生可以自由選擇。

從知識(shí)選材范圍比較北師版的材料略顯單薄，人教版、華師版、魯教版、蘇科版內(nèi)容比較詳盡，除了簡(jiǎn)要介紹基礎(chǔ)的勾股定理相關(guān)知識(shí)以外，華師版給出的三種無(wú)字證明可以很好地鍛煉學(xué)生的思維能力；魯教版、蘇科版、青島版均提到了“普林頓322”泥板，也就是勾股數(shù)組，史料結(jié)合，有力地證明了勾股定理出現(xiàn)的年代。

3.結(jié)論與建議。研究的八個(gè)版本的教材中，人教版教材是目前國(guó)內(nèi)中小學(xué)使用范圍最廣的一種教材，人教版教材在數(shù)學(xué)史方面的引入非常到位，從知識(shí)的選材范圍、編排分布、具體內(nèi)容三個(gè)角度考核比較平衡，既涉及了國(guó)內(nèi)外的史料，也突出了我國(guó)在勾股定理發(fā)現(xiàn)探究的領(lǐng)先地位，但是美中不足的一點(diǎn)是缺少勾股數(shù)組和勾股樹(shù)知識(shí)點(diǎn)的介紹。

北師版教材內(nèi)容清晰簡(jiǎn)潔，在勾股定理的知識(shí)編排上省略很多繁文末節(jié)，學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)比較有條理，但是在略去的內(nèi)容中，有一些我國(guó)重要史料沒(méi)有呈現(xiàn)在課本上，所以選用這版教材的學(xué)校中關(guān)于我國(guó)勾股定理的發(fā)展歷史相對(duì)而言掌握較少，可以適當(dāng)考慮多引入我國(guó)史料。其他六版教材在國(guó)內(nèi)通行度略低，但也是各有千秋，魯教版在史料較為豐富；華師版在編排上比較嚴(yán)謹(jǐn)；滬教版、冀教版、青島版、蘇科版在各方面比較平衡，結(jié)合數(shù)學(xué)史內(nèi)容，可以達(dá)到靈活運(yùn)用勾股定理解決后續(xù)各種相關(guān)問(wèn)題的目標(biāo)。